2022-2023学年甘肃省金昌市永昌重点中学高二（下）期中数学试卷

2022-2023学年甘肃省金昌市永昌重点中学高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知函数为自然对数的底数，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列四个命题中为真命题的是(    )

A. 已知，，，，是空间任意五点，则
B. 若两个非零向量与满足，则四边形是菱形
C. 若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量
D. 对于空间的任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面

3.  若直线是函数的切线，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则以下结论正确的是(    )

A. 是函数的一个零点
B. 是函数的极大值点
C. 的单调递增区间是
D. 无最小值

5.  若，则(    )

A.
B.
C.
D.

6.  若函数在上不单调，则实数的取值范围为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  若，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  二项式的展开式的各项中，二项式系数最大的项是(    )

A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项

10.  下列结论中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  如图，四棱锥的底面为正方形，底面，平面，垂足为，为上的点，，以为坐标原点，分别以，，为，，轴的正方向，并均以为单位长度，建立空间直角坐标系，设，则(    )

A.
B. 平面的一个法向量为
C. 当时，点到平面的距离为
D. 当时，点到直线的距离的平方为

12.  已知函数，，则(    )

A. 有两个极值点 B. 的图象与轴有三个交点
C. 点是曲线的对称中心 D. 若存在单调递减区间，则

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  A、、、四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若和不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是______用数字作答

14.  若的展开式中的系数为，则 ______ ．

15.  如图，已知平面，，，，，若，，则与平面所成角的余弦值为______ ．

16.  已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，若，则不等式的解集为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知向量，，．
Ⅰ当时，若向量与垂直，求实数和的值；
Ⅱ若向量与向量，共面，求实数的值．

18.  本小题分
已知在的展开式中，第项的系数与倒数第项的系数之比为．
求的值；
求的展开式的中间两项．

19.  本小题分
当时，函数取得极小值．
求实数，的值；
求函数的最小值．

20.  本小题分
如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，是的中点．
求证：平面；
若二面角的余弦值为，求线段的长度．

21.  本小题分
某地规划了一个工业园区，需要架设一条千米的高压线，已知该段线路两端的高压电线塔已经搭建好，余下的工程只需要在已建好的高压电线塔之间等距离的修建高压电线塔和架设电线已知一座高压电线塔为万元，距离为千米的两相邻高压电线塔之间的电线及人工费等为万元，所有电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为万元．
试写出关于的函数关系式；
需要建多少座高压电线塔才能使有最小值？最小值是多少？
参考数据：，

22.  本小题分
已知函数，，讨论函数的极值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，所以．
故选：．
可求出导函数，然后即可得出的值．
本题考查了基本初等函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：已知，，，是空间任意四点，则，故A不正确；
B.两个非零向量与满足，可得，则，故B不正确；
C.表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量，故C正确；
D.空间的任意一点和不共线的三点，，，
若，满足，则，，，四点共面，故D不正确．
故选：．
A.利用向量加法运算法则即可判断出正误；
B.利用向量共线定理即可判断出正误；
C.利用共面向量的定义即可判断出正误；
D.利用空间四点共面的充要条件即可判断出正误．
本题考查了空间向量的有关知识及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由，得，
直线是函数的切线，设切点坐标为，
得，解得，．
故选：．
求出原函数的导函数，设切点坐标，由题意可得关于与的方程组，求解得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上对称的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由图象得当时，，则在上单调递减；
当时，，在单调递增，
是的极小值点，无极大值点，故B错误，C正确；
当时，函数是极小值也是最小值，故D错误；
此时不能确定的值是否为，故A错误．
故选：．
根据图象可得当时，，则在上单调递减；当时，，在单调递增，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由于
对于：令，得，A错误；
对于和：令，可得，
令，可得，
得，B错误；
得，C错误；
对于：令，可得，
又，
所以，D正确．
故选：．
直接利用二项式的展开式及赋值法的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：二项展开式，赋值法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意得，
在上不单调，
在上有极值点，
当时，在上恒成立，在上单调递减，不满足题意；
当时，由得，则，解得，
故实数的取值范围为
故选：．
由题意得，题意转化为在上有极值点，分类讨论得不符合题意，得，求解即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：设，，，
，，不共面，构成空间向量的一组基底，
由题意可知，，，，，
，，
，
，
，
，，
又异面直线所成的角的范围为，
与所成角的余弦值为．
故选：．
设，，，则构成空间向量的一组基底，所以，，利用空间向量的数量积运算求出，以及，，再求出，，从而得到与所成角的余弦值．
本题主要考查了空间向量的数量积运算，考查了求异面直线所成的角，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，，，
故可构造函数，，
则当时，恒成立，
故在上单调递增，所以，
又，，，所以．
故选：．
化简，观察，，的共同特征，构造函数，，通过分析的单调性得到，，的大小关系．
本题考查对数值的大小比较以及构造函数的应用，属基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：因为，则二项式系数最大的项为第，项，
故选：．
根据的值以及二项式性质的性质即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，常数的导数等于，故A错误；
对于，令，，则，，故B正确；
对于，，故C错误；
对于，利用公式可知，，故D正确．
故选：．
利用求导公式逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了导数的计算公式，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于项，因为底面，平面，所以．
又，平面，平面，所以平面．
因为平面，所以因为，
则，，，，．
因为为上的点，，所以，故A正确；
对于项，因为，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，故B正确；
对于项，当时，，，
所以点到平面的距离，故C错误；
对于项，当时，，，
所以，，，，
所以，点到直线的距离的平方，故D正确．
故选：．
先证明平面，即可得出进而得出点的坐标，可判断；，，即可求出平面的法向量，判断；当时，，，然后根据向量法即可求出点到平面的距离，判断项；当时，，，然后根据向量法即可求出距离，判断项．
本题考查空间几何体的性质，考查利用向量法解决几何问题，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以有两个极值点，为，故选项A正确；
因为，，，
所以函数的图象在上与轴有一个交点，
当时，，
所以函数的图象在上与轴无交点，
综上所述，函数的图象与轴有一个交点，故选项B错误；
不妨设，函数定义域为，
因为，
所以函数是奇函数，
则点是曲线的对称中心，
将函数的图象向上平移一个单位长度得到函数的图象，
所以点是曲线的对称中心，故选项C正确；
已知，函数定义域为，
若函数存在单调递减区间，
则有解，
即有解，
解得，故选项D错误．
故选：．
由题意，对函数进行求导，利用导数得到的单调性，进而可判断选项A；结合函数的端点值和单调性即可判断选项B；构造函数，根据奇偶性的性质得到函数是奇函数，结合平移即可判断选项C；将函数存在单调递减区间，转化成有解，求出的取值范围即可判断选项D．
本题考查利用导数研究函数的单调性和函数奇偶性的定义，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
 

