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2023年河南省南阳市唐河县中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2023年河南省南阳市唐河县中考数学三模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省南阳市唐河县中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数是无理数的是( )
A. 0 B. 327 C. π D. −13
2. 下列计算正确的是( )
A. 3m2+2m=5m3 B. (m2n)3=m5n3
C. (m+n)(m−n)=m2+n2 D. 5 3+2 3=7 3
3. 某正方体木块切割掉四分之一后的剩余部分如图所示，其左视图为( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，下列条件中，不能判定AB//CD的是( )
A. ∠D+∠BAD=180° B. ∠1=∠2
C. ∠3=∠4 D. ∠B=∠DCE
5. 下列说法中，正确的是( )
A. 雨后见彩虹是随机事件
B. 为了检查飞机飞行前的各项设备，应选择抽样调查
C. 将一枚硬币抛掷20次，一定有10次正面朝上
D. 气象局调查了甲、乙两个城市近5年的降水量，它们的平均降水量都是800毫米，方差分别是s甲2=3.4，s乙2=4.3，则这两个城市年降水量最稳定的是乙城市
6. 人们常用“一刹那”这个词来形容时间极为短暂，按古印度《僧只律》(又有资料为《倡只律》)解释：一刹那即为一念，二十念为一瞬；二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预；二十罗预为一须叟，一日一昼为三十须叟.照此计算，一须叟为48分钟，一罗预为144秒，一弹指为7.2秒，一瞬为0.36秒，一刹那为0.018秒.则一天24小时有( )
A. 8×104刹那 B. 4.8×106刹那 C. 4.8×105刹那 D. 4.8×107刹那
7. 一元二次方程ax2+x−2=0有两个不相等实数根，则a的取值范围是( )
A. a<−18 B. a=−18 C. a >−18 D. a >−18且a≠0
8. 如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法：
①四边形EFGH一定是平行四边形；
②若AC=BD，则四边形EFGH是菱形；
③若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形．
其中正确的是( )
A. ① B. ①② C. ①③ D. ①②③
9. 如图，已知▱AOBC的顶点O(0,0)，A(−1,2)，点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为( )
A. ( 5−1,2) B. ( 5,2) C. (3− 5,2) D. ( 5−2,2)
10. 已知两个等腰直角三角形的斜边放置在同一直线l上，且点C′与点B重合，如图①所示．△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．直到点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图②所示，则△ABC的直角边长是( )
A. 4 2 B. 4 C. 3 2 D. 3
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 计算：(12)−1−tan45°+| 2−1|= ______ ．
12. 我市某电视台招募主持人，甲侯选人的综合专业索质、普通话、才艺展示成绩如表所示．
测试项目
综合专业索质
普通话
才艺展示
测试成绩
90
86
92
根据实际需求，该电视台规定综合专业素质、普通话和才艺展示三项测试得分按5：3：2的比例确定最终成绩，则甲候选人的最终成绩为 分.
13. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，▱ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F.若y=kx(k≠0)图象经过点C，且S△BEF=1，则k的值为______．
14. 如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，以B为圆心，BE为半径作弧，交BC于F，连接DE、DF.若AB=4，∠A=60°，则阴影部分的面积为______．
15. 如图，矩形ABCD中，AB=2 3，BC=2，点O为矩形对角线AC，BD的交点，将OA绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°)，点O的对应点为O′，连接BO′，当点O′落在矩形ABCD的对称轴上时，BO′的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题9.0分)
化简求值：(1x−2x−1)÷x2+x1−2x+x2，其中x是不等式组2x−7<3(x−1)①43x+3≤1−23x②的整数解．
17. (本小题9.0分)
某县教育局印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料，某中学经过一段时间的学习，同学们都表示有了提高，为了解具体情况，综治办开展了一次全校性竞赛活动，王老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图、表．
参赛成绩
60≤x<70
70≤x<80
80≤x<90
90≤x≤100
人数
8
m
n
32
级别
及格
中等
良好
优秀
请根据所给的信息解答下列问题：
(1)王老师抽取了______ 名学生的参赛成绩；m= ______ ，n= ______ ．
(2)将条形统计图补充完整；
(3)若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好以上(x≥80)的学生有多少人？
(4)在本次竞赛中，综治办发现七(1)班、八(4)班的成绩不理想，学校要求这两个班加强学习一段时间后，再由电脑随机从A、B、C、D四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，请用列表或画树状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率．
18. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+b的图象经过点C(0,4)，与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A(2,a)．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)一次函数y=2x+b的图象与x轴交于B点，求△ABO的面积；
(3)设M是反比例函数y=kx(x>0)图象上一点，N是直线AB上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．
19. (本小题9.0分)
如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD=100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．
(1)求步道DE的长度(精确到个位)；
(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D.请计算说明他走哪一条路较近？
(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
20. (本小题9.0分)
如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点(不与点A，B重合)，连接AC，BC．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出∠ACB的平分线，交⊙O于点D.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)如图2，在(1)的条件下，过点D作⊙O的切线，分别交CA、CB的延长线于点E、F，连接DA、DB．
①求证：AB//EF；
②若AC=6，BC=8，请求出EF的长.(提示：过点C作EF的垂线)
21. (本小题9.0分)
随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同．
(1)求A、B两种羽毛球拍每副的进价；
(2)若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？
(3)若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第(2)问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？
22. (本小题10.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx+2交y轴于点C，交x轴于A(−1,0)，B(4,0)两点，作直线BC．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使PC+PA的值最小，求点P的坐标；
(3)M是x轴上的动点，将点M向上平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线和直线BC都存在交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
