2023年山东省青岛市城阳十三中中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省青岛市城阳十三中中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列正多边形中，不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  “北斗三号”的授时精度小于，则用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图所示的几何体，它的俯视图是(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.  如图，将先向上平移个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是(    )

 

A.  B.  C.  D.

6.  把和如图放置，，，正好在一条直线上，，，则下列结论：≌；；；若，则其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，矩形的长，宽，的平分线分边为、两部分，这、的长分别为(    )

A. 和
B. 和
C. 和
D. 和

8.  已知在一、三或二、四象限内，正比例函数和反比例函数的函数值都随的增大而增大，则这两个函数在同一坐标系中的大致图象是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  计算： ______ ．

10.  小丽参加了某电视台的招聘考试，她在采访写作、计算机操作、创意设计这三种测试中的成绩分别是分、分、分，如果这三种成绩按：：计算，那么小丽的最终得分为______分．

11.  已知函数，下列关于它的图象与性质的说法：
函数图象与坐标轴无交点；
函数图象关于轴对称；
随的增大而减小；
函数有最大值．
其中正确的说法是______ 写出所有正确说法的序号

12.  已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为______ ．

13.  如图，点、分别在正方形的边、上，，与相交于点，点为的中点，连接，若的长为，则正方形的边长为______ ．

14.  一个圆锥的底面半径为，将其侧面展开得到扇形圆心角为，则此圆锥的高为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

15.  化简：

 

四、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
如图，城市规划期间，要拆除一电线杆，已知距电线杆水平距离米的处有一大坝，背水坡的坡度：，坝高为米，在坝顶处测得杆顶的仰角为，、之间是宽为米的人行道，试问在拆除电线杆时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上，请说明理由．在地面上，以点为圆心，以长为半径的圆形区域为危险区域

17.  本小题分
如图，在平行四边形中，是边上一点，且，连接．
尺规作图：作的平分线交于，交于不需要写作图过程，保留作图痕迹；
若，，求的长．

18.  本小题分
年月日下午，“天宫课堂”第三课开讲，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．在学校组织的航天知识竞赛中，小明和小雪均获得了一等奖，学校决定通过两人做游戏的方式，从中选取一名游戏获胜的同学作为代表分享获奖心得．游戏规则如下：
甲口袋不透明装有编号为，，的三个小球，乙口袋不透明装有编号为，，，的四个小球，每个口袋中的小球除编号外其他都相同．小明先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为偶数，则小明获胜；若两球编号之和为奇数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．

19.  本小题分
济川中学开展了为期一周的“敬老爱亲”活动，随机调查了初一部分学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间单位：小时分成组，：，：，：，：，：，制作成两幅不完整的统计图如图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
济川中学随机调查了初一______名学生；
补全频数分布直方图；
若初一共有名学生，估计济川中学初一学生在这次活动中做家务的时间不少于小时的学生有多少人？

20.  本小题分
明德中学需要购进甲、乙两种笔记本电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少万元，且用万元购买的甲种电脑的数量与用万元购买的乙种电脑的数量相同．
求每台甲种电脑、每台乙种电脑的价格分别为多少万元；
学校计划用不超过万元购进甲、乙两种电脑共台，其中乙种电脑的数量不少于甲种电脑数量的倍，学校有哪几种购买方案？

21.  本小题分
如图，在和中，，，，、相交于点．
求证：≌；
若，求的度数．

22.  本小题分
现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为．
求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点，处分别安装照明灯已知点，到的距离均为，求、两点间的距离．

23.  本小题分
概念学习
规定：求若干个相同的有理数均不等于的除法运算叫做除方，如，等类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”．
初步探究
直接写出计算结果： ______ ， ______ ；
关于除方，下列说法错误的是______
A.任何非零数的圈次方都等于；
B.对于任何正整数，；
C.
D.负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式 ______ ； ______ ； ______ ．
想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于______ ；
算一算：．

