2022-2023学年高一下学期期末考前必刷卷:数学(苏教版2019A卷)(全解全析)
展开2022-2023学年高一下学期期末考前必刷卷
数学·全解全析
一、单选题
1.北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”很受欢迎,现工厂决定从20只“冰墩墩”,15只“雪容融”和10个北京2022年冬奥会会徽中,采用比例分配分层随机抽样的方法,抽取一个容量为n的样本进行质量检测,若“冰墩墩”抽取了4只,则n为( )
A. 3 B. 2 C. 5 D. 9
【答案】D
【详解】,解得:
故选:D
2.已知复数,其中为虚数单位,则( )
A. B. C. 3 D.
【答案】B
【详解】由题意,,故
故选:B
3.数据0,1,2,3,4,5,6,7,8,9的60百分位数为( )
A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 5.5
【答案】D
【详解】由题设,,故60百分位数为.
故选:D
4.下列命题正确的是( )
(1)已知平面,和直线,,若,,,,则;
(2)已知平面和直线,,若,,则;
(3)已知平面,和直线,,且m,n异面直线,,.若直线l满足,,,,则与相交,且交线平行于;
(4)在三棱锥中,,,,垂足都为P,则P在底面上的射影是三角形ABC的垂心.
A. (2)(3) B. (2)(3)(4) C. (3)(4) D. (1)(2)
【答案】C
【解析】(1)中只有当是相交直线时才有,否则与可能相交,(1)错;
(2)中直线可能平行,也可能是异面直线,(2)错;
(3)平面与不可能平行(否则有),因此与相交,设交线为,如图,
则由线面垂直的性质得,,
过直线上任一点作直线,则是相交直线,设直线确定平面,
由得,,
因此由线面垂直的判定定理得,,所以,(3)正确;
(4)如图,
因为,,,平面,所以平面,又平面,所以,
是在底面内的射影,即平面,又平面,所以,
因为,平面,所以平面,而平面,所以,同理,所以是的垂心,(4)正确.
故选:C.
5.如果平面向量,.那么下列结论中正确的是( )
A B.
C. 与的夹角为 D. 在上的投影向量的模为
【答案】D
【详解】对于A,,则,A错误;
对于B,,则不平行,B错误;
对于C,,又,则,C错误;
对于D,在上的投影向量的模为,D正确.
故选:D.
6.端午节是我国传统节日,甲,乙,丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是,,,假定3人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率为,
所以这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为:.
故选:D.
7.《九章算术》把底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”,把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”,现有如图所示的“堑绪",其中,,当“阳马”(即四棱锥)体积为时,则“堑堵”即三棱柱的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由已知得,
∴.
将三棱柱置于长方体中,如下图所示,
此时“堑堵”即三棱柱的外接球的直径为,
∴三棱柱的外接球的体积为,
故选:B
8.在中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若,则面积的最大值为( )
A 1 B. 3 C. 2 D. 4
【答案】C
【详解】,
,
即,
即,
则,
整理得,
∴,
当且仅当时取等号,
,
则.
故选:C.
二、多选题
9.按先后顺序抛三枚质地均匀的硬币,则( )
A. 第一枚正面朝上的概率是
B. “第一枚正面朝上”与“三枚硬币朝上的面相同”是相互独立的
C. “至少一枚正面朝上”与“三枚硬币正面都朝上”是互斥的
D. “至少一枚正面朝上”与“三枚硬币反面都朝上”是对立的
【答案】BD
【详解】对A,第一枚正面朝上的概率是,故A错误;
对B,第一枚正面朝上的概率,三枚硬币朝上的面相同的概率,又,因为,故“第一枚正面朝上”与“三枚硬币朝上的面相同”是相互独立的,故B正确;
对C,“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币正面都朝上”可能同时发生,不是互斥的,故C错误;
对D,“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币反面都朝上”是对立的,故D正确;
故选:BD
10.已知正六边形的中心为,则( )
A. B.
C. 存在, D.
【答案】ACD
【详解】对A,因为六边形,所以
所以,故A正确;
对B,,故B不正确;
对C,以为原点,建立坐标系,则设正六边形的边长为,则
,
,,所以存在,使得,所以C正确.
