浙江省温州新力量联盟2022-2023学年高二数学下学期期中联考试题（Word版附答案）

2022学年第二学期温州新力量联盟期中联考

高二数学试题

选择题部分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知，则x的取值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．已知函数，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

3．李老师从课本上抄录一个随机变量的分布列如下表：

现让小王同学计算的数学期望，尽管“？”处的数值完全无法看清，且两个“！”处字迹模糊，但能断定这两个“！”处的数值相同，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为，记在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”．则下列函数在上是“凹函数”的是（    ）

A．  B．

C．  D．

5．在的展开式中，x的系数是（    ）

A．-2 B．-1 C．1 D．2

6．回文联是我国对联中的一种，它是用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味．相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客：人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的正整数，被称为“回文数”，如22，575，1661等．那么用数字1，2，3，4，5可以组成4位“回文数”的个数为（    ）

A．20 B．25 C．30 D．36

7．红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差．用一款红外体温计测量一位体温为36.9℃的人时，显示体温X服从正态分布，若X的值在内的概率约为0.9973，则n的值约为（    ）

参考数据：若)，则．

A．3 B．4 C．5 D．6

8．若曲线在点处的切线方程为，则的最小值为（    ）

A．-1 B． C． D．1

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．函数的定义域为R，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．  B．是的极小值点

C．函数在上有极大值 D．是的极大值点

10．已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为1，则正确的命题是（    ）

A．  B．

C．展开式中所有二项式系数的和为512 D．展开式中含的项为

11．某校计划安排五位老师（包含甲、乙、丙）担任四月三日至四月五日的值班工作，每天都有老师值班，且每人最多值班一天．（    ）

A．若每天安排一人值班，则不同的安排方法共有种

B．若甲、乙、丙三人只有一人安排了值班，则不同的安排方法共有种

C．若甲、乙两位老师安排在同一天值班，丙没有值班，则不同的安排方法共有种

D．若五位老师都值班了一天，且每天最多安排两位老师值班，则不同的安排方法共有种

12．学校食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为．而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为；前一天选择B套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率也是，如此往复．记某同学第n天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为．一个月（30天）后，记甲、乙、丙3位同学选择B套餐的人数为X，则下列说法正确的是（    ）

A．  B．数列是等比数列

C．  D．

非选择题部分

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的二项展开式中的常数项为______．

14．2022年11月27日上午7点，上海马拉松赛在外滩金牛广场鸣枪开跑，途经黄浦、静安和徐汇三区．数千名志愿者为1.8万名跑者提供了良好的志愿服务．现将5名志愿者分配到防疫组、检录组、起点管理组、路线垃圾回收组4个组，每组至少分配1名志愿者，则不同的分配方法共有______种．（结果用数值表示）

15．已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中4道题，在剩下的4道题中，有3道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为______．

16．设实数，若对任意，关于x的不等式恒成立，则的最小值为______．

四、解答题：本题共6小题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数在区间上的最大值与最小值．

18．（12分）为了中国经济的持续发展制定了从2021年到2025年的发展纲要，简称“十四五”规划，为了普及“十四五”的知识，某党政机关举行“十四五”的知识问答考试．从参加考试的机关人员中，随机抽取100名人员的考试成绩的频率分布直方图如下，其中考试成绩在上的人数没有统计出来．

（1）请尝试计算考试成绩在上的人数；

（2）若把上述频率看作概率，把考试成绩的分数在的学员选为“十四五”优秀宣传员．若从党政机关所有工作人员中，任选3名工作人员，其中可以作为优秀宣传员的人数为，求．

19．（12分）生命在于运动，小鑫给自己制定了周一到周六的运动计划，这六天每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同，且运动项目为跑步、爬山、打羽毛球和游泳，请思考并完成下列问题（结果用数值表示）：

（1）若瑜伽被安排在周一和周六，共有多少种不同的安排方法？

（2）若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，共有多少种不同的安排方法？

（3）若瑜伽不被安排在相邻的两天，共有多少种不同的安排方法？

20．（12分）在①；②；③展开式中二项式系数最大值为；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．

已知，且______．

（1）求m的值；

（2）求的值（结果用数值表示，参考数据：，）．

21．（12分）据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种佩戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜来控制孩子的近视发展），A市从该地区的小学生中随机抽取了容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，2名是男生，6名是女生）

（1）若从样本中选一位小学生，已知这位小学生因近视佩戴眼镜，求他戴的是角膜塑形镜的概率；

（2）从这8名佩戴角膜塑形镜的学生中选出3名，求其中男生人数X的期望与方差；

（3）用样本的频率估计总体的概率，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望和方差．

22．（12分）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个零点，，求a的取值范围，并证明：

2022学年第二学期温州新力量联盟期中联考

高二年级数学学科参考答案

命题：温州市第十四高级中学  宋鑫

审稿：瓯海第二高级中学  梁淑辉

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．24 14．240 15． 16．

四、解答题：本题共6小题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

解：（1）∵，

令或，令；

∴函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．

（2）由（1）可知：

当时，取得极大值，

当时，取得极小值，

又，．

所以在区间上的最大值为11，最小值为-1．

18．（12分）

解：（1）设分数在内的频率为x，根据频率分布直方图得，

，解得．

因此，考试成绩在上的人数为（人）

（2）根据频率分布直方图可知考试成绩在的频率为，

因此

（另解：，给分标准同上）

19．（12分）

解：（1）（种）；（2）；（3）

20．（12分）

解：

（1）若选①，，

根据二项式展开式的通项公式可得，解得．

若选②，，由二项式系数和可得，解得．

若选③，展开式中二项式系数最大值为，

由二项式系数的性质可得或，解得，即．

（2）由（1）可得，

令，可得，①

令，可得，②

①＋②可得，，所以．

令，可得，所以．

21．（12分）

解：（1）设“这位小学生因近视佩戴眼镜”为事件A，则．

设“这位小学生佩戴的是角膜塑形镜”为事件B，则“这位小学生因近视佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件AB，则．

故所求的概率为．

（2）依题意，佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生，故从中抽3人，男生人数X的所有可能取值为0，1，2，

，，，

所以男生人数X的分布列为

所以

（3）由已知可得，，则．

．

22．（12分）

解：（1）由，得，

当时，，所以在上单调递增，

当时，当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

综上，当时，在上单调递增，

当时，在上递减，在上递增；

（2）由（1）知，当时，在上单调递增，则至多只有1个零点，不符合题意，

所以当时，可能存在两个零点，

由（1）知，当时，在上递减，在上递增，

所以，得，此时，

①当时，，此时，

则f(x)在和上分别存在一个零点，

②当时，，

令，，则，，

所以在上单调递增，则，

所以在上单调递减，

所以，即，

此时，则在和上分别存在一个零点，

综上，有两个零点，则．

下面证明，不妨设，则由，得

两式相减得，，

两式相加得，，

所以要证，只要证，

即证，即证，

令，，则，

所以在上单调递增，所以，

因为，所以，所以．