13.【答案】 

【解析】解：分类讨论：若，参加同一科竞赛，可以种方法；若，参加不是同一科竞赛，可以种方法．
综上共有种方法．
故答案为：．
分类讨论：若，参加同一科竞赛；若，参加不是同一科竞赛，利用排列与组合的知识即可得出结论．
本题考查了排列与组合及其公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为，
根据题意可得，解得．
故答案为：．
由题意，利用二项展开式的通项公式，求得的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴的正方向，并均以为单位长度，
建立空间直角坐标系：

，，，，
可得，，，，，．
则，，，
设是平面的法向量，
则，令，则，，
所以是平面的一个法向量，设与平面所成的角为，
，
则，
，
所以与平面所成角的余弦值为．
故答案为：．
先建立空间直角坐标系，再求出平面的法向量，再结合向量的夹角公式，以及三角函数的同角公式，即可求解．
本题主要考查直线与平面所成的角，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意设，即，则，
，
，即在上单调递增，
又为偶函数，
，
，
，
不等式转化为，即，
，
又在上单调递增，则，
不等式的解集为．
故答案为：．
构造函数，即，则，结合题意可得在上单调递增，不等式转化为，即，求解即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：Ⅰ因为，所以．
因为向量，向量与垂直，
所以，即，解得，
所以实数和的值分别为和．
Ⅱ因为向量与向量，共面，所以设．
因为，
则：
解得
所以实数的值为． 

【解析】本题考查共线与共面向量定理及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
Ⅰ直接利用向量的垂直的充要条件的应用求出结果．
Ⅱ直接利用共面向量基本定理的应用求出结果．
 

18.【答案】解  的展开式的通项为，
故展开式中第项的系数为，倒数第项的系数为，
，即，
解得．
由可知，，
所以的展开式的通项为．
二项展开式共有项，中间两项即为第项和第项，
故，
．
所以：的展开式的中间两项分别为，． 

【解析】直接利用二项式的展开式和各项的系数的关系求出的值；
利用的结论和展开式求出中间两项．
本题考查的知识要点：二项展开式，组合数，二项式展开式的有理项，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：已知，函数定义域为，
可得，
因为函数在处取得极小值，
所以满足，，
解得，，
此时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，满足题意，
所以，；
由可知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，
故． 

【解析】由题意，对函数进行求导，根据函数在处取得极小值，列出等式求出和的值，利用导数的几何意义得到函数的单调性对其进行验证，进而可得实数和的值；
结合可得函数的解析式，对函数进行求导，利用导数得到的单调性，进而可得最值．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理和运算能力．
 

20.【答案】证明：平面，平面，，
底面是直角梯形，，，
，
，，
又，，平面，
平面．
解：如图，取的中点，连接，则，建立空间直角坐标系如图：

则，，．
设，
是的中点，
，
，，，，
为平面的一个法向量．
设为平面的法向量，
则，，
即二面角的余弦值为，
，即，取，则，，
则为平面的一个法向量，
二面角的余弦值为，
，，
平方得，得，解得．
，即．
即线段的长度为． 

【解析】根据线面垂直的判定定理进行证明即可．
建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
本题主要考查线面垂直的判定以及二面角的应用，建立坐标系求出平面的法向量是解决本题的关键，是中档题．
 

21.【答案】解  根据题意，需要架设一条千米的高压线，并且只需要在已建好的高压电线塔之间等距离的修建高压电线塔和架设电线，
故需要新建高压电线塔座，且一座高压电线塔为万元，距离为千米的两相邻高压电线塔之间的电线及人工费等为万元，余下的工程费用为万元．
所以．
故关于的函数关系式为．
，
则，
令，得或舍．
令，则，令，则，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以当时，有最小值，
最小值为．
此时需要新建高压电线塔的个数为．
故需要建座高压电线塔才能使有最小值，最小值是． 

【解析】需要新建高压电线塔座，结合题意写出关于的函数关系式即可；
求导，利用导数判断单调性，求出最小值即可．
本题考查函数模型的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：已知，，函数定义域为，
可得，
令，
解得，，
当，即时，恒成立，单调递增，
此时函数在定义域内没有极值；
当，即时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数有极大值；
当时，函数有极小值；
当，即时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数有极小值；
当时，函数有极大值；
综上所述，当时，没有极值；
当时，有极大值，极小值；
当时，有极小值，极大值． 

【解析】由题意，对函数进行求导，令，解得，，对，和这三种情况进行讨论，利用导数的几何意义得到的单调性，进而可得极值．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．