2022-2023学年甘肃省金昌市永昌第一高级中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年甘肃省金昌市永昌第一高级中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年甘肃省金昌市永昌第一高级中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 复数z=(1+2i)i2023，i是虚数单位，则|z|=(    )
A. 5 B. 5 C. 3 D. 3
2. 某工厂生产的A，B，C三种不同型号的产品数量之比为2：3：5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A，B，C三种产品中抽出100件进行测试，则应该抽取的A型号产品的件数为(    )
A. 20 B. 30 C. 50 D. 80
3. 已知向量a=(m−1,1)，b=(m,−2)，且a⊥b，则m的值为(    )
A. −1 B. 1 C. −1或2 D. 2
4. 如图，平行四边形ABCD中，E是BC的中点，若AB=a，AD=b，则DE=(    )


A. 12a−b B. 12a+b C. a+12b D. a−12b
5. 河北省正定县的须弥塔是中国建筑宝库的珍贵遗产，是我国古建筑之精品，是中国古代高超的建筑工程技术和建筑艺术成就的例证.一名身高1.7m的同学假期到河北省正定县旅游，他在A处仰望须弥塔尖，仰角为45°，他沿直线向塔行走了17m后仰望须弥塔尖，仰角为60°，据此估计该须弥塔的高度约为(参考数据： 2≈1.414, 3≈1.732)(    )


A. 37.8m B. 39.5m C. 40.2m D. 41.9m
6. 满足条件a=4,b=3 2,A=45°的△ABC的个数为(    )
A. 一个 B. 两个 C. 不存在 D. 无法判断
7. 下列化简正确的是(    )
A. cos82°sin52°−sin82°cos52°=12 B. sin15°sin75°=12
C. tan48°+tan72°1−tan48∘tan72∘=− 3 D. cos215°+sin215°=− 32
8. 已知向量a，b为单位向量，且a⋅b=12，向量c与a+b共线，则|a+c|的最小值为(    )
A. 1 B. 12 C. 34 D. 22
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 若θ∈(π,2π)，则复数cosθ+isinθ在复平面内对应的点可能在(    )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
10. 某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(    )

A. a的值为0.015
B. 估计这40名学生数学考试成绩的众数为75
C. 估计总体中成绩落在[80,90)内的学生人数为105
D. 估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为87
11. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是(    )
A. 若a>b，则sinA>sinB
B. 若AC⋅AB>0，则△ABC是锐角三角形
C. 若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形
D. 若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB
12. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为 2，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是(    )


A. BG=2AH
B. AD在AB向量上的投影向量为( 22+1)AB
C. 若OA⋅FC=(1+ 2)PA⋅ED，则P为ED的中点
D. 若P在线段BC上，且AP=xAB+yAH，则x+y的取值范围为[1,2+ 2]
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 我国古代数学著作《九章算术》中用“圭田”一词代指等腰三角形田地．若一“圭田”的腰长为4，顶角的余弦值为34，则该“圭田”的底边长为______．
14. 已知数据x1、x2、…、x8的方差为16，则数据3x1+1、3x2+1、…、3x8+1的标准差为______ ．
15. 已知α，β都是锐角，且tanα=4 3，cos(α+β)=−1114，则β的值是______ ．
16. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE=EB，BF=2FC，连接ED，AF，交点为G.设AG=tAF，
则(1)t= ______ ；
(2)cos∠EGF= ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，准备举办读书活动，并购买一定数量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段的人看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了40名读书者进行调查，将他们的年龄(单位：岁)分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)后得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求在这40名读书者中年龄分布在[40,70)的人数；
(2)求这40名读书者的年龄的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间中点值为代表)．

