2023年山东省青岛市即墨区中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省青岛市即墨区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  如图，内接于，是的直径，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且为非负整数，则符合条件的的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4.  如图，正方形的边长为，将正方形绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，在边长为的菱形中，为边的中点，连接交对角线于点若，则这个菱形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：

；；；

为实数；．

其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.  粮食是人类赖以生存的重要物质基础年我国粮食总产量再创新高，达万吨比年增加万吨，增长，万可用科学记数法表示为        ．

8.  计算， ______ ．

9.  若一组数据，，，，，的平均数为，众数为，则这组数据的方差为______．

10.  某品牌瓶装饮料每箱价格是元，某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”的促销活动，即整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了元，问该品牌饮料每瓶多少元？设该品牌饮料每瓶是元，则可列方程为______ ．

11.  如图，在中，，，以为直径的交于点，弧沿直线翻折后经过点，那么阴影部分的面积为        ．

12.  如图，在正方形中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且，连接交边于点过点作，垂足为点，交边于点若，，则线段的长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
已知：在及边上一点求作：，使它分别于，相切，且点为其中一个切点．

14.  本小题分
化简：；
解方程组．

15.  本小题分
如图，有四张背面完全相同的纸牌、、、，其正面分别画有四个不同的几何图，这四张纸牌背面朝上洗匀．

用画树状图或列表法表示同时摸出两张牌的所有可能出现的结果纸牌可用，，，表示；
求摸出两张牌的牌面图形都是中心对称图形的概率．

16.  本小题分
已知二次函数．
求证：二次函数的图象与轴总有两个交点；
若二次函数的图象与轴交点的横坐标一个大于，一个小于，求的取值范围．

17.  本小题分
如图，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．

问题发现
当时，        ；
当时，        ；
拓展探究
试判断当时，的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明．

18.  本小题分
如图，直线，都与双曲线交于点，这两条直线分别与轴交于，两点．
求与之间的函数关系式；
直接写出当时，不等式的解集；
若点在轴上，连接把的面积分成：两部分，求此时点的坐标．

19.  本小题分
在菱形中，，分别是其外角和的平分线，的延长线交于点，的延长线交于点．
证明：≌；
判断四边形是什么特殊四边形并说明理由．

20.  本小题分
跳绳项目在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，在中考体考来临前，某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳已知甲、乙两种跳绳进价单价之和为元；甲种跳绳每根获利元，乙种跳绳每根获利元；店主第一批购买甲种跳绳根、乙种跳绳根一共花费元．
甲、乙两种跳绳的单价分别是多少元？
若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共根，在费用不超过元的情况下，如何进货才能保证利润最大？
由于质量上乘，前两批跳绳很快售完，店主第三批购进甲、乙两种跳绳若干，当甲、乙两种跳绳保持原有利润时，甲、乙两种跳绳每天分别可以卖出根和根，后来店主决定将甲、乙两种跳绳的售价同时提高相同的售价，已知甲、乙两种跳绳每提高元均少卖出根，为了每天获取更多利润，请问店主将两种跳绳同时提高多少元时，才能使日销售利润达到最大？

21.  本小题分
如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为．

请根据已有信息添加一个适当的条件：______；
当函数值时，自变量的取值范围：______；
如图，将函数的图象向右平移个单位长度，与的图象组成一个新的函数图象，记为若点在上，求的值；
如图，在的条件下，点的坐标为，在上是否存在点，使得若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，故A选项不符合题意；
B.因为，故B选项符合题意；
C.因为，故C选项不符合题意；
D.因为，故D选项不符合题意．
故选：．
A.应用合并同类项法则进行求解即可得出答案；
B.应用积的乘方运算法则进行计算即可得出答案；
C.应用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可得出答案；
D.应用完全平方公式进行计算即可得出答案．
本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则和完全平方公式，熟练掌握运算法则进行求解是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：连接，

