2023年山东省青岛市城阳第十三中学中考数学一模试卷

这是一份2023年山东省青岛市城阳第十三中学中考数学一模试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年度第二学期城阳第十三中学九年级
第一次模拟检测数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．-2019的绝对值是（    ）
A．2019 B． C． D．-2019
2．下列正多边形中，不是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
3．，“北斗三号”的授时精度小于，则用科学记数法表示为（   ）
A． B． C． D．
4．如图所示的几何体，它的俯视图是（    ）

A． B．
C． D．
5．如图，将先向上平移1个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是（ ）

A．（0，4） B．（2，-2） C．（3，-2） D．（-1，4）
6．把△ABC和△ADE如图放置，B，D，E正好在一条直线上，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．则下列结论：①△BAD≌△CAE；②BE＝CE＋DE；③∠BEC＝∠BAC；④若∠ACE＋∠CAE＋∠ADE＝90°，则∠AEC＝135°．其中正确的是（    ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
7．如图，矩形ABCD的长AD=15cm，宽AB=10cm，∠ABC的平分线分AD边为AE、ED两部分，这AE、ED的长分别为（     ）

A．10cm和5cm B．11cm和4cm C．9cm和6cm D．8cm和7cm
8．已知在一、三或二、四象限内，正比例函数和反比例函数的函数值都随x的增大而增大，则这两个函数在同一坐标系中的大致图象是（    ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．化简＝__________．
10．小丽参加了某电视台的招聘考试，她在采访写作、计算机操作、创意设计这三种测试中的成绩分别是86分、75分、90分，如果这三种成绩按计算，那么小丽的最终得分为______分．
11．已知函数，下列关于它的图像与性质的说法：①函数图像与坐标轴无交点；②函数图像关于y轴对称；③y随x的增大而减小；④函数有最大值1．其中正确的说法是______．（写出所有正确说法的序号）
12．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为_____．

13．如图，点、分别在正方形的边、上，，与相交于点，点为的中点，连接，若的长为，则正方形的边长为______．

14．一个圆锥的底面半径为3cm，将其侧面展开得到扇形圆心角为216°，则此圆锥的高为_________．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．化简：
（1）     （2）
16．如图，城市规划期间，要拆除一电线杆AB，已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡度i=1：0.5，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为300，D、E之间是宽为2米的人行道，请问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由．（在地面上，以B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域）
17．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上一点，且，连接BE．

(1)尺规作图：作的平分线AF，交BC于点F，交BE于点G；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)若，求AF的长．
18．2022年10月12日下午，“天宫课堂”第三课开讲，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．在学校组织的航天知识竞赛中，小明和小雪均获得了一等奖，学校决定通过两人做游戏的方式，从中选取一名游戏获胜的同学作为代表分享获奖心得．游戏规则如下：甲口袋（不透明）装有编号为1，2，3的三个小球，乙口袋（不透明）装有编号为1，2，3，4的四个小球，每个口袋中的小球除编号外其他都相同．小明先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为偶数，则小明获胜；若两球编号之和为奇数，则小雪获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
19．济川中学开展了为期一周的“敬老爱亲”活动，随机调查了初一部分学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组，A：0.5≤x＜1，B：1≤x＜1.5，C：1.5≤x＜2，D：2≤x＜2.5，E：2.5≤x＜3，制作成两幅不完整的统计图（如图）．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）济川中学随机调查了初一______名学生；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若初一共有1100名学生，估计济川中学初一学生在这次活动中做家务的时间不少于2.5小时的学生有多少人？

20．明德中学需要购进甲、乙两种笔记本电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同．
（1）求每台甲种电脑、每台乙种电脑的价格分别为多少万元；
（2）学校计划用不超过34万元购进甲、乙两种电脑共80台，其中乙种电脑的数量不少于甲种电脑数量的1.5倍，学校有哪几种购买方案？
21．如图，在和中，，，，、相交于点．

(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
22．现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为．