23. (本小题10.0分)
例：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
CD是斜边AB上的中线.求证：CD=12AB．
证明：延长CD至点E，使DE=CD，连接AE，BE．
…
(1)请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
(2)初步探究
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，∠CBD=30°，AP⊥BD于点P，连接CP，AC= 3+1
．
①∠ACD的度数为______ ．
②求AD长．
(3)拓展运用
如图3，在平行四边形ABCD中，F是BC边上一点，∠ABC=60°，BC=6，BF=2.按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE.过点F作FP//AB交BE于点P，过点P作PG⊥AB于点G，Q为射线BE上一动点，连接GQ，CQ，若PQ=12BP，直接写出GQCQ的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B.327=3，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C.π是无理数，故本选项符合题意；
D.−13是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：C．
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， 6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
2.【答案】D
【解析】解：A、3m2和2m不是同类项，不能合并，原式计算错误，故选项不符合题意；
B、(m2n)3=m6n3，原式计算错误，故选项不符合题意；
C、(m+n)(m−n)=m2−n2，原式计算错误，故选项不符合题意；
D、5 3+2 3=7 3，原式计算正确，故选项符合题意．
故选：D．
根据合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方的法则、平方差公式和二次根式加减法的法则计算即可．
本题考查了合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方的法则、平方差公式和二次根式加减法的法则，解题的关键是熟记相关的运算法则和公式．
3.【答案】A
【解析】解：从几何体的左面看，是一列两个矩形．
故选：A．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
根据平行线的判定方法，逐项进行分析判断，即可得解．
【解答】
解：A、根据同旁内角互补，两直线平行，由∠D+∠BAD=180°，能判定AB//CD，故此项不符合题意；
B、根据内错角相等，两直线平行，由∠1=∠2，能判定AB//CD，故此项不符合题意；
C、根据内错角相等，两直线平行，由∠3=∠4得BC//AD，不能判定AB//CD，故此项符合题意；
D、根据同位角相等，两直线平行，由∠B=∠DCE，能判定AB//CD，故此项不符合题意，
故选C．
5.【答案】A
【解析】解：A、雨后见彩虹是随机事件，故本选项正确，符合题意；
B、为了检查飞机飞行前的各项设备，应选择全面调查，故本选项错误，不符合题意；
C、将一枚硬币抛掷20次，不一定有10次正面朝上，故本选项错误，不符合题意；
D、气象局调查了甲、乙两个城市近5年的降水量，它们的平均降水量都是800毫米，方差分别是s甲2=3.4，s乙2=4.3，则这两个城市年降水量最稳定的是甲城市，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
利用随机事件、调查的方式、概率公式及方差的知识分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了随机事件、调查的方式、概率公式及方差的知识，属于基础知识，比较简单，熟练掌握定义是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：3600×24÷0.018=4800000=4.8×106．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7.【答案】D
【解析】解：∵一元二次方程ax2+x−2=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2−4ac=12−4×a×(−2)=1+8a>0，
解得：a>−18，
∵方程ax2+x−2=0是一元二次方程，
∴a≠0，
∴a的范围是：a>−18且a≠0．
故选D．
由一元二次方程ax2+x−2=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△>0，继而可求得a的范围．
此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得△>0.同时考查了一元二次方程的定义．
8.【答案】D
【解析】解：∵点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH//BD，GF//BD，EF//AC，EH=12BD，EF=12AC，
∴四边形EHGF是平行四边形，故①符合题意；
若AC=BD，则EF=EH，
∴平行四边形EHGF是菱形，故②符合题意；
若AC⊥BD，则EF⊥EH，
∴平行四边形EHGF是矩形，故③符合题意；
故选：D．
根据三角形中位线定理得到EH//BD，GF//BD，EF//AC，EH=12BD，EF=12AC，根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理判断即可．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵▱AOBC的顶点O(0,0)，A(−1,2)，
∴AH=1，HO=2，
∴Rt△AOH中，AO= 5，
由题可得，OF平分∠AOB，
∴∠AOG=∠EOG，
又∵AG//OE，
∴∠AGO=∠EOG，
∴∠AGO=∠AOG，
∴AG=AO= 5，
∴HG= 5−1，
∴G( 5−1,2)，
故选：A．
依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO= 5，依据∠AGO=∠AOG，即可得到AG=AO= 5，进而得出HG= 5−1，可得G( 5−1,2)．
本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
10.【答案】C
【解析】解：函数图象可知，当x=m时，点B′到达点B，如图①，
当x=m+4时，点C′到达点C，如图②，
∴B′C′=m，BC=m+4，
∴A′B′=A′C′= 22B′C′= 22m，AB= 22BC，
由函数图象可知当m
∴m=2或m=−2(舍)，
∴BC=2+4=6，
∴AB= 22×6=3 2，
∴△ABC的直角边长是3 2，
故选：C．
结合函数图象可知，当x=m时，点B′到达点B，当x=m+4时，点C′到达点C，从而得到B′C′=m，BC=m+4，然后由函数图象可知当m
11.【答案】 2
【解析】解：(12)−1−tan45°+| 2−1|
=2−1+ 2−1
= 2，
故答案为： 2．
根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值是解题的关键．
12.【答案】89.2
【解析】解：90×55+3+2+86×35+3+2+92×25+3+2
=45+25.8+18.4
=89.2(分)．
答：甲候选人的最终成绩为89.2分．
故答案为：89.2．
根据加权平均数公式计算甲的最终成绩即可得出答案．
本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的定义是解题的关键．
13.【答案】24
【解析】解：连接OC，BD，
∵将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，
∴OA=OE，
∵点B恰好为OE的中点，
∴OE=2OB，
∴OA=2OB，
设OB=BE=x，则OA=2x，
∴AB=3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=3x，
∵CD//AB，
∴△CDF∽△BEF，
∴BECD=EFDF=x3x=13，
∵S△BEF=1，
∴S△BDF=3，S△CDF=9，
∴S△BCD=12，
∴S△CDO=S△BDC=12，
∴k的值=2S△CDO=24．
连接OC，BD，根据折叠的性质得到OA=OE，得到OE=2OB，求得OA=2OB，设OB=BE=x，则OA=2x，根据平行四边形的性质得到CD=AB=3x，根据相似三角形的性质得到BECD=EFDF=x3x=13，求得S△BDF=3，S△CDF=9，于是得到结论．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
14.【答案】4 3−43π
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=4，
∵∠A=60°，E为AB的中点，
∴AE=BE=2=BF，△ABD是等边三角形，
∵DE⊥AB，
∵∠A=60°，
∴∠ABC=180°−∠A=120°，
由勾股定理得：DE= AD2−AE2= 42−22=2 3，
∴S△AED=S△AEB=12×4×2 3×12=2 3=S△AFB，
∴阴影部分的面积S=S△AEB+S△AFB−S扇形BEF=4 3−120π×22360=4 3−43π，
故答案为：4 3−43π.
