2023届贵州省贵阳市乌当区高三上学期期中质量监测数学（文）试题（解析版）

2023届贵州省贵阳市乌当区高三上学期期中质量监测数学（文）试题

一、单选题

1．集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据并集与补集的运算，可得答案.

【详解】由题意，，.

故选：B.

2．已知复数z满足（i是虚数单位），则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】利用复数的乘法运算求得，然后求得.

【详解】由，得，

则.

故选：B

3．设a，b是实数，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据不等式的性质，结合特殊值即可得出.

【详解】因为，，所以有成立；

取，，则有成立，但是，所以不成立.

所以，“”是“”的充分而不必要条件.

故选：A.

4．基本再生数与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T近似满足.有学者基于已有数据估计出，.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为（）（    ）

A．1.8天 B．2.5天 C．3.6天 D．4.2天

【答案】C

【分析】根据所给模型求得，.设增加3倍需要的时间为，可得，带入整理得，解出即可.

【详解】把，代入，可得，所以.

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间为，

则有，即，整理有，

则，解得．

故选：C.

5．在等差数列中，为其前项和，若，则的值为（    ）

A．18 B．12 C．10 D．9

【答案】A

【分析】利用求出，再由可得出答案．

【详解】设等差数列的公差为，则，

所以，

所以．

故选：A．

6．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用二倍角公式判断，即可得到，再由计算可得.

【详解】解：由，又，

所以，所以，

又，所以或（舍去），

所以.

故选：A．

7．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的定义域、时的取值范围求得正确答案.

【详解】，

的定义域为，C选项错误.

当时，，，

所以AB选项错误，D选项正确.

故选：D

8．将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于原点O对称，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由三角函数的图象变换与性质求解，

【详解】由题意得的图象向左平移个单位长度得，

而的图象关于原点O对称，则，即，

得，，

的最小值是．

故选：C

9．已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据正弦定理利用角B表示，利用三角变换及三角函数的性质可求的取值范围.

【详解】因为，，故三角形外接圆直径为，

所以，所以，，

故

，

因为三角形为锐角三角形，故，故，

故，故，

所以

故的取值范围为，

故选：A.

10．已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先讨论的单调性，再通过单调性找出的大小关系.

【详解】当时，，在单调递增，且，当时，在单调递增，且，故在R上单调递增.

，解得或.

故选：B

11．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题设可以得到有两个相异的零点，构建新函数，分和讨论即可.

【详解】，令，

因为函数有两个极值点，

所以有两个不同的解，且在零点的两侧符号异号.

，

当时，，在上单调递增，故不可能有两个零点.

当时，时，，在上单调递增；

时，，在上单调递减，

所以 ，即，.

当时，，故在上有一个零点；

当时，，

所以在上有一个零点，

综上，，

故选：D.

【点睛】函数零点个数的判断，需利用函数的单调性和零点存在定理来判断，选择怎样的点来计算其函数值且函数值异号是关键，可根据解析式的特点选点，如对于对数，应选等，对于指数，应选等形式的数来计算，也可以选极值点附近的点，通过构建新函数讨论函数值的符号.

12．已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先证明，当时，恒成立，可得.再证明，当时，恒成立，可得，即可得到a，b，c的大小关系.

【详解】设，则，

当时，，则在上单调递减.

又，所以，当时，有恒成立.

即当时，恒成立.则，即.

设，则，

当时，，即在上单调递增；

当时，，即在上单调递减.

所以，当时，恒成立.

即当时，恒成立.

则，所以.

所以，，，.

所以有.

故选：C.

二、填空题

13．已知向量满足，且，则与夹角的大小为___________.

【答案】

【分析】利用平面向量数量积的运算律即可求解.

【详解】由得，

即，

因为，所以，

因为，所以，

故答案为: .

14．已知实数x，y满足，则目标函数的最大值为________．

【答案】3

【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．

【详解】作出可行域如图中阴影部分（含边界）所示，

联立，解得，即点，

作直线，在直线中，表示直线的纵截距，因此直线向上平移时，纵截距增大，即增大，

所以平移直线，当它过点时，有，

故答案为：3．

15．已知点A的坐标为，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至 ，则点的坐标为_________________．

【答案】

【分析】设出点的坐标，终边经过点A的角为，结合三角函数定义求出，的正弦、余弦值，再借助和、差角的正余公式即可计算作答.

