2023年山东省青岛市城阳八中中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省青岛市城阳八中中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  中国饮食文化绵延上万年，甚至走出国门，直接影响到日本、蒙古、朝鲜、新加坡等国家，是东方饮食文化圈的轴心，每逢佳节，为增添喜庆筵席欢乐气氛，厨师们用精湛的刀工，把食物雕刻成“喜”“寿”“福”“禄”，这几个字中，是轴对称图形的是(    )

A. 喜 B. 寿 C. 福 D. 禄

2.  下列实数：，，，，，，其中无理数的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3.  如图，立体图形的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  “一带一路”是中国与世界的互利共赢之路，据统计，“一带一路”地区覆盖的总人口约为亿人，则“亿”这个数用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，将线段平移后点的对应点是，则点的对应点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  已知的半径为，若，则经过点的弦长可能是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，已知点，，连接，将沿翻折，使点与点重合，且点恰好在函数上，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知一次函数与二次函数，它们在同一坐标系内的大致图象是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  计算：______．

10.  在一个不透明的袋中装有若干个红球和个黑球，每个球除颜色外完全相同，摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸球次，其中有次摸到黑球，估计袋中红球的个数是______．

11.  上海世博会召开后，更多的北京人坐火车去上海参观京沪线铁路全程为，某次列车的全程运行时间单位：与此次列车的平均速度单位：的函数关系式是______ 不要求写出自变量的取值范围
 

12.  若一组数据，，，的平均数为，方差为，则另一组数据，，，的平均数是______ ，方差是______ ．

13.  如图，将正方形置于平面直角坐标系中，其中，，边在轴上，直线：与正方形的边有两个交点、，当时，的取值范围是______．

14.  如图，菱形中，点是边的中点，垂直交的延长线于点，若：：，，则菱形的边长是        ．

三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
如图，平分，点为上一点．
尺规作图：以为顶点，作，交于点不写作法，保留作图痕迹；
在的条件下，若，求的度数．

16.  本小题分
计算：
；

 

17.  本小题分
近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：非常了解；比较了解；基本了解；不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．

对雾霾天气了解程度的统计表

请结合统计图表，回答下列问题：
本次参与调查的学生共有______，______；
扇形统计图中部分扇形所对应的圆心角是______度；
请补全条形统计图；
根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字，，，，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．

18.  本小题分
某校安装了红外线体温检测仪如图，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，其红外线探测点可以在垂直于地面的支杆上下调节如图，探测最大角为，探测最小角为，已知该设备在支杆上下调节时，探测最大角及最小角始终保持不变结果精确到米，参考数据：，，，，，
若该设备的安装高度为米时，求测温区域的宽度；
若要求测温区域的宽度为米，请你帮助学校确定该设备的安装高度．

19.  本小题分
某校为了解在春节期间学生在家的上网时间，随机抽查了该校若干名学生，对他们在春节期间的上网时间进行统计每个学生只选一个选项，绘制了统计表和条形统计图．

根据以上信息回答下列问题：
统计表中 ______ ， ______ ．
补全条形统计图；
若该校有名学生，请估计该校学生春节期间在家上网时间少于小时不包含小时的人数．

20.  本小题分
“冰墩墩”和“雪容融”作为北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，某旗舰店销售“冰墩墩”毛绒玩具总额为元，销售“雪容融”毛绒玩具总额为元，其中“冰墩墩”的销售单价比“雪容融”的销售单价多元，并且销售“冰墩墩”的数量是“雪容融”数量的倍．
求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别是多少元？
已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为元个和元个，进入年月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是该旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的倍，且这两款毛绒玩具购进总价不超过元．为回馈新老客户，该旗舰店决定对“冰墩墩”降价后再销售，若月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润．

21.  本小题分
如图，在中，，是上任意一点，过分别向，引垂线，垂足分别为，，是边上的高．
当点在的什么位置时，？并证明．
，，的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；
若在底边的延长线上，中的结论还成立吗？若不成立，请直接写出，，之间的数量关系，不必证明．

22.  本小题分
一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为．
求抛物线的函数解析式不写自变量的取值范围；
小球在斜坡上的落点的垂直高度为______米；
若要在斜坡上的点处竖直立一个高米的广告牌，点的横坐标为，请判断小球能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由；
求小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度．

23.  本小题分

如图，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形，并探究下列问题：

在第个图中，共有白色瓷砖________块；在第个图中，共有白色瓷砖________块；

在第个图中，共有瓷砖________块；在第个图中，共有瓷砖________块；

如果每块黑瓷砖元，白瓷砖元，铺设当时，共需花多少钱购买瓷砖？

24.  本小题分
如图，已知为半圆的直径，为半圆上的一个动点不含端点，以、为一组邻边作▱，连接、，设、的中点分别为、，连接、．
试判断四边形的形状，并说明理由．
若点从点出发，以每秒的速度，绕点在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为．
试求：当为何值时，四边形的面积取得最大值？并判断此时直线与半圆的位置关系需说明理由；
是否存在这样的，使得点落在半圆内？若存在，请直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：“寿”“福”“禄”都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
“喜”能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
无理数有，，共有个．
故选：．
无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

