2023年山东省青岛市城阳第八中学中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2023年山东省青岛市城阳第八中学中考数学一模试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年城阳第八中学中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．中国饮食文化绵延上万年，甚至走出国门，直接影响到日本、蒙古、朝鲜、新加坡等国家，是东方饮食文化圈的轴心，每逢佳节，为增添喜庆筵席欢乐气氛，厨师们用精湛的刀工，把食物雕刻成“喜”“寿”“福”“禄”，这几个字中，是轴对称图形的是（     ）
A．喜 B．寿 C．福 D．禄
2．下列实数：﹣，﹣，3.14，，，0，其中无理数的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，立体图形的俯视图是(   )

A． B． C． D．
4．中国倡导的“一带一路”是中国与世界的互利共赢之路，据统计，“一带一路”地区覆盖的总人口约为44亿人，则“44亿”这个数用科学记数法可表示为（　　）
A．4.4×107 B．4.4×108 C．4.4×109 D．0.44×1010
5．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．将线段平移后点的对应点是，则点的对应点的坐标为（    ）

A． B． C． D．
6．如图，的半径为5，若，则经过点P的弦长可能是（　　）

A．3 B．6 C．9 D．12
7．如图，已知点A（0，1），B（﹣3，0），连接AB，将△ABO沿AB翻折，使点O与点C重合，且点C恰好在函数y＝上，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
8．已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系内的大致图象是（    ）
A． B．
C． D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9．计算：＝_____．
10．在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同．摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是__________．
11．上海世博会召开后，更多的北京人坐火车去上海参观．京沪线铁路全程为1463km，某次列车的全程运行时间t(单位：h)与此次列车的平均速度v(单位：km/h)的函数关系式是____．(不要求写出自变量v的取值范围)
12．若一组数据的平均数为17，方差为2，则另一组数据的平均数是________，方差是_________．
13．如图，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中A（1，0），D（﹣3，0），AD边在x轴上，直线L：y＝kx与正方形ABCD的边有两个交点O、E，当3＜OE＜5时，k的取值范围是_______．

14．如图，菱形中，点是边的中点，垂直交的延长线于点，若，，则菱形的边长是________________．


三、作图题（本大题满分4分）
15．如图，BD平分∠ABC，点E为AB上一点．

(1)尺规作图：以E为顶点，作∠AEF ＝∠ABC，交BD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若∠DFE＝150°，求∠BEF的度数．
四、解答题（本大题共9小题，共74分）
16．计算：
（1）
（2）
17．近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．

对雾霾天气了解程度的统计表
对雾霾天气了解程度
百分比
A．非常了解

B．比较了解

C．基本了解

D．不了解

请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次参与调查的学生共有________，________；
（2）扇形统计图中部分扇形所对应的圆心角是________度；
（3）请补全条形统计图；
（4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
18．某校安装了红外线体温检测仪（如图1），该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，其红外线探测点可以在垂直于地面的支杆上下调节（如图2），探测最大角（）为58°，探测最小角（）为26．6°，已知该设备在支杆上下调节时，探测最大角及最小角始终保持不变．（结果精确到0．01米，参考数据：，，，，，）

(1)若该设备的安装高度为1.6米时，求测温区域的宽度；
(2)若要求测温区域的宽度为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度．
19．某校为了解在春节期间学生在家的上网时间，随机抽查了该校若干名学生，对他们在春节期间的上网时间进行统计（每个学生只选一个选项），绘制了统计表和条形统计图．
组别
时间（小时）
人数
频率
A
0≤t＜1
10
0.1
B
1≤t＜2
m
0.2
C
2≤t＜3
35
0.35
D
3≤t＜4
30
n
E
4≤t＜5
5
0.05
合计


