河南省郑州市励德双语学校2022-2023学年高三上学期第一次月考数学（文科）试题（含答案）

2022-2023上学期高三文科数学月考试卷

一、单选题（每题5分，共60分）

1. 集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

3. 函数在区间的图象大致为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 函数在点处的切线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论中错误的是（    ）

A. 当时， B. 函数有3个零点

C. 的解集为 D. ，都有

8. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 当时，函数取得最大值－2，则（    ）

A. －1 B.  C.  D. 1

10. 函数的值域是（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 函数恰有一个零点，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题（每题5分，共20分）

13. 若关于的不等式的解集为，且，则的值为_________.

14. 若直线与曲线相切，则切点的坐标为_________.

15. 函数在上单调递增，则实数的取值范围是_________.

16. 已知函数，则的解集为_________.

三、解答题（共70分）

17.（10分）已知集合，.

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围.

18.（12分）已知命题：“，恒成立”，命题：“的定义域是”，若是假命题，是真命题，求实数的取值范围.

19.（12分）设是定义在实数集上的奇函数，且对任意实数恒满足，当时，.

（1）求证：是周期函数；

（2）计算：.

20.（12分）已知函数，且.

（1）当时，求函数的最大值；

（2）若函数有两个不同零点，求实数的取值范围.

21.（12分）已知函数.

（1）若函数在处的极值为10，求实数，的值；

（2）若函数在区间内存在单调递减区间，求实数的取值范围.

22.（12分）已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）设.当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.

参考答案

1. B

【分析】根据一元二次不等式可得，进而根据集合的补运算和交运算即可求解.

【详解】由题意得，，

所以，

故选：B.

2. C

【详解】因为全称命题的否定是特称命题，

所以命题“，”的否定是“，”.

故选：C.

3. A

【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】令，，

则，

所以为奇函数，排除BD；

又当时，，，所以，排除C.

故选：A.

4. A

【详解】，当时，恒成立，故“”是“在上单调递增”的充分不必要条件.故选A.

5. D

【解析】由及求解可得.

【详解】由题意，解得.

故选：D.

6. A

【分析】利用导数的几何意义求切线斜率，并确定切点坐标，点斜式写出切线方程.

【详解】由题设，，则，

而，故在处的切线方程为，则.

故选：A

7. A

【分析】由奇函数求出的解析式即可判断A选项；解方程求出零点即可判断B选项；解分段函数不等式即可判断C选项；求导确定单调性得出函数图象，即可判断D选项.

【详解】对于A，已知函数是定义在上的奇函数，当时，，，则，A错误；

对于B，易得，当时，，可得；当时，，可得，则函数有3个零点，B正确；

对于C，由，当时，由得；

当时，由得，则的解集为，C正确；

对于D，当时，，，当时，，单减，此时；

当时，，单增，，时，；时，有极小值；

结合函数是定义在上的奇函数，可得的图象，

结合图象知，的值域为，则，都有，D正确.

故选：A.

8. D

【详解】试题分析：由已知，，且，，∴，而，所以.

考点：指数的幂运算.

9. B

【分析】根据题意可知，即可解得，，再根据即可解出.

【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，，即，，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有.

故选：B.

10. B

【分析】先换元，，再分离常数求值域即可.

【详解】令，，，

可得，，

，故.

故选：B.

11. C

【分析】将问题转化为与只有一个交点，画出的图象，应用数形结合法求的取值范围.

【详解】由题设，与只有一个交点，

又的图象如下：

∴.

故选：C.

12. D

【分析】由条件知，，可得.再利用函数的单调性，分类讨论可解不等式.

【详解】幂函数在上单调递减，故，解得.又，故或2.

当时，的图象关于轴对称，满足题意；

当时，的图象不关于轴对称，舍去，故.

不等式化为，

函数在和上单调递减，

故或或，解得或.

故应选：D.

13.

【分析】根据一元二次不等式的解集与对应方程解的关系，利用根与系数的关系，结合题意即可求出的值.

【详解】解：关于的不等式的解集为，

所以，是一元二次方程的实数根，

所以，且，.