3.【答案】 

【解析】解：从上边看，底层中间是一个小正方形，上层是三个小正方形．
故选：．
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
将亿用科学记数法表示应为。
故选：。
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数。确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数。
此题考查科学记数法的表示方法。科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值。
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
利用平移的性质解决问题即可．
【解答】
解：点向右平移个单位，向上平移个单位得到，
点向右平移个单位，向上平移个单位得到，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理和垂径定理，解决此题的关键是确定过点的最短弦长．经过点的弦长在与垂直的弦长和直径长之间，根据勾股定理和垂径定理可求与垂直的弦长，的半径为，可求直径长，从而作出选择．
【解答】
解：过作，交于、，连接；

在中，，；
根据勾股定理，得：；
故AB；
所以过点的弦长应该在之间，
故选C．  

7.【答案】 

【解析】解：过点作轴于，作于，如图，设，，
点，，
，，
沿翻折，使点与点重合，
，，，
，，
，
∽，
，即，
，，
，，解得，，
，
点坐标为，
点好在函数上，
．
故选：．
过点作轴于，作于，如图，设，，先根据折叠的性质得，，，再证明∽，利用相似比得到，，则，，于是可求出得，，从而得到点坐标，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征求出的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即也考查了相似三角形的判定与性质和折叠的性质．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标，与轴交点位置等．
可先根据一次函数的图象判断、的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】
解：、由一次函数图象，得，，由二次函数图象，得，，故A错误；
B、由一次函数图象，得，，由二次函数图象，得，，故B错误；
C、由一次函数图象，得，，由二次函数图象，得，，故C正确；
D、由一次函数图象，得，，由二次函数图象，得，，故D错误；
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：原式

，
故答案为：．
先化简二次根式、计算零指数幂，再去绝对值符号，最后计算加减即可得．
本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握实数运算的顺序和有关运算法则．
 

10.【答案】 

【解析】解：设袋中红球的个数是个，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
即估计袋中红球的个数是个，
故答案为．
估计利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为，然后根据概率公式构建方程求解即可．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意，有全程除以平均速度等于全程所用时间．
即：
故答案为：．
由题意，有全程除以平均速度等于全程所用时间．列式求解．
本题考查了路程与平均速度之间的关系式，本题很简单的逻辑关系．
 

12.【答案】   

【解析】解：数据，，，的平均数为，
，，，的平均数为，
数据，，，的方差为，
数据，，，的方差不变，还是；
故答案为：；．
根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．
本题考查了方差与平均数，用到的知识点：如果一组数据，，，的平均数为，方差为，那么另一组数据，，，的平均数为，方差为．
 

13.【答案】或且 

【解析】解：如图，设与轴交于点，
，，，
点不在边上，
．
如果，那么点在边或线段上，
当点在边且时，
由勾股定理得，，
，
，
当直线经过点时，．
，
，
当点在线段上时，，
，符合题意；
如果，那么点在边或线段上，
当点在边且时，与重合；
当时，由勾股定理得，，
，
，此时与重合，
当直线经过点时，．
当点在线段上时，，
且，符合题意；
综上，当时，的取值范围是或且．
设与轴交于点，由，，，可得点不在边上，即分与两种情况进行讨论．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合与分类讨论是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：过作延长线于，

：：，
设，，
点是边的中点，
，
菱形，
，，
，，
四边形是矩形，
，，
，
在中，，
，
解得：或舍去，
，
故答案为：．
过作延长线于，根据：：设，，由菱形的性质表示出，，根据勾股定理列方程计算即可．
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，熟悉各个知识点在本题的灵活运用是解题的关键．
 

15.【答案】解：如图，即为所求；

，
，
，
，
，
平分，
．
答：的度数为． 

【解析】根据作一个角等于已知角的方法即可作，交于点；
根据，结合即可求的度数．
本题考查了作图基本作图，平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法．
 

16.【答案】解：原式
．
原式

． 

【解析】根据整式的运算法则即可求出答案．
根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式与分式的运算，解题的关键是熟练运用整式与分式的运算法则，本题属于基础题型．
 

17.【答案】解： 
 
等级的人数为人，
补全条形统计图为：

画树状图为：

共有种等可能的结果，其中和为奇数的结果有种，
小明去的概率
小刚去的概率

这个游戏规则不公平． 

【解析】解：，
所以本次参与调查的学生共有人，
；
故答案为；；
扇形统计图中部分扇形所对应的圆心角，
故答案为；
见答案．
见答案．

用等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用减去其它等级的百分比得到的值；
用乘以等级所占的百分比得到扇形统计图中部分扇形所对应的圆心角；
先计算出等级的人数，然后补全条形统计图；
先画树状图展示所有种等可能的结果，找出和为奇数的结果有种，再计算出小明去和小刚去的概率．然后比较两概率的大小可判断这个游戏规则是否公平．
本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了统计图．
 