1

根据以上信息回答下列问题：
（1）统计表中m＝ ，n＝ ．
（2）补全条形统计图；
（3）若该校有1230名学生，请估计该校学生春节期间在家上网时间少于2小时（不包含2小时）的人数．
20．“冰墩墩”和“雪容融”作为北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，某旗舰店销售“冰墩墩”毛绒玩具总额为24000元，销售“雪容融”毛绒玩具总额为8000元，其中“冰墩墩”的销售单价比“雪容融”的销售单价多40元，并且销售“冰墩墩”的数量是“雪容融”数量的2倍．
(1)求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别是多少元？
(2)已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为100元/个和60元/个，进入2022年1月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是该旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共800个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的3倍，且这两款毛绒玩具购进总价不超过57600元．为回馈新老客户，该旗舰店决定对“冰墩墩”降价10%后再销售，若1月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润．
21．如图，在中，，是上任意一点，过分别向，引垂线，垂足分别为，，是边上的高．

(1)当点在的什么位置时，？并证明．
(2)，，的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；
(3)若在底边的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，请直接写出，，之间的数量关系，不必证明．
22．一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为．

(1)求抛物线的函数解析式（不写自变量的取值范围）；
(2)小球在斜坡上的落点的垂直高度为________米；
(3)若要在斜坡上的点处竖直立一个高4米的广告牌，点的横坐标为2，请判断小球能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由；
(4)求小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度．
23．.如图，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形，并探究下列问题：

在第个图中，共有白色瓷砖________块；在第个图中，共有白色瓷砖________块；
在第个图中，共有瓷砖________块；在第个图中，共有瓷砖________块；
如果每块黑瓷砖元，白瓷砖元，铺设当时，共需花多少钱购买瓷砖？
24．如图，已知AB为半圆O的直径，P为半圆上的一个动点（不含端点），以OP、OB为一组邻边作▱POBQ，连接OQ、AP，设OQ、AP的中点分别为M、N，连接PM、ON．
（1）试判断四边形OMPN的形状，并说明理由．
（2）若点P从点B出发，以每秒15°的速度，绕点O在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为ts．
①试求：当t为何值时，四边形OMPN的面积取得最大值？并判断此时直线PQ与半圆O的位置关系（需说明理由）；
②是否存在这样的t，使得点Q落在半圆O内？若存在，请直接写出t的取值范围；若不存在，请说明理由．




























参考答案：
1．【分析】根据轴对称的定义进行判断即可．
解：“寿”“福”“禄”都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
“喜”能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
【点评】本题主要考查了轴对称的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2．【分析】无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断.
解：﹣＝﹣4，3.14， ，0是有理数
无理数有﹣，共有2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数.如π，等形式.
3．【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
解：A、是该几何体的主视图；
B、不是该几何体的三视图；
C、是该几何体的俯视图；
D、是该几何体的左视图．
故选C．
【点评】考查了三视图的知识，掌握所看的位置，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
4．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：44亿=4400000000，
∴将44亿用科学记数法表示应为4.4×109．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．【分析】根据点A的坐标以及平移后点A的对应点的坐标可以找出平移的方向与距离，再结合点B的坐标即可得出结论．
解：∵点A(0，6)平移后的对应点为(10,10)，10－0＝10，10－6＝4，
∴线段AB向右平移了10个单位长度，向上平移了4个单位长度，
∴点B（-3，-3）的对应点的坐标为(－3＋10，－3＋4)，即(7，1)，
故选D．
【点评】本题考查了坐标与图形变化中的平移，解题的关键是找出线段平移的方向与距离．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据图形一个顶点以及平移后对应点的坐标找出平移方向和距离是关键．
6．【分析】当经过点O、P的弦是直径时，弦最长为10；当弦与OP是垂直时，弦最短为8；判断即可．
解：当经过点O、P的弦是直径时，弦最长为10；
当弦与OP垂直时，根据垂径定理，得
半弦长，
所以最短弦为8；
所以符合题意的弦长为8到10，
故选C．
【点评】本题考查了直径是最长的弦，垂径定理，熟练运用分类思想，垂径定理，勾股定理是解题的关键．
7．【分析】过C点作CE⊥y轴于E，作BD⊥CE于D，如图，设AE＝m，CE＝n，先根据折叠的性质得BC＝BO＝3，AC＝OA＝1，∠ACB＝∠AOB＝90°，再证明Rt△ACE∽Rt△CBD，利用相似比得到CD＝3m，BD＝3n，则3n＝m+1，3m+n＝3，于是可求出得m＝，n＝，从而得到C点坐标，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值．
解：过C点作CE⊥y轴于E，作BD⊥CE于D，如图，设AE＝m，CE＝n，
∵点A（0，1），B（﹣3，0），
∴OB＝3，OA＝1，
∵△ABO沿AB翻折，使点O与点C重合，
∴BC＝BO＝3，AC＝OA＝1，∠ACB＝∠AOB＝90°，
∵∠ACE+∠BCD＝90°，∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BCD＝∠CAE，
∴Rt△ACE∽Rt△CBD，
∴＝＝，即＝＝，
∴CD＝3m，BD＝3n，
∴3n＝m+1，3m+n＝3，解得m＝，n＝，
∴OE＝1+＝，
∴C点坐标为（﹣，），
∵点C好在函数y＝上，
∴k＝﹣×＝﹣．
故选：B．

