河南省郑州励德双语学校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题

郑州励德双语学校2022-2023学年下期期中考试

姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________

一、单选题（共8小题）

1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则角B的大小是(　　)

A. 45° B. 60° C. 90° D. 135°

2. 在复平面内，复数z＝对应的点位于(　　)

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 已知复数z＝2－i，则z·的值为(　　)

A. 5 B.  C. 3 D.

4. 设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝(　　)

A.  B.  C.  D.

5. 经过空间任意三点作平面(　　)

A. 只有一个  B. 可作两个

C. 可作无数多个  D. 只有一个或有无数多个

6. 用一个平面去截正方体，则截面不可能是(　　)

A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 正方形 D. 正六边形

7. 已知正三角形ABC的边长为，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为(　　)

A.  B.  C.  D.

8. 已知用与球心距离为1的平面去截球,所得截面圆的面积为π,则球的表面积为(　　)

A.  B.  C. 8π D.

二、多选题（共4小题）

9. 在△ABC中，＝(1,3)，＝(2，k)，若△ABC是直角三角形，则k的值可能为(　　)

A.  B.  C. 1 D. 2

10. 下面关于复数z=的结论正确的是(　　)

A. |z|=  B. z2=2i

C. z的共轭复数为1+i  D. z的虚部为-1

11. 两条直线a，b满足a∥b，b⊂平面α，则a与平面α的位置关系可以是(　　)

A. a∥α B. a与α相交 C. a与α不相交 D. a⊂α

12. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列命题中，正确的有(　　)

A. BM∥平面DCMN  B. CN∥平面BCMF

C. 平面BDM∥平面AFN D. 平面BDE∥平面NCF

三、填空题（共4小题）

13. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．

14. 在△ABC中，∠A＝120°，AB＝5，BC＝，则AC的值为________．

15. i是虚数单位，复数________.

16. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角∠MAN＝60°，点C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从点C测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________.

四、解答题（共6小题）

17. 已知平面向量＝(2,2)，＝(x，－1)．

(1)若，求实数x的值；

(2)若⊥(－2)，求向量与的夹角的余弦值．

18. 已知复数z＝(3＋bi)(1＋3i)(b∈R)是纯虚数．

(1)求b的值；

(2)若，求复数ω的模|ω|.

19. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＋b＝5，c＝，且ccosA＋a＝b.

(1)求C的大小；

(2)求△ABC的面积．

20. 如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，E，M，N分别是BC，AE，CD′的中点，求证：MN∥平面ADD′A′.

21. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC＝acosC＋ccosA.

(1)求角C的大小.

(2)若b＝2，c＝，求a及△ABC的面积.

22. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥DC，E，F分别为PC，DC的中点，PA＝DC＝2AB＝2AD＝2.

(1)证明：平面PAD∥平面EBF；

(2)求三棱锥P－BED的体积.

郑州励德双语学校2022-2023学年下期期中考试

参考答案

一、单选题（共8小题）

1.【答案】A

【解析】因为a2＝b2－c2＋ac，所以a2＋c2－b2＝ac，

由余弦定理，得，

又0°<B<180°，所以B＝45°.

2.【答案】D

【解析】，故复数z对应的点为Z，它位于第四象限．

3.【答案】A

【解析】z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5.

4.【答案】B

【解析】因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝1＋4×＋4＝3，所以|a＋2b|＝.

5.【答案】D

【解析】若三点不共线，则只可以作一个平面；若三点共线，则可以作出无数多个平面．

6.【答案】A

【解析】用一个平面去截正方体，则截面的情况为：

①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；

②截面为四边形时，可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；

③截面为五边形时，不可能是正五边形；

④截面为六边形时，可以是正六边形．

7.【答案】D

【解析】如图所示，

直观图△A′B′C′的高为h′＝C′D′sin 45°＝CDsin 45°＝××sin 60°×sin 45°＝，

底边长为A′B′＝AB＝；

所以△A′B′C′的面积为：S＝A′B′·h′＝××＝.

8.【答案】C

【解析】设球的半径为R,则截面圆的半径为,

那么截面圆的面积为S=π()2=(R2-1)π=π,解得R2=2,故球的表面积S=4πR2=8π.

二、多选题（共4小题）

9.【答案】ABCD

【解析】∵＝(1,3)，＝(2，k)，

∴＝(1，k－3)．

若∠A＝90°，则2×1＋3×k＝0，∴k＝；

若∠B＝90°，则1×1＋3(k－3)＝0，

解得k＝；

若∠C＝90°，则2×1＋k(k－3)＝0，

解得k＝1或2.

