精品解析：贵州省黔南州2023届高三上学期10月质量监测数学（理）试题（解析版）

黔南州2023届高三年级质量监测试卷

理科数学

2022年10月

本试看分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分考试时间为120分钟.

注意事项:

1.答卷前，考生务必将姓名、报名号、座位号用钢笔填写在答题卡相应位置上.

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

4.请保持答题卡平整，不能折叠.考试结束后，监考老师将试题卷、答题卡一并收回，

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】分析：根据公式，可直接计算得

详解： ，故选D.

点睛：复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略中的负号导致出错.

2. 集合，且，则a＝（    ）

A. －4 B. －2 C. 2 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】解二次不等式化简集合，解一次不等式化简集合，由集合的交集结果即可得的值.

【详解】由得，故，

由得，故，

因为，

所以，故.

故选：A.

3. 已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.

【详解】由已知可得：.

A：因，所以本选项不符合题意；

B：因为，所以本选项不符合题意；

C：因为，所以本选项不符合题意；

D：因为，所以本选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.

4. 函数y=sin2x的图象可能是

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.

详解：令，

因为，所以为奇函数，排除选项A,B;

因时，，所以排除选项C，选D.

点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．

5. 已知，则的大小关系为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】分析：由题意结合对数性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.

详解：由题意可知：，即，，即，

，即，综上可得：.本题选择D选项.

点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．

6. 设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.

详解：因为函数是奇函数，所以，解得，

所以，，

所以，

所以曲线在点处的切线方程为，

化简可得，故选D.

点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.

7. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】本题首先可求解，得出，然后求解，得出，最后通过充分条件与必要条件的判定，即可得出结果.

【详解】，即，解得，

，即，解得，

则“”可以证得“”，“”不能证得“”，

故“”是“”的充分而不必要条件，

故选：A.

8. 已知函数，.若存在2个零点，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】题目转化为函数的图象与直线有2个交点，画出图象，根据图象知，解得答案.

【详解】存在2个零点，令，

即，故函数的图象与直线有2个交点，

画出函数图象，如图，平移直线，可以看出当且仅当，

即时，直线与函数的图象有2个交点.

故选：C.

9. 设是等比数列，且，则的值是（    ）

A. 4 B. 8 C. 16 D. 32

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可求得等比数列的公比，再根据，即可求得答案.

【详解】解：由是等比数列，设公比为q，且，，

所以，，故 ，

所以，

故选：D

10. 已知，则的值为（    ）

A. 2 B. 1 C. －2 D. －1

【答案】C

【解析】

【分析】利用分段函数的解析式及诱导公式，分别求得的值，由此得到结果.

【详解】因为，

所以，，

故.

故选：C.

11. 已知函数的图像关于点中心对称，则（    ）

A. 在区间上单调递增

B. 在区间有两个极值点

C. 直线是曲线的对称轴

D. 直线是曲线的切线

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再逐项分析判断作答.

【详解】因为函数的图象关于点中心对称，

即，则，而，有，则，

对于A，当时，，而正弦函数在上单调递减，

因此函数在上单调递减，A不正确；

对于B，当时，，而正弦函数在上只有1个极值点，

因此函数在有唯一极值点，B错误；

对于C，因为，因此直线不是函数图象的对称轴，C错误；

对于D，直线过点，并且，即点在曲线上，

由，求导得，显然，

因此曲线在处的切线方程为，即，D正确.

故选：D

12. 已知函数的定义域为，下列是无最大值的充分条件是（    ）

A. 为偶函数且关于直线对称 B. 为偶函数且关于点对称

C. 为奇函数且关于直线对称 D. 为奇函数且关于点对称

【答案】D

【解析】

【分析】由选项所给条件直接列举对应模拟图象（不唯一），根据图象判断即可

【详解】如图所示. 对选项D，易得，，显然D项无最大值，

故D项符合，

故选：D

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答吗，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13. 已知向量，则___．

【答案】

【解析】

【分析】根据向量坐标运算法则求解即可.

【详解】解：因为，

所以，故

故答案为：

14. 若实数x，y满足约束条件，则最小值是_______．

【答案】

【解析】

【分析】先画出约束条件所表示的可行域，根据直线的几何意义，结合图像即可求得截距的最小值，即的最小值.

【详解】根据题意，作出所表示的可行域（阴影部分），如图：

由得，作出的平行直线簇，结合图像可知当经过点时，截距取得最小值，即取得最小值，

联立，解得，即，故，

所以的最小值为.

故答案为：.

15. 若与关于轴对称，写出一个符合题意的值______．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】先由关于轴对称得出关系式，再由诱导公式求解即可.

【详解】由题意得，，由诱导公式知，

显然满足题意，解得.

故答案为：（答案不唯一）.

16. 已知函数及其导函数的定义域均为,记. 若,均为偶函数,则___．

【答案】

【解析】

【分析】根据原函数与导函数的图像的关系确定为奇函数,再根据函数为偶函数,得到,两者结合即可得出结果.

