2022-2023学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．复数是虚数单位，则（    ）

A．5 B． C．3 D．

【答案】B

【分析】根据虚数单位的性质得，再结合复数的乘法运算及复数模的概念即可得到答案.

【详解】复数，

故选：B.

2．某工厂生产的A，B，C三种不同型号的产品数量之比为2：3：5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A，B，C三种产品中抽出100件进行测试，则应该抽取的A型号产品的件数为（    ）

A．20 B．30 C．50 D．80

【答案】A

【分析】根据分层抽样的性质求出抽样比，然后求解即可.

【详解】某工厂生产的A，B，C三种不同型号产品的数量之比为，则A被抽的抽样比为，所以抽出100件产品中A型号产品的件数为，

故选：A

3．已知向量，，且，则m的值为（    ）

A． B．1 C．或2 D．2

【答案】C

【分析】根据数量积的坐标表示，即可求解.

【详解】由条件可知，，

即，解得：或.

故选：C

4．如图，在中，是的中点，若，，则等于（　　）

A．  B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用三角形法则与平行四边形法则表示向量.

【详解】因为是的中点，，，

所以，

所以.

故选：D.

5．河北省正定县的须弥塔是中国建筑宝库的珍贵遗产，是我国古建筑之精品，是中国古代高超的建筑工程技术和建筑艺术成就的例证. 一名身高1的同学假期到河北省正定县旅游，他在A处仰望须弥塔尖，仰角为，他沿直线向塔行走了后仰望须弥塔尖，仰角为，据此估计该须弥塔的高度约为（    ）（参考数据:

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】作出图形，求出角度，利用正弦定理结合的正弦值，求出答案.

【详解】如图，，因为，所以，

在 中，由正弦定理得，

所以，

其中

，

故

又，

又，

所以，又该同学身高，所以塔高约为.

故选：.

6．满足条件的的个数为（    ）

A．一个 B．两个 C．不存在 D．无法判断

【答案】B

【分析】利用余弦定理运算求解即可判断.

【详解】因为，即，解得或，

所以满足条件的有两个．

故选：B．

7．下列化简正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】逆用差角正弦公式求值可判断A；倍角正弦公式化简求值可判断B；和角正切公式化简求值可判断C；同角三角函数的平方关系可判断D.

【详解】对于A，，故A不正确；

对于B，，故B不正确；

对于C，，故C正确；

对于D，，故D不正确；

故选：C.

8．已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】令，利用向量模的计算公式把表示成t的函数，求出函数最小值即可.

【详解】因向量与共线，令，则，而向量，为单位向量，且，

于是得，当且仅当时取“=”，

所以的最小值为.

故选：B

二、多选题

9．若，则复数在复平面内对应的点可能在（    ）．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】CD

【分析】分与两种情况下得到余弦和正弦值的正负，得到答案.

【详解】当时，，故复数在复平面内对应的点在第三象限，

当时，，故复数在复平面内对应的点在第四象限.

故选：CD

10．某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），将成绩分成，，，，五组，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．的值为0.015

B．这40名学生数学考试成绩的众数的估计值为75

C．总体中成绩落在内的学生人数约为105

D．估计这40名学生数学考试成绩的约为87

【答案】ABD

【分析】根据频率和等于1可求出，从而可判断A；根据众数的概念可判断B；求出成绩落在内的频率，再乘以总人数可判断C；求出各组对应的频率，可知在内，列式求解即可判断D.

【详解】根据频率和等于1得，

解得，故A正确；

由频率分布直方图可知，众数的估计值为75，故B正确；

总体中成绩落在内的学生人数约为，故C错误；

各组对应的频率分别为0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，故在内，

设，则，解得，故D正确．

故选：ABD.

11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则是锐角三角形

C．若，则是等腰三角形

D．若为锐角三角形，则

【答案】AD

【分析】运用正弦定理边化角即可判断A项，运用平面向量数量积运算可推出A为锐角，但无法确定B、C是否为锐角即可判断B项，运用正弦定理边化角及二倍角公式可求得或可判断C项，由锐角三角形可得，再运用在上单调递增及诱导公式运算即可判断D项.

【详解】对于A项，在△ABC中，由正弦定理得：，，（为△ABC外接圆的半径），

因为，所以，所以，故A项正确；

所以B项，因为，所以，所以A为锐角，但无法确定B、C是否为锐角，故B项不成立；

对于C项，因为，

所以由正弦定理得：，即：，

所以或，

所以或，

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故C项不成立；

对于D项，因为△ABC为锐角三角形，

所以，

又因为在上单调递增，

所以，即：，故D项正确.

故选：AD.

12．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．在向量上的投影向量为

C．若，则为的中点

D．若在线段上，且，则的取值范围为

【答案】BD

【分析】以为轴，为轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算，A错误，投影向量为，B正确，直线与正八边形有两个交点，C错误，，D正确，得到答案.

