2022年河南省南阳市唐河县重点名校中考数学最后一模试卷含解析

这是一份2022年河南省南阳市唐河县重点名校中考数学最后一模试卷含解析，共20页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，如果，那么代数式的值为等内容，欢迎下载使用。

2021-2022中考数学模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．若函数的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣2 B．m＜﹣2
C．m＞2 D．m＜2
2．方程x2﹣3x+2＝0的解是（　　）
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2
C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝﹣1，x2＝2
3．如图，已知正五边形内接于，连结，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
4．在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（ ）

A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3
5．为了尽早适应中考体育项目，小丽同学加强跳绳训练，并把某周的练习情况做了如下记录：周一个，周二个，周三个，周四个，周五个则小丽这周跳绳个数的中位数和众数分别是
A．180个，160个 B．170个，160个
C．170个，180个 D．160个，200个
6．郑州某中学在备考2018河南中考体育的过程中抽取该校九年级20名男生进行立定跳远测试，以便知道下一阶段的体育训练，成绩如下所示：
成绩（单位：米）
2.10
2.20
2.25
2.30
2.35
2.40
2.45
2.50
人数
2
3
2
4
5
2
1
1
则下列叙述正确的是（　　）
A．这些运动员成绩的众数是 5
B．这些运动员成绩的中位数是 2.30
C．这些运动员的平均成绩是 2.25
D．这些运动员成绩的方差是 0.0725
7．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（ ）．
A． B． C． D．
8．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，其顶点坐标为A（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为B（﹣3，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②不等式ax2+（b﹣m）x+c﹣n＜0的解集为﹣3＜x＜﹣1；③抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）；④方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根；其中正确的是（　　）

A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
9．如果，那么代数式的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120米，这栋楼的高度BC为（ ）

A．160米 B．（60+160） C．160米 D．360米
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．我们知道方程组的解是，现给出另一个方程组，它的解是____．
12．如图，为了测量河宽AB(假设河的两岸平行)，测得∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，CD＝60m，则河宽AB为 m(结果保留根号)．

13．如图，⊙O的半径为2，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，过点P作⊙O的切线，切点为C．若PC=2，则BC的长为______．

14．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则 =______．

15．如图，A、B是反比例函数y＝（k>0）图象上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC＝1．则k＝_______．

16．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）小雁塔位于唐长安城安仁坊（今陕西省西安市南郊）荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志．小明在学习了锐角三角函数后，想利用所学知识测量“小雁塔”的高度，小明在一栋高9.982米的建筑物底部D处测得塔顶端A的仰角为45°，接着在建筑物顶端C处测得塔顶端A的仰角为37.5°．已知AB⊥BD，CD⊥BD，请你根据题中提供的相关信息，求出“小雁塔”的高AB的长度（结果精确到1米）（参考数据：sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77）

18．（8分）一件上衣，每件原价500元，第一次降价后，销售甚慢，于是再次进行大幅降价，第二次降价的百分率是第一次降价的百分率的2倍，结果这批上衣以每件240元的价格迅速售出，求两次降价的百分率各是多少．
19．（8分）先化简，再求值：
÷（a﹣），其中a=3tan30°+1，b=cos45°．
20．（8分）某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个.商场想了两个方案来增加利润：
方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；
方案二：售价不变，但发资料做广告．已知当这种商品每月的广告费用为m(千元)时，每月销售量将是原销售量的p倍，且p =．
试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由！
21．（8分）如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（2，3），B（6，n）两点．分别求出一次函数与反比例函数的解析式；求△OAB的面积．

22．（10分）如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝的图象都经过点A（2，﹣2）．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．

23．（12分）如图所示，某校九年级(3)班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动．部分同学在山脚A点处测得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180米．另一部分同学在山顶B点处测得山脚A点的俯角为45°，山腰D点的俯角为60°，请你帮助他们计算出小山的高度BC．(计算过程和结果都不取近似值)

24．如图，AB为圆O的直径，点C为圆O上一点，若∠BAC=∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．
（1）试判断CD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，圆O的半径为3，并且∠CAB=30°，求AD的长．