18. (本小题12.0分)
已知向量a=(k,1)，b=(k+3,k−1)．
(1)若a/​/b，求k的值；
(2)若a⊥(a−b)，求a与(a+b)的夹角θ的余弦值．
19. (本小题12.0分)
已知i为虚数单位，复数z为纯虚数，且z+31+i为实数．
(1)求复数z；
(2)若复数z0=z+1是关于x的方程x2+mx+n=0在复数集内的一个根，求实数m和实数n的值．
20. (本小题12.0分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2acosB+b=2c．
(1)求角A；
(2)若D为BC边的中点，且AD= 13，AC=2，求△ABC的周长．
21. (本小题12.0分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2C −cos2A= 2sinAsinB−sin2B．
(1)求C的大小；
(2)已知a+b=8，求△ABC的面积的最大值．
22. (本小题12.0分)
如图，在平面四边形ABCD中，∠BCD=π2,AB=1,∠ABC=3π4．
(1)当BC= 2,CD= 7时，求△ACD的面积．
(2)当∠ADC=π6,AD=2时，求tan∠ACB．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：复数z=(1+2i)i2023=(1+2i)i4×503+3=(1+2i)×(−i)=2−i，
∴|z|= 4+1= 5．
故选：B．
根据虚数单位的性质得i20203=−i，再结合复数的乘法运算及复数模的概念即可得到答案．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．

2.【答案】A 
【解析】解：某工厂生产的A，B，C三种不同型号产品的数量之比为2：3：5，则A被抽的抽样比为22+3+5=15，所以抽出100件产品中A型号产品的件数为100×15=20．
故选：A．
根据分层抽样的性质求出抽样比，然后求解即可．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．

3.【答案】C 
【解析】解：由条件可知，a⋅b=m(m−1)−2=0，
即m2−m−2=0，解得m=−1或m=2．
故选：C．
根据数量积的坐标表示，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．

4.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查向量的加法运算，考查学生的计算能力，属于基础题．
利用向量的加法运算，即可得到结论．
【解答】
解：∵平行四边形ABCD中，E是BC的中点，
∴DE=DC+CE=DC+12CB
∵AB=a，AD=b，
∴DE=a−12b
故选：D．
  
5.【答案】D 
【解析】解：作出图形，如图所示：

由题意得AA1=1.7m，AB=A1B1=17m，∠CA1D1=45°，∠CB1D1=60°，则∠A1CB1=15°，
∴sin∠A1CB1=sin(60°−45°)=sin60°cos45°−cos60°sin45°= 6− 24，
在△A1B1C中，由正弦定理得A1B1sin∠A1CB1=CB1sin∠CA1D1，即CB1=17sin45°sin15∘=17× 22 6− 24=17 3+17，
又CD1=CB1sin60°=17(3+ 3)2≈40.2m，
∴塔高CD=CD1+DD1=40.2+1.7=41.9m；
故选：D．
作出图形，由题意得AA1=1.7m，AB=A1B1=17m，∠CA1D1=45°，∠CB1D1=60°，则∠A1CB1=15°，可得sin∠A1CB1= 6− 24，利用正弦定理求出CB1，可得CD1，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

6.【答案】B 
【解析】解：因为a2=b2+c2−2bccosA，即16=18+c2−6c，
解得c=3+ 7或c=3− 7，
所以满足条件的△ABC有两个．
故选：B．
利用余弦定理运算求解即可判断．
本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．

7.【答案】C 
【解析】解：对于A，cos82°sin52°−sin82°cos52°=sin(52°−82°)=sin(−30°)=−12，故A不正确；
对于B，sin15°sin75°=sin15°cos15°=12sin30°=12×12=14，故B不正确；
对于C，tan48°+tan72°1−tan48∘tan72∘=tan(48°+72°)=tan120°=− 3，故C正确；
对于D，根据同角平方关系可得，cos215°+sin215°=1，故D不正确．
故选：C．
由已知结合和差角公式，二倍角公式分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．

8.【答案】B 
【解析】解：∵|a|=|b|=1，a⋅b=12，
∴cosθ=a⋅b|a||b|=12(a与b的夹角为θ)．
∵0≤θ≤π，θ=π3，
不妨设a=(1,0)，b=(12, 32)，
∴c=λ(a+b)=(3λ2, 3λ2)，
∴a+c=(1+3λ2, 3λ2)，
|a+c|= (1+3λ2)2+( 3λ2)2= 3(λ+12)2+(14)≥12，(当且仅当λ=−12时取等号)．
故选：B．
利用向量的数量积求出向量的夹角，设a=(1,0)，b=(12, 32)，推出向量c，然后利用向量的模的运算法则化简，结合二次函数的性质求解最值即可．
本题考查向量的数量积的应用，向量的模的运算法则的应用，是中档题．