【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，

设，

则，整理得到，

，

，，设，

对选项A：，，，错误；

对选项B：，，

，即投影向量为，正确；

对选项C：，

，

，整理得到，即，与正八边形有两个交点，错误；

对选项D：，，，

，，

整理得到，，故，正确.

故选：CD

【点睛】关键点睛：本题考查了向量的运算，投影向量，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中建立直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算，可以减少计算量，是解题的关键.

三、填空题

13．我国古代数学著作《九章算术》中用“圭田”一词代指等腰三角形田地，若一“圭田”的腰长为4，顶角的余弦值为，则该“圭田”的底边长为______．

【答案】

【分析】利用余弦定理结合条件即得.

【详解】设“圭田”的底边长为，则

由余弦定理可得，

解得，

即该“圭田”的底边长为.

故答案为：.

14．已知数据、、…、的方差为16，则数据、、…、的标准差为______.

【答案】12

【分析】直接利用方差的运算结论求解即可．

【详解】解：因为数据、、…、的方差为16，

由方差的运算结论可知，数据，，的方差，

所以，新数据的标准差为．

故答案为：．

15．若、为锐角，，，则角______．

【答案】

【分析】根据同角三角函数的基本关系式求得，然后利用两角差的正切公式结合条件即得.

【详解】由于为锐角，所以，

所以，，

所以，

所以.

故答案为：.

四、双空题

16．如图，在菱形中，，分别是边上的点，且，，连接，交点为．设，

则（1）_____；

（2）________．

【答案】         

【分析】（1），由三点共线得，，结合平面向量基本定理可求得；

（2）取作为平面的一组基底，用基底表示出向量，求出，，，由向量夹角公式即可求得答案.

【详解】，

又三点共线，则，，

因为不共线，由平面向量基本定理，得且，解得．

（2）取作为平面的一组基底，

则，，

不妨设，则，

，

，

，

．

故答案为：，．

五、解答题

17．某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，准备举办读书活动，并购买一定数量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段的人看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了40名读书者进行调查，将他们的年龄（单位：岁）分成6段：,,后得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求在这40名读书者中年龄分布在的人数；

(2)求这40名读书者的年龄的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.

【答案】(1)30；

(2)平均数54，中位数55.

【分析】（1）由图计算得年龄在的频率为，乘以人数即可；

（2）直接利用平均数公式即可计算出平均数，设中位数为，得到关于的方程，解出即可.

【详解】（1）由频率分布直方图知，年龄在的频率为

故这40名读书者中年龄分布在的人数为.

（2）这40名读书者年龄的平均数为

设中位数为，则

，

解得，故这40名读书者年龄的中位数为55.

18．已知向量，．

(1)若，求的值；

(2)若，求与的夹角的余弦值．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据向量平行列方程，即可求得的值；

（2）根据平面向量垂直列方程，求出的值，再结合坐标运算求与的夹角的余弦值即可．

【详解】（1）因为，，，所以，            

即，所以或．

（2）因为，所以，即

所以，

所以，即，                      

所以,，则，

所以.

19．已知为虚数单位，复数为纯虚数，且为实数.

(1)求复数；

(2)若复数是关于的方程在复数集内的一个根，求实数和实数的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据纯虚数与实数的定义，结合复数的运算，建立方程，可得答案；

（2）根据二次函数的复数根的性质，利用韦达定理，可得答案.

【详解】（1）由复数为纯虚数，设，则，

由为实数，则，解得，即.

（2）由题意可知，方程在复数集内的根为，

则，，

所以.

20．在中,角的对边分别为,且满足.

(1)求角;

(2)若为边的中点,且,,求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)由正弦定理将边化角,然后利用内角和定理将转化成即可求解;(2)分别在两个三角形中用余弦定理即可求解出各边长,从而求出周长.

【详解】（1）在中因为,

由正弦定理得,

所以,

即,

又因为,,所以,

所以.

（2）取边的中点,连接,则，

且,，

在中,由余弦定理得:

,

解得,所以.

在中,由余弦定理得:

所以的周长为.

21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求C的大小；

(2)已知a+b＝8，求△ABC的面积的最大值．

【答案】(1)C

(2)．

【分析】（1）先把题给条件化为，再利用余弦定理即可求解C的值．

（2）先用基本不等式求出ab的最大值，再代入三角形的面积公式即可求得△ABC的面积的最大值．

【详解】（1）∵，

∴，

∴，∴，

∴cosC，

又∵C∈（0，π），∴C．

（2）∵（当且仅当a＝b＝4时取等号），∴ab≤16，

∴S△ABC 的最大值为16×sin．

22．如图，在平面四边形ABCD中，.

(1)当时，求的面积.

(2)当时，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用余弦定理求出，，再利用诱导公式、三角形面积公式计算作答；

（2）在和中用正弦定理求出AC，再借助同角公式及诱导公式求解作答.

【详解】（1）当时，在中，，

由余弦定理得，

即，解得，

所以，

因为，则，

又，

所以的面积是.

（2）在中，由正弦定理得，

即，

在中，由正弦定理得，即，

则，整理得，

因为，

所以，

因为，所以.