根据菱形的性质求出∠ABCD和BC=AB=4，求出DE长，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可．
本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出△AEC、△AFC和扇形ECF的面积是解此题的关键．
15.【答案】2或2 7
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO，
∵AB=2 3，BC=2，∠ABC=90°，
∴AC= AB2+BC2= 12+4=4，
∴BO=2=AO，
如图，当O′落在AB的垂直平分线上时，
∴BO′=AO′，
∵将OA绕点A顺时针旋转α，
∴OA=OA′=OB′=2，
当点O′′落在AD的垂直平分线上时，连接O′′D，设AD的垂直平分线于BC交于点H，
同理可得AO′′=DO′′=2，
∴AO=OD=AO′′=DO′′=2，
∴四边形AODO′′是菱形，
∴AO′′//OD，
又∵BO=AO′′=2，
∴四边形AO′′OB是平行四边形，
∴AB=OO′′=2 3，
∵BC=BO=CO=2，
∴△BOC是等边三角形，
∵BH=CH=1，
∴∠BOH=30°，
∴OH= 3BH= 3，
∴O′′H=3 3，
∴O′′B= BH2+O″H2= 1+27=2 7，
综上所述：BO′的长为2或2 7，
故答案为：2或2 7．
分两种情况讨论，由旋转的性质和勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
16.【答案】解：(1x−2x−1)÷x2+x1−2x+x2
=[x−1x(x−1)−2xx(x−1)]⋅(x−1)2x(x+1)
=x−1−2xx(x−1)⋅(x−1)2x(x+1)
=−x+1x(x−1)⋅(x−1)2x(x+1)
=−x−1x2．
解2x−7<3(x−1)①43x+3≤1−23x②，
①可化简为：2x−7<3x−3，−x<4，
∴x>−4；
②可化简为2x≤1−3，
∴x≤−1，
∴不等式的解集为−4
又∵x+1≠0，x−1≠0，
∴x≠±1，
∴x=−3或x=−2，
当x=−3时，原式=−−3−1(−3)2=49，
当x=−2时，原式=−−2−1(−2)2=34．
【解析】先化简分式，再解不等式组求得x的取值范围，在此范围内找到符合分式有意义的x的整数值，代入计算可得．
本题考查了分式的化简求值及一元一次不等式组的整数解，求分式的值时，一定要选择使每个分式都有意义的未知数的值．
17.【答案】80 12 28
【解析】解：(1)根据条形统计图可知成绩优秀的学生有32人，由扇形统计图知成绩优秀的学生占40%，
∴王老师抽取了32÷40%=80名学生的参赛成绩；
∴m=80×15%=12人，n=80×35%=28人；
故答案为：80；12；28．
(2)∵中等人数为12人，良好人数为28人，补全条形图如下；
(3)在样本中良好以上占40%+35%=75%，
∴该校有1600名学生，估计竞赛成绩在良好及以上(x≥80)的学生有1600×75%=1200人；
(4)画树状图如下，
由树状图可知，共有16种等可能的情况，其中两班都考同一试卷的情况有4种，
∴P(两个班同时选中同一套试卷的概率)=416=14．
(1)利用条形图优秀人数÷优秀人数所占百分比求出样本容量，进而求得m，n的值即可求解．
(2)求出中等人数与良好人数，补画条形图即可；
(3)先求出样本中良好以上的百分比，再用样本的百分比×该校总人数计算即可；
(4)画树状图，列举所有等可能情况，从中找出满足条件的情况4种，利用概率公式计算即可．
本题考查从条形图与扇形图获取信息与处理信息，样本容量，画条形图，用样本的百分比含量估计总体中的数量，画树状图求概率，掌握从条形图与扇形图获取信息与处理信息，样本容量，画条形图，用样本的百分比含量估计总体中的数量，画树状图求概率是解题关键．
18.【答案】解：(1)∵点C(0,4)在直线y=2x+b上，
∴b=4，
∴一次函数的表达式为y=2x+4；
∵点A(2,a)在直线y=2x+4上，
∴a=8，
∴点A(2,8)，
∵点A(2,8)在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k=2×8=16，
∴反比例函数的表达式为y=16x；
(2)在y=2x+4中，令y=0，得x=−2，
∴B(−2,0)，
∵C(0,4)，
∴△ABO的面积=S△AOC+S△BOC=12×4×2+12×2×4=4+4=8；
(3)由(2)知，直线AB的表达式为y=2x+4，反比例函数的表达式为y=16x，
设点M(m,16m)，N(n,2n+4)，
若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，
则①以OC和MN为对角线时，
∴m+n2=0，16m+2n+42=4+02，
∴m=2 2，n=−2 2或m=−2 2(此时，点M不在第一象限，舍去)，n=2 2，
∴N(−2 2,−4 2+4)，
②以CN和OM为对角线时，
∴0+n2=m+02，4+2n+42=16m+02，
∴m=n=−2+2 3或m=n=−2− 3(此时，点M不在第一象限，舍去)，
∴N(−2+ 3,−2 3)，
③以CM和ON为对角线时，
∴0+m2=n+02，16m+42=2n+42，
∴m=n=1+ 7或m=n=1− 7(此时，点M不在第一象限，舍去)，
∴N(1+ 7,2 7+6)，
即满足条件的点N的坐标为(−2 2,−4 2+4)或(−2+ 3,−2 3)或(1+ 7,2 7+6)．
【解析】(1)将点C代入直线y=x+b中求出b，进而得出直线AB的解析式，进而求出点A的坐标，再代入双曲线的表达式中，即可得出结论；
(2)根据三角形的面积公式即可得到结论；
(3)设成点M，N坐标，分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，中点坐标公式，利用中点坐标公式建立方程组求解是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)过D作DF⊥AE于F，如图：
由已知可得四边形ACDF是矩形，
∴DF=AC=200米，
∵点D在点E的北偏东45°，即∠DEF=45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE= 2DF=200 2≈283(米)；
(2)由(1)知△DEF是等腰直角三角形，DE=283米，
∴EF=DF=200米，
∵点B在点A的北偏东30°，即∠EAB=30°，
∴∠ABC=30°，
∵AC=200米，
∴AB=2AC=400米，BC= AB2−AC2=200 3米，
∵BD=100米，
∴经过点B到达点D路程为AB+BD=400+100=500米，
CD=BC+BD=(200 3+100)米，
∴AF=CD=(200 3+100)米，
∴AE=AF−EF=(200 3+100)−200=(200 3−100)米，
∴经过点E到达点D路程为AE+DE=200 3−100+200 2≈529米，
∵529>500，
∴经过点B到达点D较近．
【解析】(1)过D作DF⊥AE于F，由已知可得四边形ACDF是矩形，则DF=AC=200米，根据点D在点E的北偏东45°，即得DE= 2DF=200 2≈283(米)；
(2)由△DEF是等腰直角三角形，DE=283米，可得EF=DF=200米，而∠ABC=30°，即得AB=2AC=400米，BC= AB2−AC2=200 3米，又BD=100米，即可得经过点B到达点D路程为AB+BD=500米，CD=BC+BD=(200 3+100)米，从而可得经过点E到达点D路程为AE+DE=200 3−100+200 2≈529米，即可得答案．
本题考查解直角三角形−方向角问题，解题的关键是掌握含30°、45°角的直角三角形三边的关系．
20.【答案】(1)解：如图1，
(2)①证明：连接OD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴AD=BD，
∴OD⊥AB，
又∵EF是⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
∴EF//AB；
②解：过点C作CM⊥EF于M，CM交AB于N，
∵OD⊥EF，CM⊥EF，
∴OD//MN，
又∵AB//EF，
∴四边形ONMD是矩形，
∴OD=MN，
∵AB是⊙O的直径，AC=6，BC=8，
∴∠ACB=90°，
∴AB= AC2+BC2=10，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CN，
∴CN=AC⋅BCAB=6×810=245，
∴CM=CN+MN=245+5=495，
∵AB//EF，
∴△ACB∽△ECF，
∴ABEF=CNCM，
∴10EF=245495，
∴EF=24512．
【解析】(1)根据角平分线的画法求解即可；
(2)①连接OD，由圆周角定理证出OD⊥AB，由切线的性质得出OD⊥EF，则可得出结论；