9.【答案】CD 
【解析】解：当θ∈(π,3π2)时，cosθ<0，sinθ<0，故复数cosθ+isinθ在复平面内对应的点在第三象限，
当θ∈(3π2,2π)时，cosθ>0，sinθ<0，故复数cosθ+isinθ在复平面内对应的点在第四象限．
故选：CD．
分θ∈(π,3π2)与θ∈(3π2,2π)两种情况下得到余弦和正弦值的正负，得到答案．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．

10.【答案】ABD 
【解析】解：根据频率和等于1得：10a=1−10(0.01+0.035+0.03+0.01)=0.15，∴a=0.015，A正确；
由频率分布直方图可知，众数为75，B正确；
总体中成绩落在[80,90)内的学生人数为：300×0.03×10=90，C错误；
上面各组对应的频率分别为：0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，
故第80百分位数在[80,90)内，设第80百分位数约为x，则：0.03×(90−x)+0.01×10=1−80%，x=86.66≈87，D正确．
故选：ABD．
对于A，根据频率之和为1计算即可；对于B，根据众数的定义判断即可；对于C，根据频数和频率的关系计算即可；对于D，根据百位分数的计算公式求解即可．
本题考查频率分布直方图等统计相关知识，属于基础题．

11.【答案】AD 
【解析】解：对于A项，在△ABC中，由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，(R为△ABC外接圆的半径)，
因为a>b，所以2RsinA>2RsinB，所以sinA>sinB，故A项正确；
所以B项，因为AC⋅AB=bccosA>0，所以cosA>0，所以A为锐角，但无法确定B、C是否为锐角，故B项不成立；
对于C项，因为acosA=bcosB，
所以由正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB，即：sin2A=sin2B，
所以2A=2B或2A+2B=π，
所以A=B或A+B=π2，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故C项不成立；
对于D项，因为△ABC为锐角三角形，
所以0π20 又因为y=sinx在(0,π2)上单调递增，
所以sin(π2−B) 故选：AD．
运用正弦定理边化角即可判断A项，运用平面向量数量积运算可推出A为锐角，但无法确定B、C是否为锐角即可判断B项，运用正弦定理边化角及二倍角公式可求得A=B或A+B=π2可判断C项，由锐角三角形可得0<π2−B 本题主要考查解三角形，正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．

12.【答案】BD 
【解析】解：如图所示：以AE所在直线为y轴，GC所在直线为x轴建立直角坐标系，

设OA=OB=OC=OD=OE=OF=OG=OH=a，
则2=a2+a2−2a2×cosπ4，整理得到a2=2+ 2，A(0,−a),B( 22a,− 22a),C(a,0),D( 22a, 22a),E(0,a),F(− 22a, 22a)，G(−a,0)，H(− 22a,− 22a)，设P(x0,y0)，
对选项A：BG=(−a− 22a, 22a)，AH=(− 22a,a− 22a)，BG≠2AH，错误；
对选项B：AD=( 22a, 22a+a)，AB=( 22a,a− 22a)，AD⋅AB|AB|2=12a2+a2−12a212a2+(a− 22a)2=12− 2= 22+1，即投影向量为( 22+1)AB，正确；
对选项C：OA⋅FC=(0,−a)⋅(a+ 22a,− 22a)= 22a2，PA⋅ED=(−x0,−a−y0)⋅( 22a, 22a−a)=− 22ax0−(a+y0)( 22a−a)，OA⋅FC=(1+ 2)PA⋅ED，整理得到− 22ax0−(a+y0)( 22a−a)= 22a21+ 2，即y0=( 2+1)x0，与正八边形有两个交点，错误；
对选项D：AP=(x0,y0+a)，AB=( 22a,a− 22a)，AH=(− 22a,a− 22a)，AP=xAB+yAH，(x0,y0+a)=x( 22a,a− 22a)+y(− 22a,a− 22a)，
整理得到x+y=y0+aa− 22a，y0∈[− 22a,0]，故x+y∈[1,2+ 2]，正确．
故选：BD．
以AE所在直线为y轴，GC所在直线为x轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算BG≠2AH，A错误，投影向量为( 22+1)AB，B正确，直线与正八边形有两个交点，C错误，x+y=y0+aa− 22a，D正确，得到答案．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．

