2021-2022学年陕西省西安市灞桥区五环中学八年级（下）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年陕西省西安市灞桥区五环中学八年级（下）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年陕西省西安市灞桥区五环中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）若a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．3﹣a＜3﹣b B． C．|a|＜|b| D．﹣3a＞﹣3b
3．（3分）下列因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） B．2x+4＝2（x+2）
C．3mx﹣6my＝3m（x﹣6y） D．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2
4．（3分）点M（m﹣2，m+5）向左平移2个单位后恰好落在y轴上，则点M的坐标为（　　）
A．（﹣2，5） B．（﹣7，0） C．（2，9） D．（3，10）
5．（3分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，那么不等式kx+b＞0的解集是（　　）

A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞1 D．x＜1
6．（3分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，若∠D＝70°，则∠AEB的度数为（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
7．（3分）若分式方程2有增根，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．3 C．1 D．﹣3
8．（3分）如图，∠ABC＝30°，点P在边BA上，BP＝2，点M，N在边BC上，PM＝PN，若MN＝1，则BM＝（　　）

A．3.5 B．3 C．2.5 D．2
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）分解因式：ab2﹣4a＝　 　．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AP是角平分线，若CP＝3，AB＝12，则△ABP的面积为 　 　．

11．（3分）若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是　 　边形．
12．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝4，AC＝6，AB⊥AC，则BD＝　 　．

13．（3分）如图，在△ABC中，E是AC边的中点，过点A作∠ABC平分线BD的垂线，垂足为D，连接DE，若DE＝2，BC＝8，则AB＝　 　．

三、解答题（本大题共13个小题，共81分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（5分）解一元一次不等式x+1，并把解集表示在数轴上．

15．（5分）解分式方程：1．
16．（5分）计算：（）．
17．（5分）△ABC在如图所示的平面直角坐标系中．
（1）将△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位，画出平移后对应的△A1B1C1．
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°，画出旋转后对应的△A2B2C2．

18．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AE＝CF．求证：四边形ABCD为平行四边形．

19．（5分）因式分解：
（1）12m3n4﹣8m2n6；
（2）x3﹣4x2y+4xy2．
20．（5分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．若DE＝6，求AB的长．

21．（6分）某水果经营商两次去水果批发市场批发同一种水果，第一次用3000元购进一批水果后很快销售完，第二次由于疫情导致批发市场水果无法运进，水果数量减少，价格每千克比第一次提高了40%．结果用4900元购进的水果比第一次多100千克，求第一次该种水果的进价．
22．（7分）按要求完成下列各小题．
（1）如图1，若一个正方形和一个正六边形有一边重合，求∠BAC的度数．
（2）如图2，若正五边形ABCDE和长方形AFCG按如图方式叠放在一起，求∠BAF的度数．

23．（7分）如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F．
（1）求∠EAF的度数．
（2）若▱ABCD的面积为80，AB＝10，求CF的长．

24．（8分）李老师为了奖励在校运动会上为了班级的荣誉而付出汗水的同学，计划购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件20元，乙种奖品每件18元，如果购买甲种奖品的件数超过乙种奖品件数的一半，总花费又不超过565元，那么李老师共有几种不同的购买方案？哪种方案花费最少？最少花费是多少元？
25．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）求BC边的长．
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．

26．（10分）问题提出
（1）如图1，P是锐角△ABC内一动点，把△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′，这样就可得出PA+PB+PC＝BP+PP′+P′C′，请给出证明过程．
问题解决
（2）图2所示的是一个锐角为30°的直角三角形公园（∠B＝30°，∠C＝90°），其中顶点A、B、C为公园的出入口，AB＝20km，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离PA+PB+PC最小，求这个最小的距离．



2021-2022学年陕西省西安市灞桥区五环中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，只有C选项符合题意，
故选：C．
2．（3分）若a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．3﹣a＜3﹣b B． C．|a|＜|b| D．﹣3a＞﹣3b
【解答】解：A选项，∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴3﹣a＞3﹣b，故该选项不符合题意；
B选项，当c+1≤0时，不等式不成立，故该选项不符合题意；
C选项，例如a＝﹣2，b＝1，|a|＞|b|，故该选项不符合题意；
D选项，∵a＜b，
∴﹣3a＞﹣3b，故该选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）下列因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） B．2x+4＝2（x+2）
C．3mx﹣6my＝3m（x﹣6y） D．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2
【解答】解：A．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）≠（x+4）（x﹣4），故选项A分解不正确；
B．2x+4＝2（x+2），故选项B分解正确，符合题意；
C．3mx﹣6my＝3m（x﹣2y）≠3m（x﹣6y），故选项C分解不正确；
D．x2+2x﹣1≠（x﹣1）2，故选项D分解不正确．
故选：B．
4．（3分）点M（m﹣2，m+5）向左平移2个单位后恰好落在y轴上，则点M的坐标为（　　）
A．（﹣2，5） B．（﹣7，0） C．（2，9） D．（3，10）
【解答】解：点M（m﹣2，m+5）向左平移2个单位后恰好落在y轴上，
∴m﹣2﹣2＝0，
∴m＝4，
∴点M（2，9），
故选：C．
5．（3分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，那么不等式kx+b＞0的解集是（　　）