参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、B
【解析】
根据反比例函数的性质，可得m+1＜0，从而得出m的取值范围．
【详解】
∵函数的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，
∴m+1＜0，
解得m＜-1．
故选B．
2、A
【解析】
将方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【详解】
解：原方程可化为：（x﹣1）（x﹣1）＝0,
∴x1＝1，x1＝1．
故选：A．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边的多项式分解因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
3、C
【解析】
根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC、CD=CB，根据等腰三角形的性质求出∠CBD，计算即可．
【详解】
∵五边形为正五边形
∴
∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n-2）×180°是解题的关键．
4、C
【解析】
【分析】根据角平分线的作图方法可判断图1，根据图2的作图痕迹可知D为BC中点，不是角平分线，图3中根据作图痕迹可通过判断三角形全等推导得出AD是角平分线.
【详解】图1中，根据作图痕迹可知AD是角平分线；
图2中，根据作图痕迹可知作的是BC的垂直平分线，则D为BC边的中点，因此AD不是角平分线；
图3：由作图方法可知AM=AE，AN=AF，∠BAC为公共角，∴△AMN≌△AEF，
∴∠3=∠4，
∵AM=AE，AN=AF，∴MF=EN，又∵∠MDF=∠EDN，∴△FDM≌△NDE，
∴DM=DE，
又∵AD是公共边，∴△ADM≌△ADE，
∴∠1=∠2，即AD平分∠BAC，
故选C.

【点睛】本题考查了尺规作图，三角形全等的判定与性质等，熟知角平分的尺规作图方法、全等三角形的判定与性质是解题的关键.
5、B
【解析】
根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【详解】
解：把这些数从小到大排列为160，160，170，180，200，最中间的数是170，则中位数是170；
160出现了2次，出现的次数最多，则众数是160；
故选B．
【点睛】
此题考查了中位数和众数，掌握中位数和众数的定义是解题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
6、B
【解析】
根据方差、平均数、中位数和众数的计算公式和定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】
由表格中数据可得：
A、这些运动员成绩的众数是2.35，错误；
B、这些运动员成绩的中位数是2.30，正确；
C、这些运动员的平均成绩是 2.30，错误；
D、这些运动员成绩的方差不是0.0725，错误；
故选B．
【点睛】
考查了方差、平均数、中位数和众数，熟练掌握定义和计算公式是本题的关键，平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
7、B
【解析】
朝上的数字为偶数的有3种可能，再根据概率公式即可计算.
【详解】
依题意得P（朝上一面的数字是偶数）=
故选B.
【点睛】
此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率公式进行求解.
8、D
【解析】
①错误．由题意a＞1．b＞1，c＜1，abc＜1；
②正确．因为y1=ax2+bx+c（a≠1）图象与直线y2=mx+n（m≠1）交于A，B两点，当ax2+bx+c＜mx+n时，-3＜x＜-1；即不等式ax2+（b-m）x+c-n＜1的解集为-3＜x＜-1；故②正确；
③错误．抛物线与x轴的另一个交点是（1，1）；
④正确．抛物线y1=ax2+bx+c（a≠1）图象与直线y=-3只有一个交点，方程ax2+bx+c+3=1有两个相等的实数根，故④正确．
【详解】
解：∵抛物线开口向上，∴a＞1，
∵抛物线交y轴于负半轴，∴c＜1，
∵对称轴在y轴左边，∴- ＜1，
∴b＞1，
∴abc＜1，故①错误．
∵y1=ax2+bx+c（a≠1）图象与直线y2=mx+n（m≠1）交于A，B两点，
当ax2+bx+c＜mx+n时，-3＜x＜-1；
即不等式ax2+（b-m）x+c-n＜1的解集为-3＜x＜-1；故②正确，
抛物线与x轴的另一个交点是（1，1），故③错误，
∵抛物线y1=ax2+bx+c（a≠1）图象与直线y=-3只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c+3=1有两个相等的实数根，故④正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数与不等式，二次函数与一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题．
9、A
【解析】
先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，最后约分即可化简原式，继而将3x=4y代入即可得．
【详解】
解：∵原式=
=
=
∵3x-4y=0，
∴3x=4y
原式==1
故选：A．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
10、C
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D.根据三角函数关系求出BD、CD的长，进而可求出BC的长.
【详解】
如图所示，过点A作AD⊥BC于点D.