又因为，

所以，

又，解得.

故答案为：.

14.

【分析】设切点为，求出函数的导函数，即可得到方程组，解得即可.

【详解】解：设切点为，∵，∴，

又∵，∴，解得，故切点坐标为.

故答案为：.

15.

【分析】结合复合函数增减性和二次函数单调性及对数函数真数的定义域列出不等式组，即可求解

【详解】由在上单调递增可知，即，

设，则，即，解得，

综上所述，.

故答案为：.

【点睛】本题考查由复合函数在定区间的单调性求解参数取值范围，易错点为忽略对数函数中真数的取值范围，属于中档题

16.

【分析】先求解函数的奇偶性及单调性，根据奇偶性和单调性求解不等式即可.

【详解】解：由题可得，函数的定义域为，，

令，则，

又，，

所以函数为奇函数，函数为偶函数，

当时，设，

则，

因为，则，所以，

所以函数在区间单调递减，所以，

因为函数为奇函数，所以，

又，，所以，则，

所以函数在区间单调递减，在区间上单调递增，

因为，所以，

即，故，

解得.

故答案为：.

17.（1）

（2）

【分析】（1）根据并集的概念可求出结果；

（2）求出后，分类讨论是否为空集，再根据交集的结果列式可求出结果.

（1）当时，，

.

（2），

当时，，此时，解得；

当时，若，则，解得.

综上，实数的取值范围为.

18.

【分析】先利用三个二次的关系解决命题与中的恒成立问题，再利用“且或非”解决与的真假问题，分类讨论求得的取值范围.

【详解】若为真命题，则，即；

若为真命题，则在上恒成立，所以或，即；

因为是假命题，是真命题，所以与一真一假，

若真假，则，得；

若假真，则，即；

综上，，即的取值范围为.

19.（1）证明见解析；（2）1

【分析】（1）由已知，将换为可得；

（2）根据函数为奇函数可得时的解析式，再由周期性可求；

（3）求出，，，，利用周期性可求出.

【详解】（1）证明：∵，

∴，

∴是周期为4的周期函数；

（3），，，，

又是周期为4的周期函数，

∴

.

【点睛】本题考查了函数解析式的求解和函数周期性的应用，解题的关键是正确求出函数的周期.

20.（1）4

（2）

【分析】利用换元令，注意的范围.（1）结合二次函数性质求最大值；（2）利用参变分离整理可得，结合对勾函数分析运算.

（1）令，则.

∵函数在单调递减，在上单调递增，

又，，

∴函数的最大值为4.

（2）∵是单调函数，

∴函数有两个零点等价于方程在有两个根，

即在有两个根，等价于函数的图象与函数的图象在上有两个不同的交点.

又函数在单调递减，在单调递增，

又，，，

∴.

综上，实数取值范围为.

21.（1）；

（2）.

【分析】（1）由题可得，进而即得；

（2）由题可知存在使得，然后利用参变分离，构造函数利用导数求函数的最值即得.

（1）因为，

∴，，

又函数在处的极值为10，

∴，

解得或，

当时，，

函数单调递增，无极值，故不合题意，

当时，，

由，可得或，由，可得，

所以函数在处有极值，

所以；

（2）由题可知，

∴，

∴存在使得，

即在区间内成立，

令，，则，

所以函数，单调递减，

∴，

∴，即实数的取值范围为.

【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：

若在区间上有最值，则

（1）恒成立：，；，；

（2）能成立：，；，.

若能分离常数，即将问题转化为：（或），则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

22.（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）.

【详解】（Ⅰ）原函数的定义域为，因为，

所以当时，，令得，

所以此时函数在上是增函数；在上是减函数；

当时，，

所以此时函数在是减函数；

当时，令，解得或（舍去），

此时函数在上是增函数；在上是减函数；

当时，令，解得，

此时函数在上是增函数；在和上是减函数；

（Ⅱ）当时，在上是减函数，在上是增函数，

所以对任意，有，

又已知存在，使，所以，，

即存在，使，即，

即，

所以，解得，即实数取值范围是.

【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.

（1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间上的最大值，然后解不等式求参数.