对D,设正六边形的边长为,,
,故D正确.
故选:ACD.
11.在中,角所对的边分别是,下列说法正确的是( )
A. 若,则是等腰三角形
B. 若,则满足条件的三角形有且只有一个
C. 若不是直角三角形,则
D. 若,则为钝角三角形
【答案】BC
【详解】对于A:由正弦定理得,则,
则中或,故A错误;
对于B:由,则,
可得,故,满足条件的三角形有一个,故B正确;
对于C:由不是直角三角形且,
则,
所以,故C正确;
对于D,即,
为锐角,故不一定为钝角三角形,故D错误;
故选:BC
12.如图,在正方体中,点在线段上运动,有下列判断,其中正确的是( )
A. 平面平面
B. 平面
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 三棱锥的体积不变
【答案】ABD
【详解】对于A,连接,如图,
因为在正方体中,平面,
又平面,所以,
因为在正方形中,又与为平面内的两条相交直线,所以平面,
因为平面,所以,同理可得,
因为与为平面内两条相交直线,可得平面,
又平面,从而平面平面,故A正确;
.
对于B,连接,,如图,
因为,,所以四边形是平行四边形,
所以,又平面,平面,
所以平面,同理平面,
又、为平面内两条相交直线,所以平面平面,
因为平面,所以平面,故B正确;
对于C,因为,所以与所成角即为与所成的角,
因为,所以为等边三角形,
当与线段的两端点重合时,与所成角取得最小值;
当与线段的中点重合时,与所成角取得最大值;
所以与所成角的范围是,故C错误;
对于D,由选项B得平面,故上任意一点到平面的距离均相等,
即点到面平面的距离不变,不妨设为,则,
所以三棱锥的体积不变,故D正确.
故选:ABD.
三、填空题
13.若数据3x1-2,3x2-2,…,3x10-2的方差为18,则数据x1,x2,…,x10的方差为__________.
【答案】2
【详解】设数据x1,x2,…,x10的方差为,则数据3x1-2,3x2-2,…,3x10-2的方差为,根据条件可知,得.
故答案为:2
14.已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由,得,即,
两边平方,得,即.
故选:A.
15.已知正方形边长为2,点为边的中点,将四边形绕直线旋转一周,所得几何体的体积为_______;将四边形绕直线旋转一周,所得几何体的表面积为_____.
【答案】 ①. ②.
【详解】由题意,将四边形绕直线旋转一周,所得几何体为圆台,圆台的上、下底面半径分别为1和2,高为2,故其体积为:.
将四边形绕直线旋转一周,所得几何体为一个底面半径和高均为2的圆柱,中间挖去一个底面半径为1,高为2的圆锥后所形成的组合体.
圆柱的表面积为:,
圆锥的底面积为,
圆锥的侧面积为:,
所以该几何体的表面积为:.
故答案为:;.
16.已知三角形ABC中,点G、O分别是的重心和外心,且,,则边的长为________.
【答案】6
【详解】如图,延长交于,连接,作于,则分别是的中点,
,
同理,
,
,
,
又,
即,,
所以,即,
所以,
故答案为:6.
四、解答题
17.已知复数,.
(1)若复数在复平面内对应的点在第二象限,求实数的取值范围;
(2)若复数为纯虚数,求的虚部.
【答案】(1) (2)
【详解】(1),
在复平面内对应的点在第二象限,则
.
所以实数的取值范围为;
(2).
为纯虚数,则且,
所以,
此时,所以的虚部为.
18.已知,为锐角,,.
(1)求的值;
(2)求角.
【答案】(1) (2)
【详解】(1)因为,所以,又
所以
所以
(2)因为,为锐角,所以,则,
因为,所以.
又为锐角,,所以,
故
,
因为为锐角,所以.
19.如图,已知在三棱锥中,,点,分别为棱,的中点,且平面平面.
(1)求证:平面;
(2)求证:.
【答案】(1)证明见解析; (2)证明见解析.