是的直径，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可求出的度数，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
且，
符合条件的的非负整数值是，，一共个．
故选：．
根据题意可得根的判别式，列出不等式，求出的取值范围，在此取值范围内找出符合条件的的非负整数值即可．
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
正方形的边长为，
，，，
，
将正方形绕原点顺时针旋转后点旋转到的位置，
在轴正半轴上，且，
点的坐标为，
故选：．
连接，由正方形的性质和勾股定理得，再由旋转的性质得在轴正半轴上，且，即可得出结论．
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接交于，如图，
四边形为菱形，
，，，，，
为边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
菱形的面积．
故选：．
连接交于，如图，根据菱形的性质得到，，，，，再利用得到，证明得到，则，所以，接着利用勾股定理计算出，从而得到
，然后根据菱形的面积公式计算它的面积．
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积、是两条对角线的长度．
 

6.【答案】 

【解析】解：由抛物线可知：，，
对称轴，
，
，故正确；
由对称轴可知：，
，
时，，
，
，故错误；
关于的对称点为，
时，，故正确；
当时，的最小值为，
时，，
，
即，故正确；
抛物线与轴有两个交点，
，
即，
，故正确；
故选：．
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：万．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，可以用整数位数减去来确定．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法．
 

8.【答案】 

【解析】解：原式



．
故答案为：．
原式利用二次根式性质，以及负整数指数幂法则计算即可求出值．
此题考查了二次根式的混合运算，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了众数、平均数和方差，一般地设个数据，，，，的平均数为，则方差；解答本题的关键是掌握各个知识点的概念．
根据众数的定义先判断出，中至少有一个是，再根据平均数的计算公式求出，然后代入方差公式即可得出答案．
【解答】
解：一组数据，，，，，的平均数为，众数为，
，中至少有一个是，
一组数据，，，，，的平均数为，
，
，
，中一个是，另一个是，
这组数据的方差为；
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】解：设该品牌饮料每瓶是元，
由题意得，．
故答案为：．
设该品牌饮料每瓶是元，根据题意可得：元单独买比元成箱买少了瓶，据此列方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
 

11.【答案】 

【解析】解：设点是的中点，连接，，，与交于，
弧沿直线翻折后经过点，
，，
，
，
四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，，
阴影部分的面积的面积扇形，
故答案为：．
设点是的中点，连接，，，与交于，根据折叠的性质得到，，推出四边形是菱形，得到是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形面积的计算，折叠的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，，

四边形为正方形，
，，，
，
≌，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
≌，≌，
，
设，
，，
，
，，
在中，由勾股定理可得：
，
即，
解得：，
，，
在中，由勾股定理可得：
，
，
在中，由勾股定理可得：
，
，
故答案为：．
连接，，，由正方形的性质可得，，，可证得≌，可得，，从而可得，根据等腰三角形三线合一可得点为中点，由可证得≌，≌，可得，设，则，，由勾股定理解得，可得，由勾股定理可得，从而可得，由勾股定理可得，即可求解．
本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，构建全等三角形解决问题．
 

13.【答案】解：如图，即为所求．
 

【解析】过点中，作的角平分线交于点，以为圆心，为半径作即可．
本题考查作图复杂作图，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

14.【答案】解：原式


；
，
得，
解得，
得，
解得，
所以原方程组的解为． 

【解析】先把分解因式和除法运算化为乘法运算，再约分，接着通分，然后进行同分母的减法运算即可；
利用加减消元法解方程组．
本题考查了分式的混合运算：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．也考查了解二元一次方程组．
 

15.【答案】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，分别为：，，，，，，，，，，，．
纸牌，，，的牌面图形中，为中心对称图形的是，，
由树状图可知，共有种等可能的结果，
其中摸出两张牌的牌面图形都是中心对称图形的结果有：，，共种，
摸出两张牌的牌面图形都是中心对称图形的概率为． 

【解析】直接画树状图得出所有等可能的结果即可．
由树状图可得出所有等可能的结果数和摸出两张牌的牌面图形都是中心对称图形的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

