精品解析：浙江省温州新力量联盟2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题（解析版）

2022学年第二学期温州新力量联盟期中联考

高二年级数学学科试题

选择题部分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知，则x的取值为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】利用组合数的性质求解即可.

【详解】因为，

所以或，解得．

经检验，满足题意.

故选：B．

2. 已知函数，则（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】利用导数的定义和求导公式进行求解.

【详解】由题意，

因为，所以，即；

故选：C.

3. 李老师从课本上抄录一个随机变量的分布列如下表：

现让小王同学计算的数学期望，尽管“？”处的数值完全无法看清，且两个“！”处字迹模糊，但能断定这两个“！”处的数值相同，则（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】根据分布列的性质以及数学期望公式可求出结果.

【详解】设，，

则，即，

所以.

故选：B

4. 丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出．

【详解】对A，，当时，，所以A错误；

对B，，在上恒成立，所以B正确；

对C，，，所以C错误；

对D，，，因为，所以D错误．

故选：B．

5. 在的展开式中，的系数是（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可知展开式中，的系数是展开式中的常数项与一次项系数的和.

【详解】在的展开式中，的系数是展开式中的常数项与一次项系数的和,

因为，

所以所求的的系数为，

故选：A

6. 回文联是我国对联中的一种，它是用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味．相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的正整数，被称为“回文数”，如22，575，1661等．那么用数字1，2，3，4，5可以组成4位“回文数”的个数为（    ）

A. 25 B. 20 C. 30 D. 36

【答案】A

【解析】

【分析】计算出由1个数字组成的4位回文数和由2个数字组成的4位回文数，相加后得到答案.

【详解】1，2，3，4，5可以组成的4位“回文数”中，

由1个数字组成的4位回文数有5个，

由2个数字组成的4位回文数有个，

所以由数字1，2，3，4，5可以组成4位“回文数”的个数为20+5=25.

故选：A

7. 红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差．用一款红外体温计测量一位体温为36.9℃的人时，显示体温X服从正态分布，若X的值在内的概率约为0.9973，则n的值约为（    ）

参考数据：若，则．

A 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】根据体温X服从正态分布，结合X的值在内的概率约为0.9973，且，得到求解.

【详解】解：因为体温X服从正态分布，

所以，

因为X的值在内的概率约为0.9973，且，

则 ，

所以 ，

则，解得，

所以 ，解得，

故选：C

8. 若曲线在点处的切线方程为，则的最小值为（    ）

A. -1 B.  C.  D. 1

【答案】D

【解析】

【分析】先根据题意建立，的方程，再把用一个变量来表示，再构造函数求最小值即可得到的最小值．

【详解】，因为切点在直线上，所以①，

，结合导数的几何意义有②，

因为，所以，

联立①②消去得，

所以，，

令，则，

令，解得；令，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

因此，故的最小值为 1．

故选：D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A.  B. 是的极小值点

C. 函数在上有极大值 D. 是的极大值点

【答案】AD

【解析】

【分析】根据函数极值的定义，结合导数的性质和导函数的图象逐一判断即可.

【详解】由的图象可知：当时，，所以函数单调递增；

当时，，所以函数单调递减，因此有，是的极大值点，所以选项A、D正确；

当，或时，，所以函数单调递增，因此函数在上没有极大值，且不是的极小值点，所以选项B、C不正确，

故选：AD

10. 已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为1，则正确的命题是（    ）

A.  B.

C. 展开式中所有二项式系数的和为512 D. 展开式中含的项为

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据二项式系数最大项以及二项式系数的性质即可求出的值，由此即可判断A；令，求出展开式的所有项的系数和，建立方程即可求出的值，由此即可判断B；根据二项式系数和公式即可判断C；求出展开式的通项公式，令的指数为6，由此即可判断D．

【详解】对于A：因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，则为偶数，所以，故A正确；

对于B：令，则展开式中所有项的系数和为，解得或0（舍去），所以，故B正确；

对于C：展开式中所有项的二项式系数和为，故C错误；

对于D：展开式的通项公式为，，1，，8，

令，解得，则展开式中含的项为，故D正确．

故选：ABD．

11. 某校计划安排五位老师（包含甲、乙、丙）担任四月三日至四月五日的值班工作，每天都有老师值班，且每人最多值班一天．（    ）

A. 若每天安排一人值班，则不同的安排方法共有种

B. 若甲、乙、丙三人只有一人安排了值班，则不同的安排方法共有种

C. 若甲、乙两位老师安排在同一天值班，丙没有值班，则不同的安排方法共有种

D. 若五位老师都值班了一天，且每天最多安排两位老师值班，则不同的安排方法共有种

【答案】AC

【解析】

【分析】根据排列数和组合数的定义，结合分步乘法计数原理依次求出各安排的方法数即可.