13.【答案】2 2 
【解析】解：设该“圭田”的底边长为x，
则由题意，利用余弦定理可得：x2=42+42−2×4×4×34=8，
解得x=2 2，故该“圭田”的底边长为2 2．
故答案为：2 2．
设该“圭田”的底边长为x，利用余弦定理即可求解．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．

14.【答案】12 
【解析】解：因为数据x1、x2、…、x8的方差为16，
所以数据3x1+1、3x2+1、…、3x8+1的方差为32×16，
所以标准差为3×4=12．
故答案为：12．
根据数据x1、x2、…、x8的方差求出数据3x1+1、3x2+1、…、3x8+1的方差，再求标准差．
本题考查了样本数据的数字特征应用问题，是基础题．

15.【答案】π3 
【解析】解：∵α，β都是锐角，cos(α+β)=−1114，∴sin(α+β)= 1−cos2(α+β)=5 314．
∴tan(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=−5 311．
∴tanβ=tan[(α+β)−α]=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)tanα=−5 311−4 31−5 311×4 3= 3
∵β是锐角，∴β=π3．
故答案为π3．
利用平方关系可得sin(α+β)，利用商数关系可得tan(α+β)，再利用tanβ=tan[(α+β)−α]展开即可得出．
熟练掌握同角的三角函数的基本关系式、两角和的正切公式等是解题的关键．

16.【答案】38  − 5719 
【解析】解：(1)AG=tAF=t(AB+BF)=tAB+2t 3AD=2tAE+2t3AD，
∵D，G，E三点共线，
∴DG=λDE，
AG=AD+DG=AD+λDE=AD+λ(AE−AD)=λAE+(1−λ)AD，
∵AD，AE不共线，
∴由平面向量基本定理可得，2t=λ2t3=1−λ，解得t=38；
(2)不妨令AB，AD作为平面的一组基底，
则DE=AE−AD=12AB−AD，AF=AB+BF=AB+23AD，
不妨令AB=2，
则AB⋅AD=2×2×cos60°=2，
DE⋅AF=(12AB−AD)⋅(AB+23AD)=12AB2−23AB⋅AD−23AD2=12×22−23×2−23×22=−2，
|DE|2=(12AB−AD)2=14AB2−AB⋅AD+AD2=1−2+4= 3，解得|DE|= 3，
|AF|2=(AB+23AD)2=AB2+43AB⋅AD+49AD2=4+83+169=769，解得|AF|=2 193，
cos∠EGF=cos=DE⋅AF|DE||AF|=−2 3×2 193=− 5719．
故答案为：(1)38；(2)− 5719．
(1)根据已知条件，结合平面向量的线性运算，以及向量向量的基本定理，即可求；
(2)令AB，AD作为平面的一组基底，再结合平面向量的线性运算，以及平面向量的数量积公式，向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，考查转化能力，属于中档题．

17.【答案】解：(1)由频率分布直方图知，年龄在[40,70)的频率为(0.020+0.030+0.025)×10=0.75，
故这40名读书者中年龄分布在[40,70)的人数为40×0.75=30．
(2)这40名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.10+45×0.20+55×0.30+65×0.25+75×0.10=54
设中位数为x，则0.005×10+0.010×10+0.020×10+0.030×(x−50)=0.5，
解得x=55，故这40名读书者年龄的中位数为55． 
【解析】(1)由图计算得年龄在[40,70)的频率为0.75，乘以人数即可；
(2)直接利用平均数公式即可计算出平均数，设中位数为x，得到关于x的方程，解出即可．
本题主要考查频率分布直方图，属于基础题．

18.【答案】解：(1)因为a/​/b，所以k(k−1)−(k+3)=0，
即k2−2k−3=0，所以k=3或k=−1．
(2)若a⊥(a−b)，则若a⋅(a−b)=0，即a2−a⋅b=0，
所以k2+1−[k(k+3)+(k−1)]=0，
所以−4k+2=0，即k=12．
所以a=(12,1)，b=(72,−12)，a+b=(4,12)，
∴cosθ=a⋅(a+b)|a|⋅|a+b|=52 (12)2+12× 42+(12)2=2 1313． 
【解析】(1)由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得k的值．
(2)由题意，利用两个向量垂直的性质求出k的值，再利用两个向量夹角公式，求得结果．
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，两个向量夹角公式，属于基础题．