②过点C作CM⊥EF于M，CM交AB于N，证出四边形ONMD是矩形，得出OD=MN，求出CN的长，证明△ACB∽△ECF，由相似三角形的性质得出ABEF=CNCM，则可得出答案．
此题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、圆周角定理、三角形的面积等知识，熟记掌握相似三角形的判定与性质、切线的性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设A种羽毛球拍每副的进价为x元，
根据题意，得2800x=2000x−20，
解得x=70，
70−20=50(元)，
答：A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元；
(2)设该商店购进A种羽毛球拍m副，
根据题意，得70m+50(100−m)≤5900，
解得m≤45，m为正整数，
答：该商店最多购进A种羽毛球拍45副；
(3)设总利润为w元，
w=25m+20(100−m)=5m+2000，
∵5>0，
∴w随着m的增大而增大，
当m=45时，w取得最大值，最大利润为5×45+2000=2225(元)，
此时购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍100−45=55(副)，
答：购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元．
【解析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应的关系式是解题的关键．
(1)设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同，列分式方程，求解即可；
(2)设该商店购进A种羽毛球拍m副，根据购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，列一元一次不等式，求解即可；
(3)设总利润为w元，表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定如何进货总利润最大，并进一步求出最大利润即可．
22.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−4)=a(x2−3x−4)，
则−4a=2，
解得：a=−12，
则抛物线的表达式为：y=−12x2+32x+2；
(2)由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x=32，
设直线BC的表达式为：y=kx+2，
将点B的坐标代入上式得：0=4k+2，
解得：k=−12，
则直线BC的表达式为：y=−12x+2；
∵点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，则BC与抛物线对称轴的交点即为点P，
当x=32时，y=−12x+2=54，
即点P(32,54)；
(3)由题意得，MN=3，
当y=−12x+2=3时，x=−2，
即当x=−2时，MN和直线BC有交点，但与抛物线没有交点，
则当x=−1时，线段MN与抛物线和直线BC都开始存在交点，
当点M和点B重合时，线段MN与抛物线和直线BC都存在交点，之后就不符合题意了，
故−1≤x≤4，
即M的横坐标xM的取值范围为：−1≤xM≤4．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，则BC与抛物线对称轴的交点即为点P，进而求解；
(3)则当x=−1时，线段MN与抛物线和直线BC都开始存在交点，当点M和点B重合时，线段MN与抛物线和直线BC都存在交点，之后就不符合题意了，即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
23.【答案】45°
【解析】(1)证明：延长CD到点E，使DE=CD，连接AE，BE，
则CD=12CE，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD=BD，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形ACBE是矩形，
∵CE=AB，
∴CD=12AB；
(2)解：①∵∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，∠CBD=30°，
∴∠ADB=45°，∠BDC=60°，
∵AP⊥BD于点P，
∴PB=PD=PA，
∴PC=PD=PA，
∴△PDC是等边三角形，
∴∠CPD=∠PCD=60°，
∴∠APC=150°，
∴∠ACP=15°，
∴∠ACD=∠PCD−∠ACD=45°，
∴∠DAC=180°−∠ACD−∠ADC=30°，
②如图2，过点D作DG⊥AC于点G，
设CG=DG=m，则AG= 3m，AD=2m，
∵AC=AG+CG，
∴m+ 3m= 3+1，
解得m=1，
∴AD=2m=2；
(3) 77或1；
过点Q作QH⊥BC于点H．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠BFP=180°−∠ABC=120°，
由作图可知，BE平分∠ABC，
∴∠FBP=12∠ABC=30°，
∵PF//AB，
∴∠ABP=∠BPF，
∴∠BPF=∠FBP，
∴PF=BF=2，
∴BP= 3BP= 3BF=2 3；
分两种情况：①如图3，当点Q在线段BP上时，过点Q作QH⊥BC于H，
∵PQ=12BP，
则Q为BP的中点，
∴GQ=PQ=12BP= 3，
在Rt△BHQ中，∠HBQ=30°，
∴BH=cos∠HBQ⋅BQ= 32× 3=32，HQ=12BQ= 32，
∴CH=BC−BH=92，
在Rt△CHQ中，CQ= HQ2+CH2= ( 32)2+(92)2= 21，
∴GQCQ= 3 2= 77，
②如图4，当点Q在BP延长线上时，过Q作QH⊥BC于H，
∵BP=2 3，PQ=12PB= 3，
∴BQ=3 3，
∵PG⊥AB，
∴∠PGB=90°，
∴PG=12PB= 3，
∴PG=PQ= 3，
∴∠QGP=∠GQP=30°，
∴GQ=3，
在Rt△BHQ中，∠HBQ=30°，
∴BH=cos∠HBQ⋅BQ= 32×3 3=92，HQ=12BQ=3 32，
∴CH=BC−BH=32，
在Rt△CHQ中，CQ= HQ2+CH2= (3 32)2+(32)2=3，
∴GQCQ=33=1，
综上GQCQ的值为 77或1．
(1)证延长CD到点E，使DE=CD，连接AE，BE，求得 CD=12CE⋅根据直角三角形的性质得到AD=BD，推出四边形ACBE是矩形，根据矩形的性质即可得到结论；
(2)①根据三角形的内角和定理得到∠ADB=45°，∠BDC=60°，根据等边三角形的判定定理得到△PDC是等边三角形，求得∠CPD=∠PCD=60°，根据等腰三角形的性质得到∠ACP=15°，根据三角形内角和定理即可得到结论；
②如图2，过点D作DG⊥AC于点G，设CG=DG=m，则AG= 3m，AD=2m，根据AC=AG+CG，列方程得到m+ 3m= 3+1，解方程即可得到结论；
(3)过点Q作QH⊥BC于点H.根据平行四边形的性质得到AB//CD，求得∠BFP=180°−∠ABC=120°，根据角平分线的定义得到∠FBP=12∠ABC=30°，根据等腰三角形的性质得到PF=BF=2，于是得到BP= 3BF=2 3⋅分两种情况：①如图3，当点Q在线段BP上时，过点Q作QH⊥BC于H，求得GQ=PQ=12BP= 3⋅②如图4，当点Q在BP延长线上时，过Q作QH⊥BC于H，解直角三角形即可得到结论．
本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，基本作图，正确地作出辅助线是解题的关键．
2023年河南省南阳市唐河县中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数是无理数的是( )
A. 0 B. 327 C. π D. −13
2. 下列计算正确的是( )
A. 3m2+2m=5m3 B. (m2n)3=m5n3
C. (m+n)(m−n)=m2+n2 D. 5 3+2 3=7 3
3. 某正方体木块切割掉四分之一后的剩余部分如图所示，其左视图为( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，下列条件中，不能判定AB//CD的是( )
A. ∠D+∠BAD=180° B. ∠1=∠2
C. ∠3=∠4 D. ∠B=∠DCE
5. 下列说法中，正确的是( )
A. 雨后见彩虹是随机事件
B. 为了检查飞机飞行前的各项设备，应选择抽样调查
C. 将一枚硬币抛掷20次，一定有10次正面朝上
D. 气象局调查了甲、乙两个城市近5年的降水量，它们的平均降水量都是800毫米，方差分别是s甲2=3.4，s乙2=4.3，则这两个城市年降水量最稳定的是乙城市