24.  本小题分
如图，在四边形中，，，，，点在上，连接、、．
求的长；
探索：是否存在这样的点，使得平分、平分同时成立？若存在，求出的长；若不存在，说明理由；
如图，与相交于点，过点作，与相交于点设、的面积分别为、若，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是：．
故选：．
直接利用绝对值的性质得出答案．
此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：正方形是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.正五边形不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.正六边形是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.正八边形是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形的概念结合选项的图形进行判断即可．
本题考查了中心对称图形的知识，要注意中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是整数负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】 

【解析】解：从上面看这个组合体，所看到的图形如下：

故选：．
根据简单组合体的三视图的画法得出从上面看所得到的图形即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义和三视图的画法是正确判断的前提．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
根据平移和旋转的性质，将先向上平移个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，即可得点的对应点的坐标．
本题考查了坐标与图形变换旋转、平移，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
【解答】
解：如图，即为所求，

则点的对应点的坐标是．
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：，
，
在和中，
，
≌，故正确；
，
，
，故正确；
≌，
，，
，
，
，
，故正确；
，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
故选：．
由“”可证≌，利用全等三角形的性质依次判断可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故选：．
由矩形的性质可得，，由平行线的性质和角平分线的性质可得，可得，即可求解．
本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，掌握矩形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：正比例函数的函数值都随的增大而增大，
正比例函数应过一三象限，排除、；
又反比例函数的函数值都随的增大而增大，
反比例函数应过二四象限，、两选项中只有符合．
故选：．
此题直接根据正比例函数与反比例函数的增减性用排除法进行解答即可．
本题考查正比例函数和反比例函数图象的性质，比较简单．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次根式的乘除法运算，把有理数因数与有理数因数进行运算，二次根式与二次根式进行运算，结果要化简．
【解答】
解：原式．
故答案为．  

10.【答案】解：小丽的最终得分为分，
故答案为：． 

【解析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
 

11.【答案】 

【解析】解：当时，，即函数与轴的交点为，故此说法错误；
，
和时，，
函数图象关于轴对称，故此说法正确；
当时，随增大而增大，
随增大而减小，
函数图象关于轴对称，
当时，随增大而增大，如下图函数图象所示，故错误；

，
，
函数有最大值，故此说法正确；
故答案为：．
当时，，即可判断；根据和时，即可判断；当时，随增大而增大，则随增大而减小，由对称性可知当时，随增大而增大，即可判断；根据即可判断．
本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟知反比例函数图象的性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
抛物线的对称轴为，开口向上，抛物线与轴的一个交点为，
则关于对称的点为，
即抛物线与轴另一个交点为，
所以时，的取值范围是．
故答案为：．
根据解析式，得抛物线的对称轴为，开口向上，抛物线与轴的另一个交点为，结合图形即可求解．
本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，数形结合是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形为正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
设正方形的边长为，则
、，
在中，
由勾股定理得，，
，
解得或舍去，
正方形的边长为，
故答案为：．
根据正方形的四条边都相等可得，每一个角都是直角可得，然后利用“边角边”证明≌得，进一步得，从而知，利用勾股定理求出的长即可得出答案．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面周长为：；
圆锥侧面展开图的弧长为，
设圆锥的母线长为，
，
解得．
由勾股定理得圆锥的高为．
故答案为：．
求得圆锥的底面周长，利用弧长公式即可求得圆锥的母线长，然后再利用勾股定理求圆锥的高即可．
本题主要考查圆锥侧面展开图的知识和圆锥侧面面积的计算；正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
 

15.【答案】解：原式；

原式


． 

【解析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并即可得；
根据分式混合运算顺序和运算法则计算可得．
本题主要考查分式的混合运算与整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．
 

16.【答案】解：由，米，
米，米；
米，
米；
在中，由，
米；
米；
而米，
；
因此不需要封人行道． 

【解析】根据题意分析图形可得：在中，由，，可求得，进而得到的长．解可得的值，通过比较、的大小即可求出答案．
本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
 

17.【答案】解：射线如图所示．


，平分，
，
，
在中，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
． 

【解析】本题考查作图基本作图，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
利用尺规作出的角平分线即可．
利用勾股定理求出，证明，即可解决问题．
 

