2022-2023学年甘肃省定西市临洮重点中学高一（下）期中数学试卷

2022-2023学年甘肃省定西市临洮重点中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是(    )


 

A. 该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体
B. 该几何体有条棱、个顶点
C. 该几何体有个面，并且各面均为三角形
D. 该几何体有个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形

3.  已知复数，为的共轭复数，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是(    )

A.  
B.  
C.  
D.  

5.  已知，，且与的夹角为，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  函数的定义域是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  设点为内一点且，则：(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，某人在一条水平公路旁的山顶处测得小车在处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶分钟后，到达处，此时测得俯角为已知小车的速度是，点在水平面上，为山高，且，则此山的高(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知函数，则(    )

A. 的最大值为
B. 的最小正周期为
C. 是偶函数
D. 将图象上所有点向左平移个单位，得到的图象

10.  下列关于平面向量的说法中不正确的是(    )

A. ，，若与共线，则
B. 若，，则
C. 若，，均为非零向量，则
D. 若点为的重心，则

11.  如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有(    )

A.
B. 平面
C. 与平面所成角是
D. 与所成的角等于与所成的角
 

12.  如图，的三个内角，，对应的三条边长分别是，，，为钝角，，，，，则下列结论正确的有(    )

A.  B.
C.  D. 的面积为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段、、和在原正方体中相互异面的有______对．

14.  如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是__________．


 

15.  化简 ______ ．

16.  已知内角，，所对的边分别为，，，线段上的点满足，，，，则 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图，四边形是以向量，为边的平行四边形，且，相交于点，又，，试用，表示，，．

18.  本小题分
如图所示，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的中点，平面平面．
求证：
与平面是否平行？试证明你的结论．

19.  本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
当时，若，求的值．

20.  本小题分
设复数其中、，，其中．
设，若，求出实数的值；
若复数满足条件：存在实数，使得与是某个实系数一元二次方程的两个虚数根，求符合条件的复数的模的取值范围．

21.  本小题分
如图，四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，，为的中点，为的中点．
求证：平面；
求异面直线与所成角的余弦值．

22.  本小题分
在中，设角、、的对边分别为、、，已知．
求角的大小；
Ⅱ若，求周长的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，则
故选：．
直接把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简得到关于的式子，把的值代入即可求出值．
此题比较简单，要求学生会利用二倍角的余弦函数公式化简求值．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据几何体的直观图，得
该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体，
且有棱、、、、、、、、、、和，共条；
顶点是、、、、和共个；
且有面、面、面、面、面、面、面和面共个，且每个面都是三角形．
所以选项A、、C正确，选项D错误．
故选：．
根据几何体的直观图，得出该几何体的结构特征，由此判断选项A、、C正确，选项D错误．
本题考查了利用空间几何体的直观图判断几何体结构特征的应用问题，是基础题目．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，
则原图是平行四边形，相邻边长为：和，
原图的周长是：．
故选：．
判断水平放置的平面图形的直观图的圆图形，求出边长即可求解周长．
本题考查平面图形的直观图的画法，边长的求法，考查计算能力．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，且与的夹角为，
，
，
故，
故选：．
先计算出向量，的数量积，计算出，从而得出结论．
本题已知两个向量的长度与夹角，求它们线性组合的一个向量的模，着重考查了向量数量积的定义与向量模的公式等知识，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二倍角的余弦公式的应用，以及余弦函数的图象性质．解答关键是利用二倍角公式化简不等关系式，属于基础题．
根据对数的真数大于，列出不等式；利用二倍角的余弦公式可得，所以，，从而得到的范围．
【解答】
解：由题意得，得，即，
所以，，
，，
故选D．  

7.【答案】 

【解析】解：，，设为边的中点，则：
，
如图，，，三点共线，，

．
故选：．
可设为边的中点，然后根据可得出，这样即可求出：的值．
本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量的数乘的几何意义，三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：在山顶处测得小车在处的俯角为，山顶处测得小车在处的俯角为，
，，
设，
，，
，，
，
由余弦定理可知，，
解得，
此山的高．
故选：．
设，依题意，在中利用余弦定理可求得，从而可得答案．
本题考查解三角形，着重考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
则函数的最大值为，故A正确，
函数的最小正周期，故B错误，
为偶函数，故C正确，
将图象上所有点向左平移个单位，得到的图象，故D错误，
故正确的是，
故选：．
利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的最值性，周期性以及三角函数图象变换分别进行判断即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行转化是解决本题的关键．难度不大．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的应用及方程思想的应用，同时考查了举反例判断命题的真假性，属于中档题．
对于选项A：由共线知，从而解得；对于选项B：由坐标运算化简即可；对于选项C：举例，，即可判断；对于选项D：由结论可直接判断．