在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，AD＝120m，BD＝AD∙tan30°＝120×＝m；
在Rt△ADC中，∠DAC＝60°，CD＝AD∙tan60°＝120×＝m.
∴BC＝BD＋DC＝m.
故选C.
【点睛】
本题主要考查三角函数，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的有关知识，并牢记特殊角的三角函数值.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、
【解析】
观察两个方程组的形式与联系，可得第二个方程组中，解之即可.
【详解】
解：由题意得，
解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解，用整体代入法解决这种问题比较方便.
12、
【解析】
解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AD=CD=60m，
在Rt△ABD中，
AB=AD•sin∠ADB=60×=(m).
故答案是：.
13、2
【解析】
连接OC，根据勾股定理计算OP=4，由直角三角形30度的逆定理可得∠OPC=30°，则∠COP=60°，可得△OCB是等边三角形，从而得结论．
【详解】
连接OC，

∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP=90°，
∵PC=2，OC=2，
∴OP===4，
∴∠OPC=30°，
∴∠COP=60°，
∵OC=OB=2，
∴△OCB是等边三角形，
∴BC=OB=2，
故答案为2
【点睛】
本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14、3﹣
【解析】
首先设点B的横坐标，由点B在抛物线y1=x2（x≥0）上，得出点B的坐标，再由平行，得出A和C的坐标，然后由CD平行于y轴，得出D的坐标，再由DE∥AC，得出E的坐标，即可得出DE和AB，进而得解.
【详解】
设点B的横坐标为，则
∵平行于x轴的直线AC
∴
又∵CD平行于y轴
∴
又∵DE∥AC
∴
∴
∴=3﹣
【点睛】
此题主要考查抛物线中的坐标求解，关键是利用平行的性质.
15、2
【解析】解：分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E．
则AD∥BE，AD=2BE=，
∴B、E分别是AC、DC的中点．
∴△ADC∽△BEC，
∵BE：AD=1：2，
∴EC：CD=1：2，
∴EC=DE=a，
∴OC=3a，
又∵A（a， ），B（2a， ），
∴S△AOC=AD×CO=×3a× ==1，
解得：k=2．
16、。
【解析】
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。

三、解答题（共8题，共72分）
17、43米
【解析】
作CE⊥AB于E，则四边形BDCE是矩形，BE=CD=9.982米，设AB=x．根据tan∠ACE=，列出方程即可解决问题．
【详解】
解：如图，作CE⊥AB于E．则四边形BDCE是矩形，BE=CD=9.982米，设AB=x．