(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点，处分别安装照明灯．已知点，到的距离均为，求、两点间的距离．
23．概念学习：规定：求若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作读作“a的圈n次方”．
初步探究：
（1）直接写出计算结果________，________；
（2）关于除方，下列说法不正确的是________．
A．任何非零数的圈2次方都等于1
B．对于任何正整数n，
C．
D．负数的圈奇次方结果是负数，负数的圈偶次方结果是正数
深入思考：
我们知道有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：______；______；______．
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式为________．
（3）算一算：．
24．如图①，在四边形中，，，，，．点在上，连接、、．

(1)求的长；
(2)探索：是否存在这样的点，使得平分、平分同时成立?若存在，求出的长；若不存在，说明理由；
(3)如图②，与相交于点，过点作，与相交于点．设、的面积分别为、．若，求的长．



















参考答案：
1．【分析】根据绝对值的性质即可解答.
解：-2019的绝对值是2019，
故选：A.
【点评】此题考查绝对值的性质.
2．【分析】根据中心对称图形的概念求解．
解：A、是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项正确；
C、是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是整数负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.00000002=2×10-8．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．【分析】通过判断几何体的三视图可得到结果．
解：由题可得，从上往下看，有1个倒 “L”形状的图形，下面靠右有1个小正方形，可得图形为：

故选：B．
【点评】本题主要考查了简单组合图形的三视图，准确理解三视图的判断是解题的关键．
5．【分析】根据平移的规律找到A点平移后对应点，然后根据旋转的规律找到旋转后对应点，即可得出的坐标．
解：如图所示：A的坐标为（4，2），向上平移1个单位后为（4，3），再绕点P逆时针旋转90°后对应点的坐标为（-1，4）．
故选：D．

【点评】本题考查了根据平移变换和旋转变换作图，熟练掌握平移的规律和旋转的规律是解题的关键．
6．【分析】根据题目条件使用SAS即可得到，根据全等三角形的性质可得BD=CE，，．使用等价代换思想可得BE=CE+DE；结合三角形内角和定理可得，结合三角形外角的性质，等腰三角形的性质和已知条件可得．
解：∵，
∴，即．
又∵AB=AC，AD=AE，
∴，故①正确．
∴BD=CE．
∵BE=BD+DE，
∴BE=CE+DE，故②正确．
∵，
∴．
又∵，，
∴，故③正确．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵AD=AE，
∴．
∴．
又∵，，
∴．
∴，故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定定理和性质，三角形内角和外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题关键，同时注意等价代换思想的使用．
7．【分析】由矩形的性质可得ADBC，AD=BC=15cm，由平行线的性质和角平分线的性质可得∠AEB=∠ABE，可得AB=AE=10cm，即可求解．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBC，AD=BC=15cm，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=45°，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE=10cm，
∴DE=AD-AE=5(cm)，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，掌握矩形的性质是本题的关键．
8．【分析】根据函数的增减性确定k及b的符号，由此确定函数图象所在的象限，即可得到答案.
解：∵正比例函数和反比例函数的函数值都随x的增大而增大，
∴k>0，b<0，
∴图象在第一、三象限，的图象在第二、四象限，
故选：C.
【点评】此题考查函数的增减性，熟记正比例函数及反比例函数的增减性与比例系数的关系是解题的关键.
9．【分析】根据二次根式的乘除混合运算法则即可化简．
解：，
，
，
，
，
故答案为．
【点评】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
10．【分析】根据加权平均数的计算公式代值计算即可．
解：根据题意得：
（分）
∴小丽的最终得分为85分．
故答案为：85．
【点评】本题考查的是加权平均数的求法，本题易出现的错误是求三个数的算术平均数，对平均数的理解不正确．
11．【分析】当时，，即可判断①；根据和时，即可判断②；当时，随x增大而增大，则随x增大而减小，由对称性可知当时，随x增大而增大，即可判断③；根据即可判断④．
解：①当时，，即函数与y轴的交点为（0，1），故此说法错误；
②∵，
∴和时，，
∴函数图像关于y轴对称，故此说法正确；
③∵当时，随x增大而增大，
∴随x增大而减小，
∵函数图像关于y轴对称，
∴当时，随x增大而增大，如下图函数图象所示，故③错误；