【解答】

解：，，与共线，
，故，故A错误；
，，，则，故B正确；
若，，，则，，故C错误；
若点为的重心，则，故D错误；
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：四边形为正方形，，
平面，平面，，
，，平面平面，平面，
平面，，故A正确，
B.四边形为正方形，，
又平面，平面，平面，故B正确，
C.平面，是在平面上的射影，则与平面所成角是，故C正确，
D.，平面，平面，
，为锐角，
与所成的角为直角，与所成的角为锐角，
故AB与所成的角不等于与所成的角，故D错误，
故选：．
根据线面平行，线面垂直以及线面角，异面直线所成角的定义分别进行判断即可．
本题主要考查与空间立体几何有关的命题的真假判断，根据线面平行和垂直，以及线面角的定义进行求解判断是解决本题的关键，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由，得：，
又角为钝角，
解得：，
由余弦定理，得：，
解得，可知为等腰三角形，即，
所以，
解得，故A正确，
可得，
在中，，得，可得，故B错误，
，可得，可得，故C正确，
所以的面积为，故D错误．
故选：．
由已知利用二倍角的余弦函数公式可求的值，利用余弦定理求得的值，再计算，由同角的三角函数关系求出，根据直角三角形边角关系求出，，的值，再计算的面积从而得解．
本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：画出展开图复原的几何体，所以与重合，，重合，
所以：四条线段、、和在原正方体中相互异面的有：
与，与，与，
共有对．
故答案为：．
展开图复原几何体，标出字母即可找出异面直线的对数．
本题考查几何体与展开图的关系，考查异面直线的对数的判断，考查空间想象能力．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法．向量的方法能降低空间想象难度，但要注意有关点，向量坐标的准确．否则容易由于计算失误而出错．
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线与所成的角．
【解答】
解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为，
则，，，，，
，所以，即，异面直线与所成的角的大小是，
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
由已知结合同角基本关系，和差角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了同角基本关系，和差角公式的应用，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：在中，，，
因为，为锐角，
所以，，
由余弦定理，可得，可得，
又，故BC，
所以，，
在中，由余弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，可得，可得，
又，可得，可得，可得，
可得，．
故答案为：．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，由余弦定理的值，进而可求，的值，在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求的值．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

17.【答案】解：，，，
，
，
，，
，
． 

【解析】利用向量的线性运算，结合图形，即可得到结论．
本题考查向量的线性运算，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想，属于基础题．
 

18.【答案】解：证明：
因为，平面，平面，
所以平面．
又因为平面平面，
所以
平行．
如图：

取的中点，连接、，
是的中点，是的中点，
，且，
，是的中点，
且．
所以四边形为平行四边形，
所以．
又平面，平面，
所以平面． 

【解析】根据，我们可以知道平面，由平面平面，可以证得；
要证明平面关键是在平面中找出与平行的直线，由于、分别是、的中点，故可利用取中点的方法求解．
本题以四棱锥为载体，考查线线平行，线面平行，证题的关键是合理运用线面平行的判定及性质定理．
 

19.【答案】解：由三角函数公式化简可得：




，
的最小正周期；
，
，，，
，． 

【解析】由三角函数公式化简可得，由周期公式可得；
由题意可得，可得，，结合的范围可得．
本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性，属基础题．
 

20.【答案】解：，，
，，
，，
解得．
，，
与是某个实系数一元二次方程的两个虚数根，
与互为共轭复数，，
若，则，由于，不为零，不符合题意，
若，则，整理得，
，，，
复数的模的取值范围为． 

【解析】由，得到 和，由得到关于的方程，再求出即可．
由与是某个实系数一元二次方程的两个虚数根，可知与互为共轭复数，从而得到，
再分，两种情况讨论，即可求解．
本题考查了复数的运算法则，以及复数的模，考查了推理与计算能力，属于基础题．
 

21.【答案】证明：四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，，
所以为等腰三角形．
由于点为的中点，所以，
如图所示：

由于，平面，
所以，
故CD平面，
由于平面，
所以，
故AF平面．
解：设，由于，
所以，
由于，
所以，
取的中点，
连接，
由于为的中点，
所以，
故EG，
故异面直线与所成角即直线与直线所成的角，
由于，，
在中，． 

【解析】直接利用四棱锥中，线面的垂直的判定和性质求出结果；
利用异空间问题和平面问题之间的转换，把异面直线的夹角转换为解三角形知识，进一步利用余弦定理求出结果．
本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质，异面直线的夹角，余弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：，
，
，
，
，
又，．
Ⅱ，，，
则的周长，
，，
，
周长的取值范围是． 

【解析】由三角函数的平方关系、余弦定理即可得出；
利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性即可得出．
熟练掌握三角函数的平方关系、正、余弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等是解题的关键．