【点评】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握折叠的性质、相似三角形的性质以及判定定理、反比例函数的性质是解题的关键．
8．【分析】可先根据一次函数的图象判断a、c的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
解：A、由一次函数y＝ax＋c图象，得a＞0，c＜0，由二次函数y＝ax2＋bx＋c图象，得a＜0，c＞0，故A错误；
B、由一次函数y＝ax＋c图象，得a＞0，c＞0，由二次函数y＝ax2＋bx＋c图象，得a＞0，c＜0，故B错误；
C、由一次函数y＝ax＋c图象，得a＜0，c＞0，由二次函数y＝ax2＋bx＋c图象，得a＜0，c＞0，故C正确；
D、由一次函数y＝ax＋c图象，得a＜0，c＞0，由二次函数y＝ax2＋bx＋c图象，得a＞0，c＞0，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
9．【分析】先化简二次根式、计算零指数幂，再去绝对值符号，最后计算加减即可得．
解：原式＝|1﹣|+1
＝﹣1+1
＝
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
10．【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为 ，然后根据概率公式构建方程求解即可．
解：设袋中红球的个数是x个，根据题意得：
，
解得：x=6，
经检验：x=6是分式方程的解，
即估计袋中红球的个数是6个．
故答案为：6．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是熟练掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
11．【分析】由题意，根据全程除以平均速度等于运行全程所用时间．列式求解即可．
解：由题意得：全程除以平均速度等于全程所用时间．
即：t=
故答案为t=
【点评】本题考查了路程与平均速度之间的关系式：路程=平均速度×时间，熟记公式是解题关键.
12．【分析】根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．
解：∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，
∴x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数为18，
∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的方差为2，
∴数据x1+2，x2+2，…，xn+2的方差不变，还是2；
故答案为：18；2．
【点评】本题考查了方差与平均数，用到的知识点：如果一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为S2，那么另一组数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b，方差为a2S2．
13．【分析】设BC与y轴交于点M，由OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3，可得E点不在AD边上，即k≠0，分k＞0与k＜0两种情况进行讨论．
解：如图，设BC与y轴交于点M，

∵OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3，
∴E点不在AD边上，
∴k≠0，
①如果k＞0，那么点E在AB边或线段BM上，
当点E在AB边且OE＝3时，
由勾股定理得，
∴AE＝，
∴E（1，），
当直线y＝kx经过点（1，）时，k＝，
∵，
∴OB=＜5，
当点E在线段BM上时，OE＜OB=＜5，
∴k＞，符合题意；
②如果k＜0，那么点E在CD边或线段CM上，
当点E在CD边且OE＝3时，E与D重合；
当OE＝5时，由勾股定理得 ，
∴DE＝4，
∴E（﹣3，4），此时E与C重合，
当直线y＝kx经过点（﹣3，4）时，k=，
当点E在线段CM上时，OE＜OC＝5，
∴k＜0且k，符合题意；
综上，当3＜OE＜5时，k的取值范围是k＞或k＜0且k≠．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，一次函数图像与系数的关系，一次函数图像上点的坐标特征，利用数形结合与分类讨论是解题的关键．
14．【分析】过C作延长线于M，根据设，由菱形的性质表示出，，根据勾股定理列方程计算即可．
解：过C作延长线于M，

