2020-2021学年江苏省南京市金陵中学、一中高一（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省南京市金陵中学、一中高一（上）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省南京市金陵中学、一中高一（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1．（5分）已知集合，2，，，，则　　
A． B．， C． D．，2，
2．（5分）命题“，”的否定是　　
A．， B．，
C．， D．，
3．（5分）函数的定义域为　　
A．， B．，
C．， D．，，
4．（5分）函数的最小值为　　
A．3 B． C．2 D．1
5．（5分）函数的图象大致为　　
A．
B．
C．
D．
6．（5分）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
7．（5分）若关于的不等式有实数解，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．
8．（5分）若非空数集满足“对于，，都有，，，且当时，”，则称是一个“理想数集”，给出下列四个命题：
①0是任何“理想数集”的元素；
②若“理想数集” 有非零元素，则
③集合，是一个“理想数集”；
④集合，，是“理想数集”．
其中真命题的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
9．（5分）以下说法中正确的有　　
A．“是定义在上的偶函数”的含义是“存在，使得”
B．“是定义在上的增函数”的含义是“，，当时，有”
C．设，是两个非空集合，则的含义是“对于，”
D．设是定义在上的函数，则“”是“是奇函数”的必要条件
10．（5分）已知，，，，则下列结论中正确的有　　
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
11．（5分）下列说法中不正确的有　　
A．设，是两个集合，若，则
B．函数与为同一个函数
C．函数的最小值为2
D．设是定义在上的函数，则函数是奇函数
12．（5分）若函数同时满足：
①对于定义域内的，都有；
②对于定义域内的，当时，都有则称函数为“颜值函数”．
下列函数中，是“颜值函数”的有　　
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13．（5分）设，则“”是“”的　　条件（填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”“既不充分也不必要” ．
14．（5分）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（1）（1）　　．
15．（5分）在平面直角坐标系中，若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数的值为　　．
16．（5分）已知，，，则的最小值为　　．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上
17．（10分）计算：
（1）；
（2）．
18．（12分）设全集，已知集合，，．
（1）求和；
（2）若，求实数的取值范围．
19．（12分）设函数，已知的解集为区间．
（1）求，的值；
（2）若函数在区间，上的最小值为，求实数的值．
20．（12分）根据试验检测，一辆型运输汽车在高速公路上匀速行驶时，耗油率近似与车速的平方成正比，且当车速是时，耗油率为．已知，两地间有一条长的高速公路，最低限速，最高限速．若某环保公司用一辆该型号运输车将垃圾从地转运至地，已知过路费为40元，支付给雇用司机的工资平均每小时80元．假设汽油的价格是8元，汽车匀速行驶（起步、必要的减速或提速等忽略不计），问：当行车速度为多少时，转运一次的总费用最低？最低为多少元？
21．（12分）已知函数为奇函数．
（1）求实数的值；
（2）求证：在区间，上是增函数；
（3）若对任意的，，，都有，求实数的取值范围．
22．（12分）设是上的减函数，且对任意实数，，都有；函数．
（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
（2）若，，且______．
①存在，； ②对任意，，
不等式成立，求实数的取值范围；
请从以上两个条件中选择一个填在横线处，并完成求解．
（3）当时，若关于的不等式与的解集相等且非空，求的取值范围．

2020-2021学年江苏省南京市金陵中学、一中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1．（5分）已知集合，2，，，，则　　
A． B．， C． D．，2，
【分析】可以求出集合，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：，2，，，
，．
故选：．
【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）命题“，”的否定是　　
A．， B．，
C．， D．，
【分析】根据特称命题的否定形式进行判断
【解答】解：命题“，”的否定是，，
故选：．
【点评】本题考查了命题的否定，属于基础题．
3．（5分）函数的定义域为　　
A．， B．，
C．， D．，，
【分析】可看出，要使得原函数有意义，需满足，然后解出的范围即可．
【解答】解：要使原函数有意义，则，解得且，
原函数的定义域为：．
故选：．
【点评】本题考查了函数定义域的定义及求法，区间的定义，考查了计算能力，属于基础题．
4．（5分）函数的最小值为　　
A．3 B． C．2 D．1
【分析】先研究函数在每一段的单调性，分别求出它们的最值，然后求解函数的最值，就是大中取大，小中取小．
【解答】解：对于函数函数，
当时，．在，上递减；
所以此时（1），
当时，，当且仅当，取等号，
综上可知原函数的最小值为：2．
故选：．
【点评】本题考查分段函数的性质，一般来讲分段函数的处理原则：分段函数，分段处理．如本题求最值，应先在每一段上求它们的最大（小值，最后大中取大．小中取小．
5．（5分）函数的图象大致为　　
A．
B．
C．
D．
【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．
【解答】解：函数的定义域为实数集，关于原点对称，
函数，则，则函数为奇函数，故排除，，
当时，，故排除，
故选：．