【详解】(1)因为点,分别为棱,的中点,所以.
又平面,平面,
所以平面.
(2)因为,点为棱的中点,所以.
因为平面平面,所以平面.
又平面,所以.
20.为提高教学效果,某校对高一某班期中考试数学成绩做了如下统计,用折线图分别表示出男生和女生在本次考试中的成绩(单位:分,且均为整数).根据全体学生的成绩绘制了频率分布直方图,根据试卷难度测算,将考试成绩在130分以上(含130分)定义为优秀.由于电脑操作失误,折线图中女生数据全部丢失,无法找回.但据数学老师回忆,确定班级成绩中分数在140分(含140分)以上的仅有两人,且都是男生.
(1)求该班级人数及女生成绩在[110,120)的人数;
(2)在成绩为“优秀”的学生中随机选取2人参加省中学生数学奥林匹克竞赛,求选取的恰好是一个男生和一个女生的概率.
【答案】(1)该班级人数为40人,女生成绩在[110,120)的人数为13人 (2)
【详解】(1)设该班共有名学生,则,解得,
由频率分布直方图知在的人数为,
由折线图知男生在的人数为3,
所以女生在人数为,
∴该班共有40名学生,其中13名女生的成绩在[110,120);
(2)成绩在130分及以上的人数为(人)
其中男生为4人,所以女生2人.
记“恰有1名男生和1名女生被选中”为事件,记这6人分别为,,,,,;其中男生为,,,;女生为,.
则样本空间 , ,
所以.
∴恰有1名男生和1名女生被选中的概率为;
综上,全部共40名学生,成绩在[110,120)的女生人数为13,恰有1名男生和1名女生被选中的概率为.
21.已知的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,的面积为S,且满足,.
(1)求A和a的大小;
(2)若为锐角三角形,求的面积S的取值范围.
【答案】(1),; (2).
【详解】(1)因为,
由正弦定理得:
所以,
所以,
因为中,所以,
因为,所以,
因为,由余弦定理得:,解得,
综上,,.
(2)由(1)知:,,
由正弦定理得:,.
因为为锐角三角形,故,得.
从而的面积
,
又,,
所以,从而的面积的取值范围为.
22.如图,在直四棱柱中,底面是边长为的菱形,,,,分别是线段,上的动点,且.
(1)若二面角为,求的长;
(2)当三棱锥的体积为时,求与平面所成角的正弦值的取值范围.
【答案】(1); (2).
【详解】(1)取中点,过点作,交于点,连结.
因为底面是边长为的菱形,,
所以为等边三角形.
由直四棱柱,可得平面,
平面,,
,,,
所以和全等,可得.
因为为中点,所以.
又因为,
所以为二面角的平面角,即.
在平面中,,,
所以,则有,
所以.
在中,,,
则,
解得.
(2)因为平面,所以,
因为三棱锥的体积为,
所以,解得,所以为中点.
因为平面,所以.
在中,,,
所以.
设到平面的距离为,
在中,,,
所以,
所以.
因为,所以,解得.
在中,由余弦定理得,
所以.
设与平面所成角为.
所以.
令,则
因为,所以,所以,
所以与平面所成角正弦的取值范围是
2022-2023学年高二下学期期末考前必刷卷:数学02卷(沪教版2020计数原理与概率统计)(全解全析): 这是一份2022-2023学年高二下学期期末考前必刷卷:数学02卷(沪教版2020计数原理与概率统计)(全解全析),共15页。试卷主要包含了数据分布如下,= 0.8 等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年高二下学期期末考前必刷卷:2022-2023学年高二数学下学期期末考前必刷卷(苏教版2019)(全解全析): 这是一份2022-2023学年高二下学期期末考前必刷卷:2022-2023学年高二数学下学期期末考前必刷卷(苏教版2019)(全解全析),共18页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年高一下学期期末考前必刷卷:数学(苏教版2019B卷)(全解全析): 这是一份2022-2023学年高一下学期期末考前必刷卷:数学(苏教版2019B卷)(全解全析),共20页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。