④∵，
∴，
∴函数有最大值1，故此说法正确；
故答案为：②④．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟知反比例函数图象的性质是解题的关键．
12．【分析】根据解析式，得抛物线的对称轴为，开口向上，抛物线与x轴的另一个交点为，结合图形即可求解．
解：∵，
∴抛物线的对称轴为，开口向上，抛物线与x轴的一个交点为，
则关于对称的点为，
即抛物线与轴另一个交点为，
所以时，的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，数形结合是解题的关键．
13．【分析】根据题目中的条件，可以先证明△BAE和△ADF全等，然后即可得到∠ABE=∠DAF，从而可以证明△BGF是直角三角形，再根据点H为BF的中点，可知GH是BF的一半，从而可以得到GH的长，然后根据勾股定理可以求得BC的长．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠BAE=∠ADF=90°，
在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA=90°，
∴∠DAF+∠BEA=90°，
∴∠AGE=90°，
∴∠BGF=90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH=BF，即BF=2GH
∵
∴
设BC=CD=a，
∵DF=2，
∴CF=a-2，
在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2
即
解得，，（不合题意，舍去）
∴BC=5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是求出BF的长．
14．【分析】设扇形的半径长为xcm，根据圆锥的底面周长等于弧长求出侧面扇形的半径，再利用勾股定理求出答案．
解：设扇形的半径长为xcm，由题意得

解得x=5，
∴此圆锥的高为
故答案为：4cm．
【点评】此题考查扇形的弧长公式，勾股定理，正确理解圆锥侧面的扇形与底面圆之间的关系是解题的关键．
15．【分析】（1）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并即可得；
（2）根据分式混合运算顺序和运算法则计算可得．
解：（1）原式=.
     =.
原式=
=
==.
【点评】本题主要考查分式的混合运算与整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．
16．【分析】根据题意分析图形可得：在中，由可求得DE，进而得到BE的长．解可得的值，通过比较BE、AB的大小即可求出答案．
解：由 CF=2米，
∴DF=1米，BG=2米；
∵BD=14米，
∴BF=GC=15米；
在Rt△AGC中,由
∴米；
∴AB=8.660+2=10.66米；
而BE=BD−ED=12米，
∴BE>AB；
因此不需要封人行道.

【点评】本题考查俯角、仰角的定义,要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形.
17．【分析】（1）根据题意作的平分线AF，交BC于点F，交BE于点G；
（2）连接，证明四边形是平行四边形，可得，中，勾股定理求得，即可求解．
解：（1）如图所示，的平分线AF，交BC于点F，交BE于点G；即为所求，

（2）连接EF，
四边形是平行四边形，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平分，，
，，
，
，
在中，
．

【点评】本题考查了作角平分线，平行四边形的性质与判定，三线合一，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
18．【分析】先画树状图将所有可能发生的结果分析出来，再分别求出小冰获胜和小雪获胜的概率，进行比较即可求解．
解：画树状图如下：

由图，可知共有12种等可能的结果，其中和为偶数的结果有6种，和为奇数的结果为6种.
∴，
∴.
∴游戏对双方公平．
【点评】本题考查列表法或画树状图求概率，游戏公平性，解题的关键是正确求出两人获胜的概率．
19．【分析】（1）根据D组人数及其所占百分比即可得出总人数；
（2）总人数乘以C组的百分比求得C组人数，总人数减去其余各组人数求得B组人数即可补全条形图；
（3）总人数乘以样本中E组人数所占比例可得．
解：（1）济川中学随机调查学生的人数为10÷20%=50（人），
故答案为50；
（2）C组人数为50×40%=20（人），
则B组人数为50-（3+20+10+4）=13（人），
补全图形如下：