【点评】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．
6．（5分）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】根据分段函数的单调性的判断方法建立不等式组，即可求解．
【解答】解：要满足已知题意，只需，
解得，
故选：．
【点评】本题考查了分段函数的单调性，考查了学生解不等式的能力，属于基础题．
7．（5分）若关于的不等式有实数解，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．
【分析】讨论、和时，求出不等式有解时的取值范围．
【解答】解：时，不等式为，有实数解，满足题意；
时，一元二次不等式为，不等式对应的二次函数开口向下，所以有实数解；
时，一元二次不等式为，应满足△，解得；
综上知，的取值范围是．
故选：．
【点评】本题考查了不等式有解的应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．
8．（5分）若非空数集满足“对于，，都有，，，且当时，”，则称是一个“理想数集”，给出下列四个命题：
①0是任何“理想数集”的元素；
②若“理想数集” 有非零元素，则
③集合，是一个“理想数集”；
④集合，，是“理想数集”．
其中真命题的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用已知条件中理想数集的定义判断命题的真假，题目中给出了对两个实数的四种运算，要满足对四种运算的封闭，只有一一验证．
【解答】解：对于①，设，显然有，即，故0是任何“理想数集”的元素，故①正确；
对于②：当时，显然有，则，，，，所以，故②正确；
对于③：易知，而，故③错误；
对于④：，，故，而，故④错误．
故选：．
【点评】本题考查学生对于新定义题型的理解和把握能力，理解“理想数集”的定义是解决该题的关键，题目着重考察学生的构造性思维，属于难题．
二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
9．（5分）以下说法中正确的有　　
A．“是定义在上的偶函数”的含义是“存在，使得”
B．“是定义在上的增函数”的含义是“，，当时，有”
C．设，是两个非空集合，则的含义是“对于，”
D．设是定义在上的函数，则“”是“是奇函数”的必要条件
【分析】根据偶函数的定义即可判断；由增函数的定义即可判断；由子集的定义即可判断；由充分必要条件的定义即可判断．
【解答】解：对于，“是定义在上的偶函数”的含义是“对任意的，都有”，故错误；
对于，“是定义在上的增函数”的含义是“，，当时，有”，故正确；
对于，由子集的定义可知正确；
对于，若是定义在上的奇函数，则，
若是定义在上的函数，且，不能得出为奇函数，例如，
故“”是“是奇函数”的必要条件，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查函数奇偶性单调性的定义，考查子集的定义，充要条件的定义，属于中档题．
10．（5分）已知，，，，则下列结论中正确的有　　
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可．
【解答】解：对于，若，则，故正确；
对于，若，则，故错误；
对于，取，，，，满足，，但，故错误；
对于，若，则，则，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．
11．（5分）下列说法中不正确的有　　
A．设，是两个集合，若，则
B．函数与为同一个函数
C．函数的最小值为2
D．设是定义在上的函数，则函数是奇函数
【分析】由集合的基本运算即可判断；判断定义域与解析式是否相同即可判断；利用换元及对勾函数的性质即可判断选项；由函数的奇偶性的定义即可判断．
【解答】解：对于，设，是两个集合，若，则，故正确；
对于，函数，函数，两函数定义域相同，解析式不同，故不是同一函数，故错误；
对于，令，则在，上单调递增，所以当时，取得最小值为，
所以函数的最小值为，故错误；
对于，函数，，
所以函数是奇函数，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查即可得基本运算，同一函数的判断，函数最值的求法，以及函数奇偶性的判断，属于中档题．
12．（5分）若函数同时满足：
①对于定义域内的，都有；
②对于定义域内的，当时，都有则称函数为“颜值函数”．
下列函数中，是“颜值函数”的有　　
A．
B．
C．
D．
【分析】先理解已知两条性质反映的函数性质，①为奇函数，②为定义域上的减函数，由此判断各选项是否同时具备两个性质即可．
【解答】解：依题意，性质①反映函数为定义域上的奇函数，性质②反映函数为定义域上的减函数，
对于，为定义域上的奇函数，但不是定义域上的减函数，其单调区间为，，故不是“颜值函数”；
对于，为定义域上的偶函数，故不是“颜值函数”；
对于，函数的图象如图所示，
显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故是“颜值函数”．
对于，为定义域上的奇函数，且是定义域上的减函数，故是“颜值函数”．
故选：．

【点评】本题主要考查了抽象表达式反映的函数性质，对新定义函数的理解能力，奇函数的定义，函数单调性的定义，基本初等函数的单调性和奇偶性及其判断方法，复合函数及分段函数的单调性和奇偶性的判断方法，属于中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13．（5分）设，则“”是“”的　必要且不充分　条件（填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”“既不充分也不必要” ．
【分析】解出关于的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．
【解答】解：，，
推不出，
，
是的必要且不充分条件，
即是的必要且不充分条件
故答案为：必要且不充分．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．
14．（5分）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（1）（1）　2　．
【分析】根据题意，由函数的解析式可得，结合函数的奇偶性可得（1）（1），即可得答案．
【解答】解：根据题意，，
则，
又由函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，