6. 人们常用“一刹那”这个词来形容时间极为短暂，按古印度《僧只律》(又有资料为《倡只律》)解释：一刹那即为一念，二十念为一瞬；二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预；二十罗预为一须叟，一日一昼为三十须叟.照此计算，一须叟为48分钟，一罗预为144秒，一弹指为7.2秒，一瞬为0.36秒，一刹那为0.018秒.则一天24小时有( )
A. 8×104刹那 B. 4.8×106刹那 C. 4.8×105刹那 D. 4.8×107刹那
7. 一元二次方程ax2+x−2=0有两个不相等实数根，则a的取值范围是( )
A. a<−18 B. a=−18 C. a >−18 D. a >−18且a≠0
8. 如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法：
①四边形EFGH一定是平行四边形；
②若AC=BD，则四边形EFGH是菱形；
③若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形．
其中正确的是( )
A. ① B. ①② C. ①③ D. ①②③
9. 如图，已知▱AOBC的顶点O(0,0)，A(−1,2)，点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为( )
A. ( 5−1,2) B. ( 5,2) C. (3− 5,2) D. ( 5−2,2)
10. 已知两个等腰直角三角形的斜边放置在同一直线l上，且点C′与点B重合，如图①所示．△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．直到点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图②所示，则△ABC的直角边长是( )
A. 4 2 B. 4 C. 3 2 D. 3
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 计算：(12)−1−tan45°+| 2−1|= ______ ．
12. 我市某电视台招募主持人，甲侯选人的综合专业索质、普通话、才艺展示成绩如表所示．
测试项目
综合专业索质
普通话
才艺展示
测试成绩
90
86
92
根据实际需求，该电视台规定综合专业素质、普通话和才艺展示三项测试得分按5：3：2的比例确定最终成绩，则甲候选人的最终成绩为 分.
13. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，▱ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F.若y=kx(k≠0)图象经过点C，且S△BEF=1，则k的值为______．
14. 如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，以B为圆心，BE为半径作弧，交BC于F，连接DE、DF.若AB=4，∠A=60°，则阴影部分的面积为______．
15. 如图，矩形ABCD中，AB=2 3，BC=2，点O为矩形对角线AC，BD的交点，将OA绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°)，点O的对应点为O′，连接BO′，当点O′落在矩形ABCD的对称轴上时，BO′的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题9.0分)
化简求值：(1x−2x−1)÷x2+x1−2x+x2，其中x是不等式组2x−7<3(x−1)①43x+3≤1−23x②的整数解．
17. (本小题9.0分)
某县教育局印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料，某中学经过一段时间的学习，同学们都表示有了提高，为了解具体情况，综治办开展了一次全校性竞赛活动，王老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图、表．
参赛成绩
60≤x<70
70≤x<80
80≤x<90
90≤x≤100
人数
8
m
n
32
级别
及格
中等
良好
优秀
请根据所给的信息解答下列问题：
(1)王老师抽取了______ 名学生的参赛成绩；m= ______ ，n= ______ ．
(2)将条形统计图补充完整；
(3)若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好以上(x≥80)的学生有多少人？
(4)在本次竞赛中，综治办发现七(1)班、八(4)班的成绩不理想，学校要求这两个班加强学习一段时间后，再由电脑随机从A、B、C、D四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，请用列表或画树状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率．
18. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+b的图象经过点C(0,4)，与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A(2,a)．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)一次函数y=2x+b的图象与x轴交于B点，求△ABO的面积；
(3)设M是反比例函数y=kx(x>0)图象上一点，N是直线AB上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．
19. (本小题9.0分)
如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD=100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．
(1)求步道DE的长度(精确到个位)；
(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D.请计算说明他走哪一条路较近？
(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
20. (本小题9.0分)
如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点(不与点A，B重合)，连接AC，BC．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出∠ACB的平分线，交⊙O于点D.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)如图2，在(1)的条件下，过点D作⊙O的切线，分别交CA、CB的延长线于点E、F，连接DA、DB．
①求证：AB//EF；
②若AC=6，BC=8，请求出EF的长.(提示：过点C作EF的垂线)
21. (本小题9.0分)
随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同．
(1)求A、B两种羽毛球拍每副的进价；
(2)若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？
(3)若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第(2)问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？
22. (本小题10.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx+2交y轴于点C，交x轴于A(−1,0)，B(4,0)两点，作直线BC．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使PC+PA的值最小，求点P的坐标；
(3)M是x轴上的动点，将点M向上平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线和直线BC都存在交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
23. (本小题10.0分)
例：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
CD是斜边AB上的中线.求证：CD=12AB．
证明：延长CD至点E，使DE=CD，连接AE，BE．
…
(1)请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
(2)初步探究
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，∠CBD=30°，AP⊥BD于点P，连接CP，AC= 3+1
．
①∠ACD的度数为______ ．
②求AD长．
(3)拓展运用