【详解】设，显然，，则有，

依题意，终边经过点的角为，则有，

于是得，解得，

，解得，

所以点的坐标为.

故答案为：

16．已知函数，若，是方程的两不等实根，则的最小值是___________.

【答案】##

【分析】作出函数的图象，可得，且设，.将用表示出来，可得，借助导函数求出，的最小值即可.

【详解】与函数均是单调函数.

作出函数的图象，由图可知，当时，方程有两不等实根.不妨设，.

则，，即，.

则.

令，，则.

当时，有，单调递减；

当时，有，单调递增.

所以，在时，取得唯一极小值，也是最小值.

故答案为：.

三、解答题

17．计算下列各式的值：

(1)；

(2)

【答案】(1)3

(2)1

【分析】（1）由指数的运算法则化简求解

（2）由对数的运算法则化简求解

【详解】（1）

（2）

18．已知角满足

(1)若角是第三象限角，求的值;

(2)若，求的值.

【答案】(1)；

(2)答案见解析.

【分析】（1）根据同角三角函数关系，求得，即可求得结果；

（2）利用诱导公式化简，根据（1）中所求，即可求得结果.

【详解】（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有，

消去得，解得或

因为角是第三象限角，所以，，

（2），

当角是第一象限角时，，

当角是第三象限角时，，

19．已知是以1为首项的等差数列，是以2为首项的正项等比数列，且满足.

(1)求与的通项公式；

(2)求的前n项和，并求满足的最小正整数n.

【答案】(1)，

(2)答案见详解

【分析】（1）根据已知条件求得的公差，的公比，从而求得与的通项公式；

（2）利用裂项求和法求得，然后将代入求解不等式即可得到.

【详解】（1）依题意，是以1为首项的等差数列，是以2为首项的正项等比数列，

设的公差为，的公比为（），

由已知得，即，

消去，可得，解得或（舍去）.

所以，，则.

所以，，

.

（2）由（1）知，，

所以.

由知，，即，

解得，，或.

又，，.

所以，最小正整数为2023.

20．在中，角，，的对边分别为a，b，c，且.

(1)求角B的大小；

(2)如图，若D为外一点，且，，，，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据条件，运用倍角公式和差公式正弦定理化简即可；

(2)连接BD，先求出，再求出，运用正弦定理求出BC即可.

【详解】（1）由，得，

即.

由正弦定理，得，

整理可得，

又，∴，∴.

又，∴.

（2）

如图，连接BD，因为，，，

所以，，

所以，所以．

又，所以，

在 中，由正弦定理可得，即，

又，

，

所以.

所以 ；

综上， .

21．已知函数.

(1)求的值并求的最小正周期和单调递增区间；

(2)求证：当时，恒有.

【答案】(1)，最小正周期为，单调递增区间为，；

(2)证明见解析.

【分析】（1）利用两角差余弦公式、正弦倍角公式及辅助角公式可得，由此可求，利用周期公式求最小正周期，根据正弦函数的单调性结论求单调递增区间；

（2）由得，即可得的值域，进而判断是否成立.

【详解】（1）因为，化简可得

所以，

所以，的最小正周期.

令，，解得，，

∴单调递增区间为，.

（2）由，知：，则有的值域为，

∴，即当时，，

所以当时，恒有.

22．已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．

(1)求函数的解析式；

(2)求函数的单调区间；

(3)若函数有三个零点，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2)单调递减区间是；单调递增区间是，；

(3).

【分析】（1）根据点在函数图像上，再根据导数的几何意义以及极值点处导函数为，联立方程即可得解；

（2）根据导数与函数单调性的关系即得；

（3）结合函数的性质可得，进而即得.

【详解】（1）由题可得，

由题意得即

解得，，，

所以．

（2）因为，

令，得或．

当变化时，，的变化情况如下：

所以，的单调递减区间是；单调递增区间是，．

（3）因为，，

由（2）可知：在处取得极大值，在处取得极小值，

依题意，要使有三个零点，则，

即，

解得，

所以的取值范围为．