【详解】对于选项A，每天安排一人值班，则不同的安排方法共有种，A正确；

对于选项B，安排甲、乙、丙三人只有一人安排了值班的安排方法可分为两步完成，第一步，从甲，乙，丙三人中选出一人，有种选法，再将所选之人与余下两人分别安排到四月三日至四月五日，有种方法，故不同的安排方法共有种，B错误；

对于选项C，安排甲、乙两位老师安排在同一天值班，丙没有值班等价于将甲，乙视为一个整体，与除甲，乙，丙外的两人一起分别安排到四月三日至四月五日值班，不同的安排方法共有种，C正确；

选项D，安排五位老师都值班了一天，且每天最多安排两位老师值班可分为两步完成，先将5人分为2人，2人，1人三个小组，再将3个小组分别安排到四月三日至四月五日，完成第一步的方法有种，完成第二步的方法有种，所以不同的安排方法共有种，D错误；

故选：AC.

12. 学校食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为．而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为；前一天选择B套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率也是，如此往复．记某同学第n天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为．一个月（30天）后，记甲、乙、丙3位同学选择B套餐的人数为X，则下列说法正确的是（    ）

A.  B. 数列是等比数列

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】两个套餐必选其一，从而判断A选项；根据题意，写出关于的递推关系，根据等比数列的定义判断B选项；由的近似值可求出C选项；根据二项分布的期望公式算出D选项.

【详解】A选项，该同学两个套餐必然会选择一种，因此，A选项正确；

B选项，由题意，，即，

两边同时减去，得到，

又，则，

于是数列是首项为，公比为的等比数列，B选项正确；

C选项，根据B选项可知，，即，

当时，很小，会趋近于，于是的近似值为，

由题意，要求的近似值，那么可近似认为，

于是，C选项正确；

D选项，根据二项分布的期望公式，，D选项错误.

故选：ABC

非选择题部分

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 的二项展开式中的常数项为______．

【答案】

【解析】

【分析】先写出二项式展开式的通项公式，根据的幂指数为0即可求解.

【详解】因为的展开式的通项公式为，

令，解得，

所以的二项展开式中的常数项为，

故答案：

14. 2022年11月27日上午7点，时隔两年再度回归的上海马拉松赛在外滩金牛广场鸣枪开跑，途经黄浦、静安和徐汇三区.数千名志愿者为1.8万名跑者提供了良好的志愿服务.现将5名志愿者分配到防疫组、检录组、起点管理组、路线垃圾回收组4个组，每组至少分配1名志愿者，则不同的分配方法共有__________种.（结果用数值表示）

【答案】240

【解析】

【分析】先将5名志愿者分成四组，然后再分配到四个地方即可.

【详解】将5名志愿者分成四组，且每组至少1名志愿者有种情况，所以不同的分配方法有.

故答案为：240.

15. 已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中4道题，在剩下的4道题中，有3道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为______．

【答案】##0.8125

【解析】

【分析】设小王从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的4道题为事件B，选到有思路的三道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，利用全概率公式进行求解即可.

【详解】设小王从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的4道题为事件B，选到有思路的三道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，

则，，，

由全概率公式可得

.

故答案为：.

16. 设实数，若对任意，关于x的不等式恒成立，则的最小值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】由题意则在上恒成立，设，即在上恒成立，利用导数分析出函数的单调性，得出再利用分离参数法可求出答案.

【详解】对任意，关于x的不等式恒成立

则在上恒成立

设，即在上恒成立

由，，则

由在上恒成立

所以在上单调递增.

所以, ，即

设，则在上恒成立

所以在上单调递减，则

所以，故的最小值为

故答案为：

四、解答题：本题共6小题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数在区间上的最大值与最小值．

【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为   

（2）最大值为，最小值为

【解析】

【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；

（2）结合函数的极值与端点处的函数值，即可得解.

【小问1详解】

∵定义域为，且，

令或，令；

∴函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．

【小问2详解】

由（1）可知：当时，取得极大值，

当时，取得极小值，

又，．

所以在区间上的最大值为，最小值为．

18. 为了中国经济持续发展制定了从2021年到2025年的发展纲要，简称“十四五”规划，为了普及“十四五”的知识，某党政机关举行“十四五”的知识问答考试．从参加考试的机关人员中，随机抽取100名人员的考试成绩的频率分布直方图如下，其中考试成绩在上的人数没有统计出来．

（1）请尝试计算考试成绩在上的人数；

（2）若把上述频率看作概率，把考试成绩的分数在的学员选为“十四五”优秀宣传员．若从党政机关所有工作人员中，任选3名工作人员，其中可以作为优秀宣传员的人数为，求．

【答案】（1）人   

（2）

【解析】

【分析】（1）设分数在内的频率为x，根据频率分布直方图所有小长方形的面积和为1可得答案；

（2）根据频率分布直方图可知考试成绩在的频率，再根据或可得答案.