∵
∴设
∵点E是边的中点
∴
∵菱形
∴，
∵⊥，CM⊥AB
∴四边形是矩形
∴，

∴
在中，
∴，
解得或（舍去）
∴
故答案为：4．
【点评】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．
15．【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法即可作∠AEF ＝∠ABC，交BD于点F．
（2）根据∠DFE＝150°，可得到∠EFB的度数，再根据平行线的判定及性质，角平分线的定义即可得到∠BEF的度数．
（1）
解：如图，∠AEF即为所求；

（2）
∵∠DFE＝150°，
∴∠EFB＝180°－150°＝30°，
∵，
∴．
∴∠FBC＝∠EFB＝30°，∠EBC+∠BEF＝180°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBC＝2∠FBC＝60°，
∴∠BEF＝180°－60°＝120°．
【点评】本题考查了基本作图，角平分线的定义，平行线的判定与性质，掌握作一个角等于已知角，熟练运用平行线的判定和性质是解决本题的关键．
16．【分析】（1）利用完全平方公式以及单项式乘多项式展开，再合并，即可得出答案；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可．
解：（1）

；
（2）



．
【点评】本题考查了整式的混合运算和分式的混合运算，解题的关键是掌握混合运算顺序和运算法则．
17．【分析】（1）用C等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用1减去其它等级的百分比可得的值；
（2）用乘以D等级所占的百分比可得扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角；
（3）先计算出D等级的人数，然后补全条形统计图；
（4）先画出树状图得到所有等可能的结果，找出和为奇数的结果，再计算出小明去和小刚去的概率，然后比较两概率的大小即可判断这个游戏规则是否公平．
解：（1），所以本次参与调查的学生共有400人，；
故答案为400，35%；
（2）扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角，
故答案为126；
（3）D等级的人数为（人），补全条形统计图如下：

（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，
∴（小明去），（小刚去），
∵，∴这个游戏规则不公平．
【点评】本题考查了扇形统计图、条形统计图和统计表的相关知识以及画树状图或列表法求两次事件的概率，熟练掌握统计图的相关知识和画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键．
18．【分析】（1）根据题意可知，，，，，求出即可解得．
（2）根据题意可知，，求得，在中求出即可解得．
解：（1）根据题意可知，，，，．
在中， （米）．
在中，（米）．
（米），
答：测温区域的宽度AB为2．20米；
（2）根据题意可知，．
在中， ，
∴．
在中，
．
∴，
解得（米），
∴（米）．
答：该设备的安装高度约为米．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形并求解．
19．【分析】（1）根据样本容量=10÷0.1=100，计算m=100×0.2=20，n==0.3；
（2）见解析；
（3）根据题意，得1230×0.3=369．
解：（1）根据样本容量=10÷0.1=100，
∴m=100×0.2=20，n==0.3；
故答案为：20，0.3；
（2）∵m=20，制图如下：

（3）根据题意，得1230×0.3=369．
【点评】本题考查了频数与频率，条形统计图，样本估计总体，熟练掌握频数与频率的关系，灵活计算样本容量是解题的关键．
20．【分析】（1）设“冰墩墩”的销售单价是x元，可得，解方程并检验可得“冰墩墩”的销售单价是120元，“雪容融”的销售单价是80元；
（2）设“冰墩墩”购进m个，一月份销售利润为w元，则，解得：，而，由一次函数性质可得答案．
解：（1）解：设“冰墩墩”的销售单价是x元，则“雪容融”的销售单价是元，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
∴（元），
答：“冰墩墩”的销售单价是120元，“雪容融”的销售单价是80元；
（2）解：设1月份销售利润为w元，“冰墩墩”购进m个，则“雪容融”玩具为个，
则，
解得：，
由题意得：，
∵，
∴随m的增大而减小，
∴当时，w最大值，
答：冰墩墩”购进200个时，该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为13600元．
【点评】本题考查分式方程、一次函数及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出方程、不等式及函数关系式．
21．【分析】（1）根据中点的性质可得，根据等边对等角可得，进而即可；
（2）连接，根据可得，根据可得结论；
（3）同（2）的方法求解即可
（1）
当BD=CD时，DE=DF.
理由：∵是的中点.
∴，
又，
∴，
，，
∴，
∴，
∴

