2022-2023学年浙江省温州新力量联盟高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年浙江省温州新力量联盟高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知集，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由并集定义可直接得到结果.

【详解】由并集定义知：.

故选：A.

2．已知函数，则（    ）

A．7 B．3 C． D．

【答案】B

【分析】利用分段函数的定义分别求函数值即可.

【详解】因为所以，

因为所以，

所以.

故选:B.

3．下列命题中真命题是

A．“”是的充分条件

B．“”是的必要条件

C．“ 是“”的必要条件

D．“”是“”的充分条件

【答案】C

【详解】对于A，D，当时，均不成立；

对于B,当 时，，但，故不成立；

对于C，在不等式两边同时除以得，，故C正确，故选项为C.

4．已知命题，，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】由全称命题的否定可直接得到结果.

【详解】由全称命题的否定知：，.

故选：A.

5．已知正实数，满，则的最小值为（    ）

A．2 B． C． D．1

【答案】D

【分析】利用基本不等式求最值即可.

【详解】，整理得，当且仅当时等号成立.

故选：D.

6．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由特殊值的正负结合极限即可得到答案.

【详解】由可排除D；

又当时，，可排除AC.

故选：B.

7．若幂函数的图象过点，则的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数类型，结合待定系数法求得参数，再利用换元法求函数值域即可.

【详解】因为为幂函数，故可得；又，故可得，

则，令，则，且，

故的值域与的值域相等，

又在单调递增，在上单调递减，

当时，，故，即的值域为：.

故选：C.

8．已知函数是定义在R上的奇函数，若对任意，不等式恒成立，则实数有（    ）

A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值

【答案】A

【分析】先求出函数并得到在R上递增，再结合的性质求解．

【详解】解：为奇函数，

，

，

，

单调递增，单调递增，

单调递增．

为了解决问题我们先研究对勾函数的性质，

，令且，

，

∴在上单调递增．

若恒成立，

则等价成，

即①，

令，

①化为 ，

令，

由上面的讨论知，在上单调递增，

，

，

∴ ，

∴ a的最大值为．

故选：A．

二、多选题

9．下列函数是增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据各函数的性质直接判断即可.

【详解】对A: 为一次函数且在上单调递增，故A正确；

对B: 为对钩函数且在单调递增，单调递减，

单调递减，上单调递增，故B错误；

对C: 在上单调递增，故C正确；

对D: 在上单调递增， 上单调递增，

且，所以在上单调递增，故D正确,

故选: ACD.

10．已知正数满足，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】利用均值不等式可推导得到ACD正确；由，利用基本不等式可知B错误.

【详解】对于A，，（当且仅当时取等号），A正确；

对于B，（当且仅当，即，时取等号），B错误；

对于C，，（当且仅当，即时取等号），C正确；

对于D，（当且仅当，即时取等号），D正确.

故选：ACD.

11．已知，则下列选项中正确的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据各选项式子的结构变形求解即可．

【详解】解：，

；

，

；

故A正确，B错误；

；

，

，

故C正确，D错误．

故选：AC．

12．定义表示不大于的整数，设函数，则下列命题正确的有（    ）

A．

B．若，则的图象与函数的图象有1个交点

C．在上单调递增

D．使得不等式恒成立的的最小值是1

【答案】ABD

【分析】根据的定义，结合函数图象，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：，故A正确；

对B： 当，此时，令，解得或，均不满足，故舍去；

当，此时，令，解得，不满足题意，故舍去；

当，此时，令，解得（舍）或，此时方程有1根；

当，此时，令，解得或，不满足题意，故舍去；

当，则，故不是的根；

综上所述：在上只有一个根为，

故，则的图象与函数的图象有1个交点，正确；

对：由可知，当当，此时，其在不单调，

故在不可能单调递增，故C错误；

对D：当时，恒成立，；

当时，即，即，

令，在平面直角坐标系中绘制其函数图象如下所示：

注意到，当时，，故当时，的最小值为零，

要满足题意，只需，解得；

综上所述，的最小值为，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，处理问题的关键是能够根据的定义，灵活的应用函数的性质，属综合中档题.

三、填空题

13．满足的集合的个数为______．

【答案】

【分析】根据子集定义可得集合所有可能的结果，由此可得集合的个数.

【详解】由子集定义可知：集合所有可能的结果为，，，，共个.

故答案为：.

14．已知为偶函数，且当时，则，则______．

【答案】##3.5

【分析】利用偶函数的性质求函数值即可.

【详解】.