【详解】是偶函数,

,

,即,

为奇函数,则.

为偶函数,

,

.

故答案为:.

三、解答题：第17至21题每题12分，第22、23题为选考题，各10分钟，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 设函数.

（1）若，求的最大值；

（2）解关于的不等式：.

【答案】（1）   

（2）或.

【解析】

【分析】（1）使用基本不等式求的最小值，即可得出答案；

（2）当时去分母转化为二次不等式求解，当时恒成立，求解即可.

【小问1详解】

∵，∴，

当且仅当即时取得最大值，

所以的最大值为；

【小问2详解】

①若，且，∴，

∴，即，∴，解得；

②若，恒成立，即的解集为；

综合①②得不等式的解集为或.

18. 设函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数在上的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；

（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.

【详解】（1）由辅助角公式得，

则，

所以该函数的最小正周期;

（2）由题意，

，

由可得，

所以当即时，函数取最大值.

19. 已知等差数列的公差为，，若分别从下表第一、二、三行中各取一个数，依次作为，，，且，，中任何两个数都不在同一列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求证：．

【答案】（1）；   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由等差数列的性质和定义即可求出；

（2）求出，利用裂项相消法求出，即可证明.

【小问1详解】

由题意可知，数列为递增数列，

又公差，所以，，，

则，，

所以数列的通项公式为；

【小问2详解】

，

，

20. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且B为钝角．

（1）证明：；

（2）再从下列三个条件中选出两个条件，求△ABC的面积．①，②，③．

【答案】（1）证明见解析   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）利用同角关系式中商数关系及正弦定理推得，再由诱导公式及三角形内角的范围即可证得结果；

（2）分别两两选取，结合（1）中结果及正弦定理、三角形面积公式即可求得结果.

【小问1详解】

由得，

再正弦定理得，

因为是钝角，所以，故，

所以，即，

又因为，，

故，即；

【小问2详解】

选①②，由题意可得，

结合，解得，故，

所以，

因此，△ABC的面积；

选①③，在△ABC中，由题意知，

又因为，所以，，

故，

由正弦定理可得，

因此，△ABC的面积；

选②③，与选①③做法类似，先分别求得，，，，

再由正弦定理得（这是与选①③做法不同的地方）

因此，△ABC的面积.

21. 设，为实数，且，函数

（1）求函数的单调区间；

（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围；

(注：是自然对数的底数).

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【小问1详解】

函数的定义域为R，求导得，

当时，，函数在上单调递增；

当时，由得，函数在上单调递减，

由得，函数在上单调递增.

所以当时，在上单调递增；

当时，函数的单调减区间为，单调增区间为.

【小问2详解】

有2个不同零点有2个不同解有2个不同的解，

当时，，因此的零点为正数，

令，则，

则有2个不同的解等价于有2个不同的解，

令，求导得，

令，求导得，即函数在上单调递增，

又，于是当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，

因此当时，取极小值，即为最小值，为，

因为有2个不同零点，则有，显然，对任意恒成立，

于是，

当时，由及，取，则， ，

由零点存在性定理知，存在，使成立，

令，，令，，

即在上递增，，则在上递增，，因此，

因为当时，，取，则，即，

由零点存在性定理知，存在，使成立，

因此当时，函数有两个不同的零点，

所以实数的取值范围是.

【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.

选修4-4：坐标系与参数方程

22. 已知曲线，的参数方程分别为：(为参数)，：(为参数)

（1）将，的参数方程化为普通方程.

（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，的交点为，求圆心在极轴上，且经过极点和点的圆的极坐标方程.

【答案】（1）的普通方程为，的普通方程为；（2）.

【解析】

【分析】（1）两式相加消去参数可得曲线的普通方程；两式平方作差消去参数可得的普通方程.

（2）由（1）解方程组求出，根据题意可知圆心为，半径为，从而写出直角坐标方程，由，代入即可求解.

【详解】（1）因为，

所以曲线的普通方程为，

因为，

所以曲线的普通方程为.

（2）由（1）得曲线和的普通方程分别为和，

联立可得，解得，所以点的直角坐标为

因为圆心在极轴上，且经过极点和，

即圆心在轴的正半轴上，且过直角坐标原点，所以圆心为，

所以圆的直角坐标方程为，即

则该圆的极坐标方程为，即.

【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、普通方程化为极坐标方程，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.

选修4-5：不等式选讲

23. 设，，均为正数，且，证明：

（1）；

（2）.

【答案】（1）见解析    （2）见解析

【解析】

【分析】（1）由，则，根据，，，即可得证；

（2）根据，，，即可得证.

【小问1详解】

由，得，

又由基本不等式可知当，，均为正数时，，，，

当且仅当时，上述不等式等号均成立，

所以，

即，

所以，当且仅当时等号成立；

【小问2详解】

因为，，均为正数，

则，，，当且仅当时，不等式等号均成立，

则，

即，当且仅当时等号成立.

所以.