（2）
.
连接，

，
即，
∵，
∴
（3）
连接，

同理可得
即
∵，
∴
故（2）中的结论不成立，，，之间的数量关系是：
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的高，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
22．【分析】（1）根据顶点坐标可设抛物线的解析式为，再将点代入即可得；
（2）设点的坐标为，将其代入抛物线的解析式求出的值即可；
（3）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，再求出当时，抛物线的函数值，由此即可得出答案；
（4）设小球在飞行的过程中离斜坡的高度为米，先根据抛物线和一次函数的解析式可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得．
解：（1）解：由题意，设抛物线的解析式为，
将点代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为（或）．
（2）解：点在一次函数上，
设点的坐标为，
将点代入得：，
解得或（不符题意，舍去），
即小球在斜坡上的落点的垂直高度为米，
故答案为：．
（3）解：能，理由如下：
对于一次函数，
当时，，即，
对于抛物线，
当时，，
因为，
所以小球能飞过这个广告牌．
（4）解：设小球在飞行的过程中离斜坡的高度为米，
则，
整理得：，
由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为，
答：小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度为．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
23．【分析】图形发现,第1个图形中有白色瓷砖1×2块,共有瓷砖3×4块,第2个图形中有白色瓷砖2×3块,共有瓷砖4×5块,第3个图形中有白色瓷砖3×4块,共有瓷砖5×6块,（1）通过观察发现规律, 第4个图形中有白色瓷砖4×5=20块,第n个图形中有白色瓷砖n（n+1）块,（2）在第4个图中,共有瓷砖6×7=42块瓷砖,第n个图形共有瓷砖（n+2）（n+3）块,（3）求出当n=10时黑色和白色瓷砖的个数,然后计算总费用即可．
解：(1),
(2),
当时,共有白色瓷砖块,黑色瓷砖块,
元.
【点评】本题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握,解决本题的关键是要熟练通过观察和分析,找出其中的规律．
24．【分析】（1）先证四边形PQOA为平行四边形，再证四边形OMPN为平行四边形，根据等腰三角形三线合一，得ON⊥AP，进而即可得到结论；
（2）①由题意得S矩形OMPN=S△AOP，从而得△AOP的AO边上的高取得最大值，此时△AOP的面积取得最大值，进而即可得到t的值，根据切线的判定定理，即可得到结论；②考虑两个特殊情况：当点Q在半圆O上时，当点P与点A重合时，分别求出t的值，进而即可得到答案．
解：（1）四边形OMPN为矩形，理由如下：
∵四边形POBQ为平行四边形，
∴PQ∥OB，PQ=OB．
又∵OB=OA，
∴PQ=AO．
又∵PQ∥OA，
∴四边形PQOA为平行四边形，
∴PA∥QO，PA=QO．
又∵M、N分别为OQ、AP的中点，
∴OM=OQ，PN=AP，
∴OM=PN，
∴四边形OMPN为平行四边形．
∵OP=OA，N是AP的中点，
∴ON⊥AP，即∠ONP=90°，
∴四边形OMPN为矩形；
（2）①∵四边形OMPN为矩形，
∴S矩形OMPN=ON·NP=ON·AP，即S矩形OMPN=S△AOP．
∵△AOP的底AO为定值，
∴当P旋转运动90°（运动至最高点）时，△AOP的AO边上的高取得最大值，此时△AOP的面积取得最大值，
∴t=90÷15=6秒，
∴当t=6秒时，四边形OMPN面积最大．
此时，PQ与半圆O相切．理由如下：
∵此时∠POB=90°，PQ//OB，
∴∠OPQ=90°，
∴PQ与半圆O相切；
②当点Q在半圆O上时，
∵四边形POBQ为平行四边形，且OB=OP，
∴四边形POBQ为菱形，
∴OB=BQ=OQ=OP=PQ，
∴∠POQ=∠BOQ=60°，即：∠BOP=120°，
∴此时，t=120°÷15°=8秒，
当点P与点A重合时，t=180°÷15°=12秒，
综上所述：当8＜t＜12时，点Q在半圆O内．

【点评】本题主要考查圆的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰三角形三线合一，熟练掌握平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，是解题的关键．