故所求k的值为或或1或2.

10.【答案】ABD

【解析】A项中,∵z==-1-i,∴|z|=,故A正确;

B项中,z2=(-1-i)2=2i,故B正确;

C项中,=-1+i,故C错误;

D项中,z的虚部为-1,故D正确.

11.【答案】ACD

12.【答案】CD

【解析】展开图可以折成如图①所示的正方体．

在正方体中，连接AN，如图②所示．

易知BM与平面DCMN有公共点M，CN与平面BCMF有公共点C，所以AB错误；

如图③所示，连接NF，BE，BD，DM，CF，

可以证明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，则平面BDM∥平面AFN，

同理可证平面BDE∥平面NCF，所以CD正确．

三、填空题（共4小题）

13.【答案】12π

【解析】由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a＝2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R＝a(R为正方体的外接球半径)，所以R＝，故该球的表面积S＝4πR2＝12π.

14.【答案】2

【解析】由余弦定理可知，解得AC＝2或AC＝－7(舍去)．

15.【答案】4－i

【解析】.

16.【答案】150 m

【解析】由题意可知AB＝BC＝100 m，所以AC＝100m，

在△ACM中，由正弦定理得(m)，

所以MN＝AMsin 60°＝100×＝150(m).

四、解答题（共6小题）

17.【答案】解　(1)平面向量＝(2,2)，＝(x，－1)，

若，则2×(－1)－2x＝0，解得x＝－1.

(2)若⊥(－2)，

则·(－2)＝2－2·＝0，

即(22＋22)－2×(2x－2)＝0，

解得x＝3，∴＝(3，－1)，

∴向量与的夹角的余弦值为

.

18.【答案】解　(1)z＝(3＋bi)(1＋3i)＝(3－3b)＋(9＋b)i.

因为z是纯虚数，

所以3－3b＝0且9＋b≠0，所以b＝1.

(2)，

所以.

19.【答案】解　(1)由正弦定理，得sinCcosA＋sinA＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，

即sinA＝sinAcosC，

∵sinA≠0，∴cosC＝，又C∈(0，π)，∴C＝.

(2)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，

即7＝a2＋b2－ab，

∴7＝(a＋b)2－3ab＝25－3ab，故ab＝6，

∴，

故△ABC的面积为.

20.【答案】证明　如图，取CD的中点K，连接MK，NK，

∵M，K分别是AE，CD的中点，

∴MK∥AD，

又AD⊂平面ADD′A′，

MK⊄平面ADD′A′，∴MK∥平面ADD′A′.

又∵N是CD′的中点，∴NK∥D′D.

又NK⊄平面ADD′A′，D′D⊂平面ADD′A′，

∴NK∥平面ADD′A′，又MK⊂平面MNK，NK⊂平面MNK，

MK∩NK＝K，∴平面MNK∥平面ADD′A′，

又MN⊂平面MNK，∴MN∥平面ADD′A′.

21.【答案】解　(1)因为2bcosC＝acosC＋ccosA，

所以由正弦定理可得：

2sinBcosC＝sinAcosC＋cosAsinC，

可得：2sinBcosC＝sin(A＋C)＝sinB，

因为sinB>0，所以cosC＝，

因为C∈(0，π)，所以C＝.

(2)因为b＝2，c＝，C＝，

所以由余弦定理可得：7＝a2＋4－2·a·2×，整理可得：a2－2a－3＝0，

所以解得：a＝3或－1(舍去)，

所以△ABC的面积

.

22.【答案】(1)证明　由已知F为CD的中点，且CD＝2AB，得DF＝AB.

因为AB∥CD，所以AB∥DF，

所以四边形ABFD为平行四边形，所以BF∥AD，

又因为BF⊄平面APD，AD⊂平面APD，所以BF∥平面PAD.

在△PDC中，因为E，F分别为PC，CD的中点，所以EF∥PD，

因为EF⊄平面APD，PD⊂平面APD，

所以EF∥平面APD，因为EF∩BF＝F，

所以平面APD∥平面BEF.

(2)解　由已知E为PC中点，VP－BDC＝2VE－BDC，

又因为VP－BDE＝VP－BDC－VE－BDC，所以VP－BDE＝VP－BDC，

因为S△BDC＝×1×2＝1，VP－BDC＝S△BDC·AP＝，

所以三棱锥P－BDE的体积.