【小问1详解】

设分数在内的频率为x，根据频率分布直方图得，

，解得，

因此，考试成绩在上的人数为（人）；

【小问2详解】

根据频率分布直方图可知考试成绩在的频率为，

因此

.

（另解：）.

19. 生命在于运动，小鑫给自己制定了周一到周六的运动计划，这六天每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同，且运动项目为跑步、爬山、打羽毛球和游泳，请思考并完成下列问题（结果用数值表示）：

（1）若瑜伽被安排在周一和周六，共有多少种不同的安排方法？

（2）若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，共有多少种不同的安排方法？

（3）若瑜伽不被安排在相邻的两天，共有多少种不同的安排方法？

【答案】（1）种   

（2）种   

（3）种

【解析】

【分析】（1）瑜伽被安排在周一和周六,安排剩下的四种运动项目即可；

（2）分2种情况讨论周二和周五都安排瑜伽,周二和周五中有1天安排瑜伽可求解;

（3）先排其他四项运动，再插空可求解.

【小问1详解】

若瑜伽被安排在周一和周六，安排剩下的四种运动项目则共有种不同的安排方法.

【小问2详解】

根据题意，分2种情况讨论：

若周二和周五都安排瑜伽，有种安排方法，

若周二和周五中有1天安排瑜伽，有种安排方法，

则有种安排.

【小问3详解】

若瑜伽不被安排在相邻的两天，则先排其他四项运动，共有种不同的安排方法，再从5个空位里插入2个安排练习瑜伽，故共有种不同的安排方法.

20. 在①；②；③展开式中二项式系数最大值为；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．

已知，且______．

（1）求m的值；

（2）求的值（结果用数值表示，参考数据：，）．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）选①，根据二项式展开式的通项公式可求得答案；

选②，二项式系数和可求得答案；

选③，根据二项式展开式系数的性质可求得答案；

（2）利用赋值法，分别令以及，可得到关于系数的两等式，将两式相加结合，即可得答案.

【小问1详解】

若选①，，

根据二项式展开式的通项公式可得，解得．

若选②，，由二项式系数和可得，解得．

若选③，展开式中二项式系数最大值为，

由二项式系数的性质可得或，解得，即．

【小问2详解】

由（1）可得，

令，可得，①

令，可得，②

①＋②可得，，所以．

令，可得，所以．

21. 据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长透择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）

（1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼境，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？

（2）从这8名戴角膜塑形镜学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差；

（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望和方差.

【答案】（1）；   

（2），；   

（3）佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是.

【解析】

【分析】（1）先根据该市的样本求得这位学生佩戴眼镜的概率和佩戴眼镜是角塑性眼镜的概率，再利用条件概率的计算公式计算即得结果；
（2）从8名学生选3个，男生人数X服从超几何分布，按照，k=0，1，2，写出分布列即可；

（3）依题意随机变量服从二项分布，利用公式计算期望和方差即可.

小问1详解】

根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，则，

“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件，则，

故所求的概率为： ，

所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是；

【小问2详解】

依题意，佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生，故从中抽3人，男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，

其中：；

；

.

所以男生人数的分布列为：

所以，

，

【小问3详解】

由已知可得：

则：，

所以佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是.

22. 已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个零点，求a的取值范围，并证明：.

【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上递减，在上递增，   

（2）a<-1，证明见解析

【解析】

【分析】（1）先对函数求导，然后分和，通过判断导数的正负可求得函数的单调区间，

（2）结合（1）可得，求出的最值，结合题意可得，根据函数的单调性及零点存在性定理可得若有两个零点，则，不妨设，分析可得要证，只要证，令，利用导数证得即可

【小问1详解】

由，得，

当时，，所以在上单调递增，

当时，当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

综上，当时，在上单调递增，

当时，在上递减，在上递增，

【小问2详解】

由（1）知，当时，在上单调递增，则至多只有1个零点，不符合题意，

所以当时，可能存在两个零点，

由（1）知，当时，在上递减，在上递增，

所以，得，此时，

①当时，，此时，则

在和上分别存在一个零点，

②当时，，

令，则，

，

所以在上单调递增，则，

所以在上单调递减，

所以，即，

此时，则在和上分别存在一个零点，

综上，有两个零点，则

下面证明，不妨设，则由，得

两式相减得，，

两式相加得，，

所以要证，只要证，

即证，

即证，

令，则，

所以在上单调递增，

所以，

因为，所以，

所以

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数解决函数零点问题，解题的关键是由，得，两式分别相减，相减，可得，再将问题转化为证即，然后构造函数，利用导数求解即可，考查数学转化思想和计算能力，属于难题