在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，
∴AB=BD=x，
在Rt△AEC中，
tan∠ACE==tan37.5°≈0.77，
∴=0.77，
解得x≈43，
答：“小雁塔”的高AB的长度约为43米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
18、40%
【解析】
先设第次降价的百分率是x，则第一次降价后的价格为500（1-x）元，第二次降价后的价格为500（1-2x），根据两次降价后的价格是240元建立方程，求出其解即可.
【详解】
第一次降价的百分率为x，则第二次降价的百分率为2x，
根据题意得：500（1﹣x）（1﹣2x）＝240，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.3＝130%．
则第一次降价的百分率为20%，第二次降价的百分率为40%．
【点睛】
本题考查了一元二次方程解实际问题，读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，求出符合题的解即可．
19、，
【解析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，利用-1的偶次幂为1及特殊角的三角函数值求出a的值，代入计算即可求出值．
解：原式=，
当，
原式=.
“点睛”此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
20、方案二能获得更大的利润；理由见解析
【解析】
方案一：由利润=（实际售价-进价）×销售量，列出函数关系式，再用配方法求最大利润；
方案二：由利润=（售价-进价）×500p-广告费用，列出函数关系式，再用配方法求最大利润．
【详解】
解：设涨价x元，利润为y元，则
方案一：涨价x元时，该商品每一件利润为：50+x−40，销售量为：500−10x，
∴，
∵当x=20时，y最大=9000，
∴方案一的最大利润为9000元；
方案二：该商品售价利润为=(50−40)×500p，广告费用为：1000m元，
∴，
∴方案二的最大利润为10125元；
∴选择方案二能获得更大的利润.
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，根据题意，列出函数关系式，配方求出最大值.
21、 (1) 反比例函数的解析式为y=，一次函数的解析式为y=﹣x+1．(2)2.
【解析】
（1）根据反比例函数y2=的图象过点A（2，3），利用待定系数法求出m，进而得出B点坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）设直线y1=kx+b与x轴交于C，求出C点坐标，根据S△AOB=S△AOC﹣S△BOC，列式计算即可．
【详解】
（1）∵反比例函数y2=的图象过A（2，3），B（6，n）两点，∴m=2×3=6n，∴m=6，n=1，∴反比例函数的解析式为y=，B的坐标是（6，1）．
把A（2，3）、B（6，1）代入y1=kx+b，得：，解得：，∴一次函数的解析式为y=﹣x+1．
（2）如图，设直线y=﹣x+1与x轴交于C，则C（2，0）．
S△AOB=S△AOC﹣S△BOC=×2×3﹣×2×1=12﹣1=2．

【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数、一次函数解析式以及求三角形面积等知识，根据已知得出B点坐标以及得出S△AOB=S△AOC﹣S△BOC是解题的关键．
22、（1）反比例函数表达式为，正比例函数表达式为；
（2），.
【解析】
试题分析：（1）将点A坐标（2，-2）分别代入y=kx、y=求得k、m的值即可；（2）由题意得平移后直线解析式，即可知点B坐标，联立方程组求解可得第四象限内的交点C得坐标，可将△ABC的面积转化为△OBC的面积．
试题解析：（）把代入反比例函数表达式，
得，解得，
∴反比例函数表达式为，
把代入正比例函数，
得，解得，
∴正比例函数表达式为．
（）直线由直线向上平移个单位所得，
∴直线的表达式为，
由，解得或，
∵在第四象限，
∴，
连接，
∵，

，
，
．
23、米
【解析】
解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F，则有DE∥FC，DF∥EC．
∵∠DEC=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴DE=FC．
∵∠HBA=∠BAC=45°，
∴∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=45°﹣30°=15°．
又∵∠ABD=∠HBD﹣∠HBA=60°﹣45°=15°，
∴△ADB是等腰三角形．
∴AD=BD=180（米）．
在Rt△AED中，sin∠DAE=sin30°=，
∴DE=180•sin30°=180×=90（米），
∴FC=90米，
在Rt△BDF中，∠BDF=∠HBD=60°，sin∠BDF=sin60°=，
∴BF=180•sin60°=180×（米）．
∴BC=BF+FC=90+90=90（+1）（米）．
答：小山的高度BC为90（+1）米．

24、（1）CD与圆O的位置关系是相切，理由详见解析;(2) AD=．
【解析】
（1）连接OC，求出OC和AD平行，求出OC⊥CD，根据切线的判定得出即可；
（2）连接BC，解直角三角形求出BC和AC，求出△BCA∽△CDA，得出比例式，代入求出即可．
【详解】
（1）CD与圆O的位置关系是相切，
理由是：连接OC，

∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAB，
∵∠CAB=∠CAD，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC为半径，
∴CD与圆O的位置关系是相切；
（2）连接BC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∵圆O的半径为3，
∴AB=6，
∵∠CAB=30°，
∴
∵∠BCA=∠CDA=90°，∠CAB=∠CAD，
∴△CAB∽△DAC，
∴
∴
∴
【点睛】
本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．