16.【答案】证明：
，
二次函数的图象与轴总有两个交点；
当时，，
，
解得，，
抛物线与轴的交点坐标为、，
，
解得，
即的取值范围为． 

【解析】先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义可判断抛物线与轴总有两个交点；
先解方程得，，则可得到抛物线与轴的交点坐标为、，根据题意得到，然后解不等式组即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置；决定抛物线与轴的交点个数，时，抛物线与轴有个交点．也考查了解一元一次不等式组．
 

17.【答案】  

【解析】解：当时，
中，，
，
点、分别是边、的中点，
，，
；
故答案为：；
如图中，

当时，
可得，
，
．
故答案为：；
如图，

当时，的大小没有变化，
，
，
又，
∽，
．
当时，在中，由勾股定理，可求的长；然后根据点、分别是边、的中点，分别求出、的大小，即可求出的值；
时，可得，然后根据，可求的值；
首先判断出，再根据，判断出∽，然后由相似三角形的对应边成比例，可求解．
本题属于相似三角形综合题，考查了旋转变换，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
 

18.【答案】解：把代入，可得，
，
把代入双曲线，可得，
与之间的函数关系式为：；
解得或，
直线与双曲线交于点和，
由图象可知，当时，不等式的解集为：；
，令，则，
点的坐标为，
把代入，可得，
，
，
令，则，即，
，
把的面积分成：两部分，
，或，
，或，
或． 

【解析】求得，把代入双曲线，可得与之间的函数关系式；
求得直线与双曲线的交点，可得当时，不等式的解集为；
分两种情况进行讨论，把的面积分成：两部分，则，或，即可得到，或，进而得出点的坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
 

19.【答案】证明：四边形是菱形，
，，，
，，
平分，
，
，
同理可得：，
，
在和中，
，
≌；
解：四边形是矩形，理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形． 

【解析】由“”可证≌；
由对角线互相平分可求四边形是平行四边形，由对角线相等可证平行四边形是矩形．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

20.【答案】解：设甲、乙两种跳绳的单价各是元和元，
根据题意得，，
解得：，
答：甲、乙两种跳绳的单价各是元和元；
设第二批购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，
由题意得，，
，
随的增大而减小，
费用不超过元，
，
解得：，
当购进甲种跳绳根，购进乙种跳绳根，利润最大；
设店主将两种跳绳同时提高元时，才能使日销售利润达到最大，
由题意得，，
当店主将两种跳绳同时提高元时，才能使日销售利润达到最大． 

【解析】设甲、乙两种跳绳的单价各是元和元，根据题意列出方程即可解决问题；
设设第二批购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，列出函数关系式和不等式即可解决问题．
设店主将两种跳绳同时提高元时，才能使日销售利润达到最大，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．
本题考查二次函数的性质、一元二次方程组、一元一次不等式等知识，解题的关键是学会设未知数关键方程或不等式或二次函数解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：；答案不唯一 
；
，
抛物线向右平移个单位后的解析式为，
当时，点只能在抛物线的部分上，
；

存在点，使得，理由如下：
点在抛物线的部分上时，
设，
，
解得或，
，
，
；
当点在抛物线的部分上时，
设，
，
解得或，
，
，
；
综上所述：点坐标为或． 

【解析】解：，
故答案为：答案不唯一；
，
当时，解得或，
当时，，
故答案为：；
，
抛物线向右平移个单位后的解析式为，
当时，点只能在抛物线上，
；
存在点，使得，理由如下：
当点在抛物线的部分上时，
设，
，
解得或，
，
，
；
当点在抛物线的部分上时，设，
，
解得或，
，
，
；
综上所述：点坐标为或．
只需填一个在抛物线图象上的点的坐标即可；
求出当时，对应的值，再结合图象写出的取值范围即可；
求出抛物线向右平移个单位后的解析式为，根据题意可知时，点在抛物线的部分上，再求的值即可；
分两种情况讨论：当点在抛物线的部分上时，设，由，求出点坐标即可；当点在抛物线的部分上时，设，由，求出点坐标即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合解题是关键．