19.【答案】解：(1)由复数z为纯虚数，设z=ai，则ai+31+i=(ai+3)(1−i)1+1=12[3+a+(a−3)i]，
由z+31+i为实数，则a−3=0，解得a=3，即z=3i．
(2)由题意可知，方程x2+mx+n=0在复数集内的根为x1,2=1±3i，
则−m=x1+x2=1+3i+1−3i=2，n=(1+3i)(1−3i)=1+9=10，
所以m=−2，n=10． 
【解析】(1)根据纯虚数与实数的定义，结合复数的运算，建立方程，可得答案；
(2)根据二次函数的复数根的性质，利用韦达定理，可得答案．
本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．

20.【答案】解：(1)在△ABC中因为2acosB+b=2c，
由正弦定理得2sinAcosB+sinB=2sinC，
所以2sinAcosB+sinB=2sin(A+B)=2sinAcosB+2sinBcosA，
即sinB=2sinBcosA，
又因为A，B∈(0,π)，sinB≠0，所以cosA=12，
所以A=π3．
(2)取AB边的中点E，连接DE，则DE/​/AC，
且DE=12AC=1，∠AED=2π3，
在△ADE中，由余弦定理得：AD2=AE2+DE2−2AE⋅DE⋅cos2π3=13，
解得AE=3，所以AB=6．
在△ABC中，由余弦定理得：BC= AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cosA= 62+22−2×6×2×12=2 7，
所以△ABC的周长为8+2 7． 
【解析】(1)由正弦定理将边化角，然后利用内角和定理将sinC转化成sin(A+B)即可求解；(2)分别在两个三角形中用余弦定理即可求解出各边长，从而求出周长．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．

21.【答案】解：(1)∵cos2C −cos2A= 2sinAsinB−sin2B，
∴1−sin2C−(1−sin2A)= 2sinA⋅sinB−sin2B，
∴sin2A−sin2C= 2sinA⋅sinB−sin2B，
∴a2+b2−c2= 2ab，
∴cosC=a2+b2−c22ab= 2ab2ab= 22，
∵C∈(0,π)，
∴C=π4．
(2)∵8=a+b≥2 ab，∴ab≤16，当且仅当a=b=4时取等号，
∴(ab)max=16，
(S△ABC)max=12×16×sinπ4=4 2． 
【解析】(1)先把cos2C−cos2A= 2sinA⋅sinB−sin2B化为a2+b2−c2= 2ab，用余弦定理即可求解．
(2)先用基本不等式求出ab的最大值，再代入三角形的面积公式即可．
本题考查余弦定理与三角形面积公式、基本不等式的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．

22.【答案】解：(1)当BC= 2时，在△ABC中，AB=1,∠ABC=3π4，
由余弦定理得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos∠ABC，
即AC2=3−2 2cos3π4=5，解得AC= 5，
所以cos∠ACB=AC2+BC2−AB22AC⋅BC=62 10=3 1010，
因为∠BCD=π2，则sin∠ACD=cos∠ACB=3 1010，
又CD= 7，
所以△ACD的面积是S△ACD=12AC⋅CDsin∠ACD=12× 5× 7×3 1010=34 14．
(2)在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠ACB=ACsin∠ABC，
即AC=ABsin3π4sin∠ACB= 22cos∠ACD，
在△ACD中，由正弦定理得ADsin∠ACD=ACsin∠ADC，即AC=ADsinπ6sin∠ACD=1sin∠ACD，
则 22cos∠ACD=1sin∠ACD，整理得sin∠ACD= 2cos∠ACD，
因为∠ACD< π2，
所以tan∠ACD= 2，
因为∠BCD=π2，所以tan∠ACB=tan(π2−∠ACD)=sin(π2−∠ACD)cos(π2−∠ACD)=cos∠ACDsin∠ACD=1tan∠ACD= 22． 
【解析】(1)利用余弦定理求出AC，cos∠ACB，再利用诱导公式、三角形面积公式计算作答；
(2)在△ABC和△ACD中用正弦定理求出AC，再借助同角公式及诱导公式求解作答．
本题考查余弦定理以及三角函数的定义等知识方法，属于中档题．