故答案为：.

15．为了宣传第56届世乒赛，某体育用品商店购进一批乒乓球拍，每副进价200元，售价260元，每月可以卖出160副．由于疫情原因，商家决定降价促销，根据市场调查，每降价10元，每月可多卖出80副，降价后，商家要使每月的销售利润最大，应该将售价定为___元．

【答案】240

【分析】根据题意建立销售价格与销售利润之间的函数关系，求其最大值即可.

【详解】设销售利润为，销售价格为，根据题意可知：

根据题意可得：，

又该函数在单调递增，在单调递减，

故当时，函数取得最大值，则应该将售价定为元.

故答案为：.

16．已知函数，若对，使得，则实数的取值范围为______．

【答案】

【分析】将恒成立存在问题转化为最值问题，得到，然后利用换元法和单调性求最值即可.

【详解】因为对，，使得，则，

，在上单调递增，所以，

令，则，在上单调递减，上单调递增，所以当时取得最小值，，

所以，解得.

故答案为：.

四、解答题

17．计算：

(1)；

(2).

【答案】(1)；

(2).

【分析】根据指数的运算法则，对（1）（2）分别进行计算即可.

【详解】（1）原式.

（2）原式.

18．已知集合．

(1)求集合；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解一元二次不等式，再结合集合的含义求集合；

（2）根据题意列不等式，解不等式即可.

【详解】（1）由得，

∵，

∴.

（2）∵，，  ∴．

∴．

19．已知函数，．

(1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；

(2)求函数在区间上的值域．

【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据单调性的定义，结合函数解析式，即可证明函数单调性；

（2）令，先求内层函数的值域，再求外层函数的值域即可.

【详解】（1）在区间上单调递增，证明如下：

证明：，且，

有，

由，得，所以，

又由，得，

于是，即，

所以，函数在区间上单调递增．

（2）因为，

令，则 ，

又在区间上是单调递增函数，

故函数的值域为，

即函数的值域为．

20．已知函数．

(1)若函数在区间单调递增，求实数的取值范围；

(2)若不等式的解集为，求关于的不等式的解集．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二次函数的单调性列不等式求解；

（2）根据不等式的解集为得到，，然后代入解不等式即可.

【详解】（1）由题意得．

解得．

（2）不等式化为

依题意可得-3，2是方程的两个根

所以，

解得，

∴不等式等价于，

所以解集为．

另解：或，

所以解集为．

21．工信部对新能源（插电式混合动力）汽车的综合油耗计算公式如下：（升/公里）．已知某型号新能源汽车在亏电（电池电量为0）时的每百公里平均油耗与其车身（电池＋车身其它结构）质量（）的关系式为（升/百公里），其纯电池状态下，电池质量（）与车辆行驶里程间关系为（公里）．

(1)若要使该型号汽车的纯电续航里程达到，应安装多少质量的电池最合适？

(2)已知该型号汽车除电池外的所有结构质量为，为达到工信部新能源汽车综合油耗最低值，应安装多少质量的电池？（，答案精确到）

【答案】(1)电池质量应为100kg

(2)应安装139kg的电池

【分析】(1)令即可求解;(2)由题意建立函数关系式利用基本不等式即可确定新能源汽车综合油耗最低值.

【详解】（1）令化简可得．

则或．

∵需要最合适的电池，考虑到成本问题，所以电池质量应为100kg

（2）设电池质量为kg，则

于是综合油耗

化简得．

令，则．

∵，∴，当且仅当，即时取“＝”．

此时，，  ∴．

∴为达到工信部新能源汽车综合油耗最低值，应安装139kg的电池．

22．已知函数.

(1)当时，写出函数的单调区间；

(2)若函数的图象关于点中心对称，求的值；

(3)若对恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增

(2)

(3)

【分析】(1)利用分段函数以及二次函数的性质即可求解;(2)根据函数图像关于点中心对称，则即可求解;(3)分类讨论解不等式恒成立，利用二次函数和基本不等式的性质可求解.

【详解】（1）当时，

∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

（2）若函数图像关于点中心对称，则

．

令，则．

∴，∴．

经检验时，，

，

满足函数的图象关于点中心对称.

所以.

（3）①当 时，恒成立，故．

②当时，，令

则恒成立，故．

③当时，，，

解法一：由上可知，

设，对称轴为直线，

若，即时，，

∴  ∵  ∴．

若，即时，，∴恒成立．

∴．

解法二： ，∴

设，

则，

∴

综上①②③，．