如图3，在平行四边形ABCD中，F是BC边上一点，∠ABC=60°，BC=6，BF=2.按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE.过点F作FP//AB交BE于点P，过点P作PG⊥AB于点G，Q为射线BE上一动点，连接GQ，CQ，若PQ=12BP，直接写出GQCQ的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B.327=3，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C.π是无理数，故本选项符合题意；
D.−13是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：C．
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， 6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
2.【答案】D
【解析】解：A、3m2和2m不是同类项，不能合并，原式计算错误，故选项不符合题意；
B、(m2n)3=m6n3，原式计算错误，故选项不符合题意；
C、(m+n)(m−n)=m2−n2，原式计算错误，故选项不符合题意；
D、5 3+2 3=7 3，原式计算正确，故选项符合题意．
故选：D．
根据合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方的法则、平方差公式和二次根式加减法的法则计算即可．
本题考查了合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方的法则、平方差公式和二次根式加减法的法则，解题的关键是熟记相关的运算法则和公式．
3.【答案】A
【解析】解：从几何体的左面看，是一列两个矩形．
故选：A．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
根据平行线的判定方法，逐项进行分析判断，即可得解．
【解答】
解：A、根据同旁内角互补，两直线平行，由∠D+∠BAD=180°，能判定AB//CD，故此项不符合题意；
B、根据内错角相等，两直线平行，由∠1=∠2，能判定AB//CD，故此项不符合题意；
C、根据内错角相等，两直线平行，由∠3=∠4得BC//AD，不能判定AB//CD，故此项符合题意；
D、根据同位角相等，两直线平行，由∠B=∠DCE，能判定AB//CD，故此项不符合题意，
故选C．
5.【答案】A
【解析】解：A、雨后见彩虹是随机事件，故本选项正确，符合题意；
B、为了检查飞机飞行前的各项设备，应选择全面调查，故本选项错误，不符合题意；
C、将一枚硬币抛掷20次，不一定有10次正面朝上，故本选项错误，不符合题意；
D、气象局调查了甲、乙两个城市近5年的降水量，它们的平均降水量都是800毫米，方差分别是s甲2=3.4，s乙2=4.3，则这两个城市年降水量最稳定的是甲城市，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
利用随机事件、调查的方式、概率公式及方差的知识分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了随机事件、调查的方式、概率公式及方差的知识，属于基础知识，比较简单，熟练掌握定义是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：3600×24÷0.018=4800000=4.8×106．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7.【答案】D
【解析】解：∵一元二次方程ax2+x−2=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2−4ac=12−4×a×(−2)=1+8a>0，
解得：a>−18，
∵方程ax2+x−2=0是一元二次方程，
∴a≠0，
∴a的范围是：a>−18且a≠0．
故选D．
由一元二次方程ax2+x−2=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△>0，继而可求得a的范围．
此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得△>0.同时考查了一元二次方程的定义．
8.【答案】D
【解析】解：∵点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH//BD，GF//BD，EF//AC，EH=12BD，EF=12AC，
∴四边形EHGF是平行四边形，故①符合题意；
若AC=BD，则EF=EH，
∴平行四边形EHGF是菱形，故②符合题意；
若AC⊥BD，则EF⊥EH，
∴平行四边形EHGF是矩形，故③符合题意；
故选：D．
根据三角形中位线定理得到EH//BD，GF//BD，EF//AC，EH=12BD，EF=12AC，根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理判断即可．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵▱AOBC的顶点O(0,0)，A(−1,2)，
∴AH=1，HO=2，
∴Rt△AOH中，AO= 5，
由题可得，OF平分∠AOB，
∴∠AOG=∠EOG，
又∵AG//OE，
∴∠AGO=∠EOG，
∴∠AGO=∠AOG，
∴AG=AO= 5，
∴HG= 5−1，
∴G( 5−1,2)，
故选：A．
依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO= 5，依据∠AGO=∠AOG，即可得到AG=AO= 5，进而得出HG= 5−1，可得G( 5−1,2)．
本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
10.【答案】C
【解析】解：函数图象可知，当x=m时，点B′到达点B，如图①，
当x=m+4时，点C′到达点C，如图②，
∴B′C′=m，BC=m+4，
∴A′B′=A′C′= 22B′C′= 22m，AB= 22BC，
由函数图象可知当m
∴m=2或m=−2(舍)，
∴BC=2+4=6，
∴AB= 22×6=3 2，
∴△ABC的直角边长是3 2，
故选：C．
结合函数图象可知，当x=m时，点B′到达点B，当x=m+4时，点C′到达点C，从而得到B′C′=m，BC=m+4，然后由函数图象可知当m
11.【答案】 2
【解析】解：(12)−1−tan45°+| 2−1|
=2−1+ 2−1
= 2，
故答案为： 2．
根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值是解题的关键．
12.【答案】89.2
【解析】解：90×55+3+2+86×35+3+2+92×25+3+2
=45+25.8+18.4
=89.2(分)．
答：甲候选人的最终成绩为89.2分．
故答案为：89.2．
根据加权平均数公式计算甲的最终成绩即可得出答案．
本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的定义是解题的关键．
13.【答案】24
【解析】解：连接OC，BD，
∵将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，
∴OA=OE，
∵点B恰好为OE的中点，
∴OE=2OB，
∴OA=2OB，
设OB=BE=x，则OA=2x，
∴AB=3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=3x，
∵CD//AB，
∴△CDF∽△BEF，
∴BECD=EFDF=x3x=13，
∵S△BEF=1，
∴S△BDF=3，S△CDF=9，
∴S△BCD=12，
∴S△CDO=S△BDC=12，
∴k的值=2S△CDO=24．
连接OC，BD，根据折叠的性质得到OA=OE，得到OE=2OB，求得OA=2OB，设OB=BE=x，则OA=2x，根据平行四边形的性质得到CD=AB=3x，根据相似三角形的性质得到BECD=EFDF=x3x=13，求得S△BDF=3，S△CDF=9，于是得到结论．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
14.【答案】4 3−43π
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=4，
∵∠A=60°，E为AB的中点，
∴AE=BE=2=BF，△ABD是等边三角形，
∵DE⊥AB，
∵∠A=60°，
∴∠ABC=180°−∠A=120°，
由勾股定理得：DE= AD2−AE2= 42−22=2 3，
∴S△AED=S△AEB=12×4×2 3×12=2 3=S△AFB，
∴阴影部分的面积S=S△AEB+S△AFB−S扇形BEF=4 3−120π×22360=4 3−43π，
故答案为：4 3−43π.