18.【答案】解：根据题意列表如下：

共有种等可能的结果，其中两球编号之和为偶数的有种结果，两球编号之和为奇数的有种结果，
则小明获胜的概率是，小雪获胜的概率是，
，
这个游戏对双方公平． 

【解析】先用列表法将所有可能发生的结果列出来，再分别求出小明获胜和小雪获胜的概率，进行比较即可求解．
本题考查列表法，游戏公平性，解题的关键是正确列出所有可能的结果．
 

19.【答案】解：；
组人数为人，
则组人数为人，
补全图形如下：

人． 

【解析】

解：济川中学随机调查学生的人数为人，
故答案为：；
见答案；
估计济川中学初一学生在这次活动中做家务的时间不少于小时的学生有人，
故答案为：．
【分析】
根据组人数及其所占百分比即可得出总人数；
总人数乘以组的百分比求得组人数，总人数减去其余各组人数求得人数人数即可补全条形图；
总人数乘以样本中组人数所占比例可得．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．  

20.【答案】解：设每台甲种电脑的价格为万元，则每台乙种电脑的价格为万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
．
答：每台甲种电脑的价格为万元、每台乙种电脑的价格为万元．
设购买乙种电脑台，则购买甲种电脑台，
根据题意得：，
解得：．
又为整数，
可以取，，．
学校有三种购买方案，
方案：购买甲种电脑台，乙种电脑台；
方案：购买甲种电脑台，乙种电脑台；
方案：购买甲种电脑台，乙种电脑台． 

【解析】设每台甲种电脑的价格为万元，则每台乙种电脑的价格为万元，根据用万元购买的甲种电脑的数量与用万元购买的乙种电脑的数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购买乙种电脑台，则购买甲种电脑台，根据“购买两种电脑的总费用不超过万元，且购进乙种电脑的数量不少于甲种电脑数量的倍”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可得出各购买方案．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 

21.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌；
解：，
，
由可知，，
． 

【解析】由证明≌，即可得结论；
由平行线的性质得，再由可知，，然后由三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：由题意得，顶点，
设抛物线的函数表达式为，
将代入，得，
解得，
抛物线的函数表达式为：；
令，得，
解得，
，，
，两点的距离为． 

【解析】设抛物线的函数表达式为，将代入，即可求解．
令，解一元二次方程，求得点，，的坐标，进而即可求解．
本题考查了二次函数的应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．
 

23.【答案】          

【解析】解：初步探究
，；
选项错误；
深入思考
；；．
；
原式
．
故答案为，，，，，，．
初步探究
根据新定义计算；
根据新定义可判断C错误；
深入思考
把有理数的除方运算转化为乘方运算进行计算；
利用新定义求解；
先把除方运算转化为乘方运算进行计算，然后进行乘除运算．
本题考查了有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
 

24.【答案】解：如图，过作于，则四边形是矩形，

，矩形性质，
，
在中，
由勾股定理得，
，
的长为；
不存在，理由如下：
如图，过作交于，交于，

，
，两直线平行，内错角相等，
两直线平行，同位角相等，
平分，
角平分线的性质，
，
等角对等边，
在中，，
由勾股定理得，
，
，
，
，
，
设，则，，
，，
∽，
，
即，
解得，
，
，
∽，
，即，
解得，
，
若平分，则，即，
，与矛盾，
不存在这样的点，使得平分、平分同时成立；
令中边上的高为，中边上的高为，
，
，，
∽，
设，则，
，，
，，
，即，
整理得，则，
解得，舍去，
，
如图，过作交于，

，
∽，
，
即，
，，
，
∽，
，即，
解得，
，
，
的长为． 

【解析】如图，过作于，则四边形是矩形，可得，在中，由勾股定理得求的值，进而可得的值；
如图，过作交于，交于，则，，，，令平分，可证，在中，，由勾股定理得，则，进而可证，设，则，，证明∽，则，即，求得，则，证明∽，则，即，可得，则，若平分，则，即，判断，与矛盾，进而可得结论；
令中边上的高为，中边上的高为，证明∽，设，则，，，表示，，根据，解，求得满足要求的，则，如图，过作交于，证明∽，则，即，解得，，证明∽，则，即，求出的值，进而可得的值，然后根据计算求解即可．
本题考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，角平分线，等角对等边，正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．