（3）估计济川中学初一学生在这次活动中做家务的时间不少于2.5小时的学生有1100×=88（人）．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
20．【分析】（1）设每台甲种电脑的价格为x万元，则每台乙种电脑的价格为（x+0.2）万元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设购买乙种电脑m台，则购买甲种电脑（80﹣m）台，根据题意列出一元一次不等式组求解即可；再结合m为整数即可得出各种购买方案；
解：（1）设每台甲种电脑的价格为x万元，则每台乙种电脑的价格为（x+0.2）万元，
根据题意得： ＝ ，
解得：x＝0.3，
经检验，x＝0.3是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+0.2＝0.3+0.2＝0.5．
答：每台甲种电脑的价格为0.3万元、每台乙种电脑的价格为0.5万元．
（2）设购买乙种电脑m台，则购买甲种电脑（80﹣m）台，
根据题意得： ，
解得：48≤m≤50．
又∵m为整数，
∴m可以取48，49，50．
∴学校有三种购买方案，
方案1：购买甲种电脑32台，乙种电脑48台；
方案2：购买甲种电脑31台，乙种电脑49台；
方案3：购买甲种电脑30台，乙种电脑50台．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，正确理解题意是解题的关键；
21．【分析】（1）由即可证明；
（2）由平行线的性质得，再由全等三角形的性质，求得∠B=∠D=40°，然后由三角形内角和定理即可得出结论．
解：（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，证明三角形全等是解题的关键．
22．【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，将代入，即可求解．
（2）令，解一元二次方程，求得点的坐标，进而即可求解．
解：（1）解：由题意得，顶点，
设抛物线的函数表达式为，
将代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为：；
（2）令，得，
解得，   
∴,
∴，两点的距离为
【点评】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．
23．【分析】初步探究：
（1）根据除方的定义计算即可得；
（2）根据除方的定义、有理数的除法法则逐项判断即可得．
深入思考：
（1）先根据除方的定义写出每个式子，再将除法转化为乘法，然后根据幂的逆运算即可得；
（2）根据题（1）的运算过程可归纳出规律，从而可得出答案；
（3）先将除方运算转化为乘方运算，再计算有理数的乘方运算，然后计算有理数的加减法即可得．
解：初步探究：
（1）





故答案为：；；
（2）A、，此项正确
B、，此项正确
C、，此项不正确
D、负数的圈奇次方是指奇数个相同负数的除法，其结果是负数；负数的圈偶次方是指偶数个相同负数的除法，其结果是正数，此项正确
故选：C．
深入思考：
（1）










故答案为：；；；
（2）由（1）可知，
故答案为：；
（3）原式



．
【点评】本题考查了新定义“有理数的除方”、有理数的乘除法、乘方运算等知识点，理解新定义，将其转化为有理数的乘方运算是解题关键．
24．【分析】（1）如图1，过作于，则四边形是矩形，可得，在中，由勾股定理得求的值，进而可得的值；
（2）如图2，过作交于，交于，则，，，，令平分，可证，在中，，由勾股定理得，则，进而可证，设，则，，证明，则，即，求得，则，证明，则，即，可得，则，若平分，则，即，判断，与矛盾，进而可得结论；
（3）令中边上的高为，中边上的高为，证明，设，则，，，表示，，根据，解，求得满足要求的，则，如图3，过作交于，证明，则，即，解得，，证明，则，即，求出的值，进而可得的值，然后根据计算求解即可．
解：（1）如图1，过作于，则四边形是矩形，

∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴的长为4；
（2）不存在，理由如下：
如图2，过作交于，交于，

∴，
∴，，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在中，，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
若平分，则，即，
∵，与矛盾，
∴不存在这样的点，使得平分、平分同时成立；
（3）令中边上的高为，中边上的高为，
∵，
∴，，
∴，设，则，
∴，，
∴，，
∵，即，整理得，则，
解得，（舍去），
∴，
如图3，过作交于，

∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
∴的长为．
【点评】本题考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，角平分线，等角对等边，正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．