根据菱形的性质求出∠ABCD和BC=AB=4，求出DE长，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可．
本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出△AEC、△AFC和扇形ECF的面积是解此题的关键．
15.【答案】2或2 7
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO，
∵AB=2 3，BC=2，∠ABC=90°，
∴AC= AB2+BC2= 12+4=4，
∴BO=2=AO，
如图，当O′落在AB的垂直平分线上时，
∴BO′=AO′，
∵将OA绕点A顺时针旋转α，
∴OA=OA′=OB′=2，
当点O′′落在AD的垂直平分线上时，连接O′′D，设AD的垂直平分线于BC交于点H，
同理可得AO′′=DO′′=2，
∴AO=OD=AO′′=DO′′=2，
∴四边形AODO′′是菱形，
∴AO′′//OD，
又∵BO=AO′′=2，
∴四边形AO′′OB是平行四边形，
∴AB=OO′′=2 3，
∵BC=BO=CO=2，
∴△BOC是等边三角形，
∵BH=CH=1，
∴∠BOH=30°，
∴OH= 3BH= 3，
∴O′′H=3 3，
∴O′′B= BH2+O″H2= 1+27=2 7，
综上所述：BO′的长为2或2 7，
故答案为：2或2 7．
分两种情况讨论，由旋转的性质和勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
16.【答案】解：(1x−2x−1)÷x2+x1−2x+x2
=[x−1x(x−1)−2xx(x−1)]⋅(x−1)2x(x+1)
=x−1−2xx(x−1)⋅(x−1)2x(x+1)
=−x+1x(x−1)⋅(x−1)2x(x+1)
=−x−1x2．
解2x−7<3(x−1)①43x+3≤1−23x②，
①可化简为：2x−7<3x−3，−x<4，
∴x>−4；
②可化简为2x≤1−3，
∴x≤−1，
∴不等式的解集为−4
又∵x+1≠0，x−1≠0，
∴x≠±1，
∴x=−3或x=−2，
当x=−3时，原式=−−3−1(−3)2=49，
当x=−2时，原式=−−2−1(−2)2=34．
【解析】先化简分式，再解不等式组求得x的取值范围，在此范围内找到符合分式有意义的x的整数值，代入计算可得．
本题考查了分式的化简求值及一元一次不等式组的整数解，求分式的值时，一定要选择使每个分式都有意义的未知数的值．
17.【答案】80 12 28
【解析】解：(1)根据条形统计图可知成绩优秀的学生有32人，由扇形统计图知成绩优秀的学生占40%，
∴王老师抽取了32÷40%=80名学生的参赛成绩；
∴m=80×15%=12人，n=80×35%=28人；
故答案为：80；12；28．
(2)∵中等人数为12人，良好人数为28人，补全条形图如下；
(3)在样本中良好以上占40%+35%=75%，
∴该校有1600名学生，估计竞赛成绩在良好及以上(x≥80)的学生有1600×75%=1200人；
(4)画树状图如下，
由树状图可知，共有16种等可能的情况，其中两班都考同一试卷的情况有4种，
∴P(两个班同时选中同一套试卷的概率)=416=14．
(1)利用条形图优秀人数÷优秀人数所占百分比求出样本容量，进而求得m，n的值即可求解．
(2)求出中等人数与良好人数，补画条形图即可；
(3)先求出样本中良好以上的百分比，再用样本的百分比×该校总人数计算即可；
(4)画树状图，列举所有等可能情况，从中找出满足条件的情况4种，利用概率公式计算即可．
本题考查从条形图与扇形图获取信息与处理信息，样本容量，画条形图，用样本的百分比含量估计总体中的数量，画树状图求概率，掌握从条形图与扇形图获取信息与处理信息，样本容量，画条形图，用样本的百分比含量估计总体中的数量，画树状图求概率是解题关键．
18.【答案】解：(1)∵点C(0,4)在直线y=2x+b上，
∴b=4，
∴一次函数的表达式为y=2x+4；
∵点A(2,a)在直线y=2x+4上，
∴a=8，
∴点A(2,8)，
∵点A(2,8)在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k=2×8=16，
∴反比例函数的表达式为y=16x；
(2)在y=2x+4中，令y=0，得x=−2，
∴B(−2,0)，
∵C(0,4)，
∴△ABO的面积=S△AOC+S△BOC=12×4×2+12×2×4=4+4=8；
(3)由(2)知，直线AB的表达式为y=2x+4，反比例函数的表达式为y=16x，
设点M(m,16m)，N(n,2n+4)，
若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，
则①以OC和MN为对角线时，
∴m+n2=0，16m+2n+42=4+02，
∴m=2 2，n=−2 2或m=−2 2(此时，点M不在第一象限，舍去)，n=2 2，
∴N(−2 2,−4 2+4)，
②以CN和OM为对角线时，
∴0+n2=m+02，4+2n+42=16m+02，
∴m=n=−2+2 3或m=n=−2− 3(此时，点M不在第一象限，舍去)，
∴N(−2+ 3,−2 3)，
③以CM和ON为对角线时，
∴0+m2=n+02，16m+42=2n+42，
∴m=n=1+ 7或m=n=1− 7(此时，点M不在第一象限，舍去)，
∴N(1+ 7,2 7+6)，
即满足条件的点N的坐标为(−2 2,−4 2+4)或(−2+ 3,−2 3)或(1+ 7,2 7+6)．
【解析】(1)将点C代入直线y=x+b中求出b，进而得出直线AB的解析式，进而求出点A的坐标，再代入双曲线的表达式中，即可得出结论；
(2)根据三角形的面积公式即可得到结论；
(3)设成点M，N坐标，分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，中点坐标公式，利用中点坐标公式建立方程组求解是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)过D作DF⊥AE于F，如图：
由已知可得四边形ACDF是矩形，
∴DF=AC=200米，
∵点D在点E的北偏东45°，即∠DEF=45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE= 2DF=200 2≈283(米)；
(2)由(1)知△DEF是等腰直角三角形，DE=283米，
∴EF=DF=200米，
∵点B在点A的北偏东30°，即∠EAB=30°，
∴∠ABC=30°，
∵AC=200米，
∴AB=2AC=400米，BC= AB2−AC2=200 3米，
∵BD=100米，
∴经过点B到达点D路程为AB+BD=400+100=500米，
CD=BC+BD=(200 3+100)米，
∴AF=CD=(200 3+100)米，
∴AE=AF−EF=(200 3+100)−200=(200 3−100)米，
∴经过点E到达点D路程为AE+DE=200 3−100+200 2≈529米，
∵529>500，
∴经过点B到达点D较近．
【解析】(1)过D作DF⊥AE于F，由已知可得四边形ACDF是矩形，则DF=AC=200米，根据点D在点E的北偏东45°，即得DE= 2DF=200 2≈283(米)；
(2)由△DEF是等腰直角三角形，DE=283米，可得EF=DF=200米，而∠ABC=30°，即得AB=2AC=400米，BC= AB2−AC2=200 3米，又BD=100米，即可得经过点B到达点D路程为AB+BD=500米，CD=BC+BD=(200 3+100)米，从而可得经过点E到达点D路程为AE+DE=200 3−100+200 2≈529米，即可得答案．
本题考查解直角三角形−方向角问题，解题的关键是掌握含30°、45°角的直角三角形三边的关系．
20.【答案】(1)解：如图1，
(2)①证明：连接OD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴AD=BD，
∴OD⊥AB，
又∵EF是⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
∴EF//AB；
②解：过点C作CM⊥EF于M，CM交AB于N，
∵OD⊥EF，CM⊥EF，
∴OD//MN，
又∵AB//EF，
∴四边形ONMD是矩形，
∴OD=MN，
∵AB是⊙O的直径，AC=6，BC=8，
∴∠ACB=90°，