A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞1 D．x＜1
【解答】解：根据图象可知，不等式kx+b＜0的解集是x＞﹣2，
故选：A．
6．（3分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，若∠D＝70°，则∠AEB的度数为（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝70°，
∴∠ABC＝∠D＝70°，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝35°，
∴∠AEB＝35°．
故选：B．
7．（3分）若分式方程2有增根，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．3 C．1 D．﹣3
【解答】解：去分母得：3x＝2（x﹣1）﹣mx，
∵分式方程有增根，
∴x﹣1＝0，即x＝1，
把x＝1代入整式方程得：3＝﹣m，
∴m＝﹣3．
故选：D．
8．（3分）如图，∠ABC＝30°，点P在边BA上，BP＝2，点M，N在边BC上，PM＝PN，若MN＝1，则BM＝（　　）

A．3.5 B．3 C．2.5 D．2
【解答】解：过点P作PH⊥MN于H，

∵PM＝PN，
∴MHMN＝0.5，
∵∠ABC＝30°，BP＝2，
∴PHBP，
∴BHPH＝3，
∴BM＝BH﹣MH＝3﹣0.5＝2.5．
故选：C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）分解因式：ab2﹣4a＝　a（b﹣2）（b+2）　．
【解答】解：ab2﹣4a
＝a（b2﹣4）
＝a（b﹣2）（b+2）．
故答案为：a（b﹣2）（b+2）．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AP是角平分线，若CP＝3，AB＝12，则△ABP的面积为 　18　．

【解答】解：过点P作PF⊥AB于点F，如图所示：

∵AP是角平分线，∠C＝90°，
∴PF＝PC，
∵CP＝3，
∴PF＝3，
∵AB＝12，
∴S△ABP18，
故答案为：18．
11．（3分）若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是　十二　边形．
【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n﹣2）＝360°×5，
解得n＝12．
故答案为：十二．
12．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝4，AC＝6，AB⊥AC，则BD＝　10　．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6，
∴AO＝3，
则BO5，
∴BD＝2BO＝10．
故答案为：10．
13．（3分）如图，在△ABC中，E是AC边的中点，过点A作∠ABC平分线BD的垂线，垂足为D，连接DE，若DE＝2，BC＝8，则AB＝　4　．

【解答】解：如图，延长AD交BC于点F，

∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠FBD，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠FDB＝90°，
在△ABD与△FBD中，
，
∴△ABD≌△FBD（ASA），
∴AD＝DF，AB＝BF，
∴点D是AF的中点，
∵E是AC的中点，
∴DE是△AFC的中位线，
∴CF＝2DE＝4，
∴AB＝BF＝BC﹣CF＝8﹣4＝4，
故答案为：4．
三、解答题（本大题共13个小题，共81分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（5分）解一元一次不等式x+1，并把解集表示在数轴上．

【解答】解：去分母，得3x﹣1≤2x+2，
移项，得3x﹣2x≤2+1，
合并同类项，得x≤3．
将解集表示在数轴上如下：

15．（5分）解分式方程：1．
【解答】解：去分母得：6﹣（x2﹣4）＝（1﹣x）（x﹣2）
去括号得：6﹣x2+4＝﹣2+3x﹣x2，即3x＝12，
解得：x＝4，
经检验x＝4是分式方程的解．
16．（5分）计算：（）．
【解答】解：原式

．
17．（5分）△ABC在如图所示的平面直角坐标系中．
（1）将△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位，画出平移后对应的△A1B1C1．
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°，画出旋转后对应的△A2B2C2．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．

18．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AE＝CF．求证：四边形ABCD为平行四边形．

【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠ACD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（ASA），
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
19．（5分）因式分解：
（1）12m3n4﹣8m2n6；
（2）x3﹣4x2y+4xy2．
【解答】解：（1）原式＝4m2n4（3m﹣2n2）；
（2）原式＝x（x2﹣4xy+4y2）
＝x（x﹣2y）2．
20．（5分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．若DE＝6，求AB的长．