18.【答案】解：根据题意可知，，，，米．
在中，米．
在中，米．
米，
答：测温区域的宽度为米；
根据题意可知，米．
在中，，
．
在中，
，
，
米，
米．
答：该设备的安装高度约为米． 

【解析】根据题意可知，，，，，求出、即可解得．
根据题意可知，，求得，在中求出即可解得．
此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形并求解．
 

19.【答案】   

【解析】解：，，
故答案为：，；
补全的条形统计图如图所示；

人，
答：估计该校学生春节期间在家上网时间少于小时不包含小时的有人．
根据统计表中的数据可以计算出和的值；
根据中得出的的值即可补全条形统计图；
根据统计表中的数据可以计算出该校学生上网时间少于小时不包含小时的人数．
本题考查条形统计图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】解：设“冰墩墩”的销售单价是元，则“雪容融”的销售单价是元，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
元，
答：“冰墩墩”的销售单价是元，“雪容融”的销售单价是元；
设月份销售利润为元，“冰墩墩”购进个，则“雪容融”玩具为个，
则，
解得：，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，，
答：冰墩墩”购进个时，该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为元． 

【解析】设“冰墩墩”的销售单价是元，可得，解方程并检验可得“冰墩墩”的销售单价是元，“雪容融”的销售单价是元；
设“冰墩墩”购进个，一月份销售利润为元，则，解得：，而，由一次函数性质可得答案．
本题考查分式方程、一次函数及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出方程、不等式及函数关系式．
 

21.【答案】解：如图，点在的中点时，，理由如下：

为中点，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
，理由如下：
连接，如图所示：

，
，
，
，
即．
当点在延长线上时，中的结论不成立，，理由如下：
连接，如图所示：

，
，
，
，
即；
当点在延长线上时，中的结论不成立，，理由如下：
连接，如图所示：

，
，
，
，
即． 

【解析】当点在的中点时，，由证≌，根据全等三角形的性质推出即可；
连接，由，再由三角形面积公式即可得出结论；
当点在延长线上时，连接，由，再由三角形面积公式即可得出结论；
当点在延长线上时，连接，由，再由三角形面积公式即可得出结论．
本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积、分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形面积公式是解题的关键，属于中考常考题型．
 

22.【答案】 

【解析】解：小球到达的最高的点坐标为，
设抛物线的表达式为，
把代入得，，
解得：，
抛物线的表达式为；
联立方程组，
解得或，
，
小球在斜坡上的落点的垂直高度为米，
故答案为：；
当时，，，
，
小球能飞过这棵树；
小球在飞行的过程中离斜坡的高度，
小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度为 ．
设抛物线的表达式为，把代入即可得到答案；
联立抛物线解析式和一次函数解析式，解方程组求出点坐标即可；
把分别代入和，即可得到答案；
根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，待定系数法求二次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
 

23.【答案】解：；
；
解：当时，共有白色瓷砖共块，黑色瓷砖块，
元．
故当时，共需花元购买瓷砖． 

【解析】

【分析】
此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，此题有一定拔高难度，属于难题，解答此题的关键是通过观察和分析，找出其中的规律．
通过观察发现规律，第个图中共有白色瓷砖块，共有块瓷砖；
将上面的规律写出来即可；
求出当时黑色和白色瓷砖的个数，然后计算总费用即可．
【解答】
解：图形发现：
第个图形中有白色瓷砖块，共有瓷砖块；
第个图形中有白色瓷砖块，共有瓷砖块；
第个图形中有白色瓷砖块，共有瓷砖块；

第个图形中有白色瓷砖块，第个图形中有白色瓷砖块；
故答案为，；
在第个图中，共有瓷砖块瓷砖，第个图形共有瓷砖块；
故答案为；；
见答案．  

24.【答案】解：四边形为矩形，
理由如下：四边形为平行四边形，
，，
又，
，
又，
四边形为平行四边形，
，．
又、分别为、的中点，
，，
，
四边形为平行四边形，
，是的中点，
，即，
四边形为矩形；
四边形为矩形，
，
，
的底为定值，
当旋转运动运动至最高点时，高取得最大值，此时的面积取得最大值．
秒．
当时，四边形面积最大，
此时，与半圆相切．
理由如下：，，
，
与半圆相切；
如图，当点落在半圆上时，

四边形是平行四边形，
，，
又，
，
是等边三角形，是等边三角形，
，
，
，
当时，点落在半圆上，
当点与点重合时，，
当时，点落在半圆内． 

【解析】由平行四边形的性质可得，，可证四边形为平行四边形，可得，由中点的性质可得，可证四边形为平行四边形，由垂径定理可得，可得结论；
由面积公式可得，由的底为定值，则当旋转运动运动至最高点时，高取得最大值，此时的面积取得最大值，即可求的值，由平行线的性质可得，可证与半圆相切；
求出点落在半圆上时，的值，点与点重合时，的取值，根据这两个特殊位置，可求点落在半圆内时，的取值范围．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．