∴AB= AC2+BC2=10，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CN，
∴CN=AC⋅BCAB=6×810=245，
∴CM=CN+MN=245+5=495，
∵AB//EF，
∴△ACB∽△ECF，
∴ABEF=CNCM，
∴10EF=245495，
∴EF=24512．
【解析】(1)根据角平分线的画法求解即可；
(2)①连接OD，由圆周角定理证出OD⊥AB，由切线的性质得出OD⊥EF，则可得出结论；
②过点C作CM⊥EF于M，CM交AB于N，证出四边形ONMD是矩形，得出OD=MN，求出CN的长，证明△ACB∽△ECF，由相似三角形的性质得出ABEF=CNCM，则可得出答案．
此题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、圆周角定理、三角形的面积等知识，熟记掌握相似三角形的判定与性质、切线的性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设A种羽毛球拍每副的进价为x元，
根据题意，得2800x=2000x−20，
解得x=70，
70−20=50(元)，
答：A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元；
(2)设该商店购进A种羽毛球拍m副，
根据题意，得70m+50(100−m)≤5900，
解得m≤45，m为正整数，
答：该商店最多购进A种羽毛球拍45副；
(3)设总利润为w元，
w=25m+20(100−m)=5m+2000，
∵5>0，
∴w随着m的增大而增大，
当m=45时，w取得最大值，最大利润为5×45+2000=2225(元)，
此时购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍100−45=55(副)，
答：购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元．
【解析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应的关系式是解题的关键．
(1)设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同，列分式方程，求解即可；
(2)设该商店购进A种羽毛球拍m副，根据购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，列一元一次不等式，求解即可；
(3)设总利润为w元，表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定如何进货总利润最大，并进一步求出最大利润即可．
22.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−4)=a(x2−3x−4)，
则−4a=2，
解得：a=−12，
则抛物线的表达式为：y=−12x2+32x+2；
(2)由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x=32，
设直线BC的表达式为：y=kx+2，
将点B的坐标代入上式得：0=4k+2，
解得：k=−12，
则直线BC的表达式为：y=−12x+2；
∵点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，则BC与抛物线对称轴的交点即为点P，
当x=32时，y=−12x+2=54，
即点P(32,54)；
(3)由题意得，MN=3，
当y=−12x+2=3时，x=−2，
即当x=−2时，MN和直线BC有交点，但与抛物线没有交点，
则当x=−1时，线段MN与抛物线和直线BC都开始存在交点，
当点M和点B重合时，线段MN与抛物线和直线BC都存在交点，之后就不符合题意了，
故−1≤x≤4，
即M的横坐标xM的取值范围为：−1≤xM≤4．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，则BC与抛物线对称轴的交点即为点P，进而求解；
(3)则当x=−1时，线段MN与抛物线和直线BC都开始存在交点，当点M和点B重合时，线段MN与抛物线和直线BC都存在交点，之后就不符合题意了，即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
23.【答案】45°
【解析】(1)证明：延长CD到点E，使DE=CD，连接AE，BE，
则CD=12CE，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD=BD，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形ACBE是矩形，
∵CE=AB，
∴CD=12AB；
(2)解：①∵∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，∠CBD=30°，
∴∠ADB=45°，∠BDC=60°，
∵AP⊥BD于点P，
∴PB=PD=PA，
∴PC=PD=PA，
∴△PDC是等边三角形，
∴∠CPD=∠PCD=60°，
∴∠APC=150°，
∴∠ACP=15°，
∴∠ACD=∠PCD−∠ACD=45°，
∴∠DAC=180°−∠ACD−∠ADC=30°，
②如图2，过点D作DG⊥AC于点G，
设CG=DG=m，则AG= 3m，AD=2m，
∵AC=AG+CG，
∴m+ 3m= 3+1，
解得m=1，
∴AD=2m=2；
(3) 77或1；
过点Q作QH⊥BC于点H．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠BFP=180°−∠ABC=120°，
由作图可知，BE平分∠ABC，
∴∠FBP=12∠ABC=30°，
∵PF//AB，
∴∠ABP=∠BPF，
∴∠BPF=∠FBP，
∴PF=BF=2，
∴BP= 3BP= 3BF=2 3；
分两种情况：①如图3，当点Q在线段BP上时，过点Q作QH⊥BC于H，
∵PQ=12BP，
则Q为BP的中点，
∴GQ=PQ=12BP= 3，
在Rt△BHQ中，∠HBQ=30°，
∴BH=cos∠HBQ⋅BQ= 32× 3=32，HQ=12BQ= 32，
∴CH=BC−BH=92，
在Rt△CHQ中，CQ= HQ2+CH2= ( 32)2+(92)2= 21，
∴GQCQ= 3 2= 77，
②如图4，当点Q在BP延长线上时，过Q作QH⊥BC于H，
∵BP=2 3，PQ=12PB= 3，
∴BQ=3 3，
∵PG⊥AB，
∴∠PGB=90°，
∴PG=12PB= 3，
∴PG=PQ= 3，
∴∠QGP=∠GQP=30°，
∴GQ=3，
在Rt△BHQ中，∠HBQ=30°，
∴BH=cos∠HBQ⋅BQ= 32×3 3=92，HQ=12BQ=3 32，
∴CH=BC−BH=32，
在Rt△CHQ中，CQ= HQ2+CH2= (3 32)2+(32)2=3，
∴GQCQ=33=1，
综上GQCQ的值为 77或1．
(1)证延长CD到点E，使DE=CD，连接AE，BE，求得 CD=12CE⋅根据直角三角形的性质得到AD=BD，推出四边形ACBE是矩形，根据矩形的性质即可得到结论；
(2)①根据三角形的内角和定理得到∠ADB=45°，∠BDC=60°，根据等边三角形的判定定理得到△PDC是等边三角形，求得∠CPD=∠PCD=60°，根据等腰三角形的性质得到∠ACP=15°，根据三角形内角和定理即可得到结论；
②如图2，过点D作DG⊥AC于点G，设CG=DG=m，则AG= 3m，AD=2m，根据AC=AG+CG，列方程得到m+ 3m= 3+1，解方程即可得到结论；
(3)过点Q作QH⊥BC于点H.根据平行四边形的性质得到AB//CD，求得∠BFP=180°−∠ABC=120°，根据角平分线的定义得到∠FBP=12∠ABC=30°，根据等腰三角形的性质得到PF=BF=2，于是得到BP= 3BF=2 3⋅分两种情况：①如图3，当点Q在线段BP上时，过点Q作QH⊥BC于H，求得GQ=PQ=12BP= 3⋅②如图4，当点Q在BP延长线上时，过Q作QH⊥BC于H，解直角三角形即可得到结论．
本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，基本作图，正确地作出辅助线是解题的关键．
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