【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴DE⊥AB，AB＝2AD，
∵∠A＝30°，
∴AE＝2DE＝12，
AD6，
∴AB＝2AD＝12．
21．（6分）某水果经营商两次去水果批发市场批发同一种水果，第一次用3000元购进一批水果后很快销售完，第二次由于疫情导致批发市场水果无法运进，水果数量减少，价格每千克比第一次提高了40%．结果用4900元购进的水果比第一次多100千克，求第一次该种水果的进价．
【解答】解：设第一次该种水果的进价是x元/千克，则第二次购进水果的进价是（1+40%）x元/千克，
根据题意得：100，
解得x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，也符合题意，
∴x＝5，
答：第一次该种水果的进价是5元/千克．
22．（7分）按要求完成下列各小题．
（1）如图1，若一个正方形和一个正六边形有一边重合，求∠BAC的度数．
（2）如图2，若正五边形ABCDE和长方形AFCG按如图方式叠放在一起，求∠BAF的度数．

【解答】解：（1）∵正方形内角和为360°，
∴其每个内角为360°÷4＝90°．
∵正六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，
∴其每个内角为720°÷6＝120°，
∴∠BAC＝360°﹣90°﹣120°＝150°；
（2）∵正五边形内角和为540°，
∴其每个内角为540°÷5＝108°．
∵长方形每个内角为90°，
∴∠F＝90°，
∴∠ABC＝108°，∠ABF＝180°﹣∠ABC＝180°﹣108°＝72°，
∴∠BAF＝180°﹣∠F﹣∠ABF
＝180°﹣90°﹣72°＝18°．
23．（7分）如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F．
（1）求∠EAF的度数．
（2）若▱ABCD的面积为80，AB＝10，求CF的长．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠B＝∠D＝60°，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝60°，
∴∠C＝120°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
在四边形AECF中，∠EAF+∠AEC+∠C+∠AFC＝360°，
∴∠EAF＝60°；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝10，
∵▱ABCD的面积为80，
∴10×AF＝80，
∴AF＝8，
∵∠D＝60°，
∴tan60°，
∴DF＝8，
∴CF＝CD﹣DF＝10﹣8＝2，
∴CF＝2．
24．（8分）李老师为了奖励在校运动会上为了班级的荣誉而付出汗水的同学，计划购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件20元，乙种奖品每件18元，如果购买甲种奖品的件数超过乙种奖品件数的一半，总花费又不超过565元，那么李老师共有几种不同的购买方案？哪种方案花费最少？最少花费是多少元？
【解答】解：设购买x件甲种奖品，则购买（30﹣x）件乙种奖品，
依题意得：，
解得：10＜x，
又∵x为正整数，
∴x可以为11，12，
∴李老师共有2种不同的购买方案，
方案1：购买11件甲种奖品，19件乙种奖品，总花费为20×11+18×19＝562（元）；
方案2：购买12件甲种奖品，18件乙种奖品，总花费为20×12+18×18＝564（元）．
∵562＜564，
∴方案1花费最少．
答：李老师共有2种不同的购买方案，当购买11件甲种奖品，19件乙种奖品时，花费最少，最少花费是562元．
25．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）求BC边的长．
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．

【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，
∴BC，
当AP＝BP时，如图1，则AP＝t，PC＝BC﹣BP＝8﹣t，

在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，
∴62+（8﹣t）2＝t2，
解得t；
当AB＝BP时，如图2，则BP＝t＝10；

当AB＝AP时，如图3，则BP＝2BC；

∴t＝2×8＝16，
综上，t的值为或10或16．
26．（10分）问题提出
（1）如图1，P是锐角△ABC内一动点，把△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′，这样就可得出PA+PB+PC＝BP+PP′+P′C′，请给出证明过程．
问题解决
（2）图2所示的是一个锐角为30°的直角三角形公园（∠B＝30°，∠C＝90°），其中顶点A、B、C为公园的出入口，AB＝20km，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离PA+PB+PC最小，求这个最小的距离．


【解答】解：（1）如图1，由旋转得：∠PAP'＝60°，PA＝P'A，
∴△APP'是等边三角形，
∴PP'＝PA，
∵PC＝P'C，
∴PA+PB+PC＝BP+PP′+P′C′．
（2）如图2，

Rt△ACB中，∵AB＝20，∠ABC＝30°，
∴AC＝10，BC＝10，
把△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′，
当A、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小，
由旋转得：BP＝BP'，∠PBP'＝60°，PC＝P'C'，BC＝BC'，
∴△BPP′是等边三角形，
∴PP'＝PB，
∵∠ABC＝∠APB+∠CBP＝∠APB+∠C'BP'＝30°，
∴∠ABC'＝90°，
由勾股定理得：AC'10，
∴PA+PB+PC＝PA+PP'+P'C'＝AC'＝10，
则点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为10km．
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