则（1）（1）．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．
15．（5分）在平面直角坐标系中，若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数的值为　1　．
【分析】由已知可转化为函数与函数的图象只有一个交点，利用函数的图象性质即可求解．
【解答】解：由已知可令，
可得：，
可看成函数与函数图象只有一个公共点，
而函数是以为对称轴，最小值为0的函数，
所以要满足题意只需令，即，
故答案为：1
【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，属于基础题．
16．（5分）已知，，，则的最小值为　16　．
【分析】由，利用基本不等式即可求得最小值．
【解答】解：，，，
，
当且仅当时，取得最小值16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了利用基本不等式性质求最值问题，属于基础题．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上
17．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用对数的运算性质求解．
（2）利用有理数指数幂的运算性质求解．
【解答】解：（1）原式




．
（2）原式

．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质和有理数指数幂的运算性质，是基础题．
18．（12分）设全集，已知集合，，．
（1）求和；
（2）若，求实数的取值范围．
【分析】（1）可以求出集合或，，然后进行交集、并集和补集的运算即可；
（2）根据可得出，然后讨论是否为空集：时，；时，，然后解出的范围即可．
【解答】解：（1）或，，，
，，；
（2），
，
①时，，解得；
②时，，解得；
综上得实数的取值范围为．
【点评】本题考查了描述法的定义，交集、并集和补集的定义及运算，全集的定义，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
19．（12分）设函数，已知的解集为区间．
（1）求，的值；
（2）若函数在区间，上的最小值为，求实数的值．
【分析】（1）由的解集为区间可知，是的解，然后结合方程的根与系数关系可求；
（2）开口向上，对称轴，然后结合对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论可求．
【解答】解：（1）由的解集为区间可知，是的解，
故，
解得，，，
（2）开口向上，对称轴，
即时，函数在，上单调递减，（2），
解得，（舍，
即时，函数在，上单调递增，，（舍，
当即时，函数在，上先减后增，，
解得，（舍或，
综上，．
【点评】本题主要考查了二次函数与二次不等式的相互转化关系的应用及二次函数闭区间上最值的求解，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．
20．（12分）根据试验检测，一辆型运输汽车在高速公路上匀速行驶时，耗油率近似与车速的平方成正比，且当车速是时，耗油率为．已知，两地间有一条长的高速公路，最低限速，最高限速．若某环保公司用一辆该型号运输车将垃圾从地转运至地，已知过路费为40元，支付给雇用司机的工资平均每小时80元．假设汽油的价格是8元，汽车匀速行驶（起步、必要的减速或提速等忽略不计），问：当行车速度为多少时，转运一次的总费用最低？最低为多少元？
【分析】设车速为，用表示出油耗和行车时间，得出总费用关于的函数，根据基本不等式求出费用最小值．
【解答】解：设车速为，耗油率，则由题意可得，
．
从地到地消耗汽油的价钱为，
司机的工资为，
故从地到地的总费用元．
当且仅当，即，时取等号．
从地到地的车速是时，转运一次的总费用最低为300元．
【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查函数解析式求解，函数最值的计算，属于中档题．
21．（12分）已知函数为奇函数．
（1）求实数的值；
（2）求证：在区间，上是增函数；
（3）若对任意的，，，都有，求实数的取值范围．
【分析】（1）由为奇函数，结合奇函数的定义代入可求；
（2）结合单调性定义，设，然后利用作差法比较与的大小即可判断；
（3）结合（2）中单调性即可求解函数最值．
【解答】解：（1）因为为奇函数，，
所以，
所以，
整理可得，，
所以，
（2）证明：由（1）可得，
设，则，
，
所以，
所以在区间，上是增函数；
（3）由（2）可得在，上单调递增，
故（4），（2），
若对任意的，，，都有，
所以，
解得或．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的应用及判断，还考查了函数单调性在求解最值中的应用．
22．（12分）设是上的减函数，且对任意实数，，都有；函数．
（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
（2）若，，且______．
①存在，； ②对任意，，
不等式成立，求实数的取值范围；
请从以上两个条件中选择一个填在横线处，并完成求解．
（3）当时，若关于的不等式与的解集相等且非空，求的取值范围．
【分析】（1）令，可得，再令，结合奇偶性的定义，即可得到结论；
（2）分别选①②，将原不等式转化为对，成立或恒成立，结合参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围；
（3）考虑与的解集相等，求得，再由的解集，结合判别式的符号和因式分解，可得所求范围．
【解答】解：（1）令，则，即，再令，则，即，所以为上的奇函数；
（2）①存在，．，
由是上的减函数可得，即，
也即，可得对，成立，
在时取得最小值4，
则，即；
选②任意，，，
由是上的减函数可得，即，
也即，可得在任意，恒成立，
在时取得最大值12，
则，即；
（3）当时，若关于的不等式与的解集相等且非空，
可得与的解集相等，可得，即，
，可得△，即舍去），
又，
由题意可得恒成立，可得△，
解得，又，可得，
综上可得．
【点评】本题考查抽象函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立和成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/2/23 14:15:22；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394