2023年河南省南阳市唐河县中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年河南省南阳市唐河县中考二模数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年河南省南阳市唐河县中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．如图表示互为相反数的两个点是（    ）

A．A和C B．B和C C．A和D D．B和D
2．水分子的直径为0.4纳米，1纳米等于米，则0.4纳米用科学记数法表示为（    ）．
A．米 B．米 C．米 D．米
3．如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（   ）

A． B． C． D．
4．是的平分线，，若，则的度数为　　
  
A． B． C． D．
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心、大于BF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF．下列结论中不一定成立的是（　　）

A．BE＝EF B．EF∥CD C．AE平分∠BEF D．AB＝AE
6．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
7．随着初中学业水平考试的临近，某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列四个结论不正确的是（    ）

A．共有500名学生参加模拟测试
B．从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
C．第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多
D．第4月测试成绩“优秀”的学生人数达到100人
8．如图，已知△ABC．
（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N．
（2）分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P．
（3）作射线AP交BC于点D．
（4）分别以A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
（5）作直线GH，交AC，AB分别于点E，F．
依据以上作图，若AF＝2，CE＝3，BD＝，则CD的长是（　　）

A． B．1 C． D．4
9．如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（   ）

A． B． C． D．
10．如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（    ）
  
A．水温从加热到，需要
B．水温下降过程中，与的函数关系式是
C．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为
D．上午10点接通电源，可以保证当天10:30能喝到不低于的水

二、填空题
11．请写出一个大于-4而小于-3的无理数 ．
12．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解是 ．
13．如图，正方形的面积为，点在边上，且，的平分线交于点，点，分别是，的中点，则的长为 ．
  
14．如图，中，，点是边上的一点，与、分别相切于点、，点为上一点，连，，若四边形是荾形，则图中阴影部分面积是 ．

15．如图，平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴，轴上，点的坐标为，点在矩形的内部，点在边上，满足∽，当是等腰三角形时，点坐标为 ．


三、解答题
16．先化简，再求值：，其中的值从不等式组的整数解中选取．
17．年月，教育部印发关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见，明确要求初中生课外作业完成时间不超过分钟．为了了解学生每天完成课外作业时间，某校数学兴趣小组决定对本校学生每天完成课外作业所用时间进行调查，他们随机抽取本校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果分为，，，四个等级，列表如下：
等级




每天完成课外作业时间分钟




根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：

(1)本次抽样调查共抽取了多少名学生？将条形统计图补充完整．
(2)学生每天完成课外作业时间的中位数落在______等级．
(3)请对该校学生每天完成课外作业时间作出评价，并提出两条合理化建议．
18．函数的图象如图①所示（正方形网格边长为）．

(1)根据表格中的数据，在图①中画出函数的图象，根据表格中的数据及图象，可以发现：的图象是由的图象向 （填“上”或“下”）平移了 个单位长度而得到的；

































(2)求函数的图象向下平移个单位长度后的函数表达式；
(3)如图②，函数的图象无限接近轴及直线，则 ，是该函数图象上的一点，轴，轴，矩形的面积为，，则 ．
19．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆项部的仰角为52°，观测旗杆底部的仰角为45°，求旗杆的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：，，，）．

20．某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系，（其中，且x为整数）

（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？
21．如图1，独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，是交通运输工具史上的一项重要发明，至今在我国农村和一些边远地区仍然广泛使用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，以的边为直径作，交于点P，是的切线，且，垂足为点D．
  
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
22．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且．

(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当，且时，y的最大值和最小值分别为m，n，且，求k的值．
23．九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动．

(1)操作探究：如图1，为等腰三角形，，将绕点O旋转，得到，连接，F是AE的中点，连接，则　 　°，与的数量关系是 　 　；
(2)迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点O逆时针旋转，点D正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系；
(3)拓展应用：如图3，在等腰三角形中，，．将绕点O旋转，得到，连接，F是的中点，连接．当时，请直接写出的长．

参考答案：
1．C
【分析】根据相反数的和为0，位于原点的两侧，且到原点的距离相等，即可求解．
【详解】解：根据数轴可知点表示的数为，点表示的数为，
∴表示互为相反数的两个点是和，
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴上表示有理数，相反数的定义，数形结合是解题的关键．
2．D
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：∵1纳米等于米。
∴0.4纳米，
故选：D．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．B
【分析】直接从左边观察几何体，确定每列最高的小正方体个数，即对应左视图的每列小正方形的个数，即可确定左视图．
【详解】解：如图所示：从左边看几何体，第一列是2个正方体，第二列是4个正方体，第三列是3个正方体；因此得到的左视图的小正方形个数依次应为2,4,3；
故选：B．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，要求学生理解几何体的三种视图并能明白左视图的含义，能确定几何体左视图的形状等，解决本题的关键是牢记三视图定义及其特点，能读懂题意和从题干图形中获取必要信息等，本题蕴含了数形结合的思想方法，对学生的空间想象能力有一定的要求．
4．B
【分析】根据角平分线的性质得出∠FAC度数，再利用平行线的性质可得答案．
【详解】解：
，平分，
，
，
，
故选：B
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质和平行线的性质．
5．D
【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，利用菱形的性质对各个选项进行判断即可．
【详解】由尺规作图可知：AF＝AB，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA．
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵AF＝AB，
∴AF＝BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE平分∠BEF，BE＝EF，EF∥AB，故选项A、C正确，
∵CD∥AB，
∴EF∥CD，故选项B正确；
故选D．
【点睛】本题考查尺规作图，菱形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6．C
【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．
【详解】解：由题可得：,
解得：且；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．
7．D
【分析】根据条形统计图和折线统计图分别判断即可．
【详解】解：A、测试的学生人数为：（名），故不符合题意；
B、由折线统计图可知，从第1周到第4周，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐周增长，故不符合题意；
C、第4月增长的“优秀”人数为（人），第3月增长的“优秀”人数（人），故不符合题意；
D、第4月测试成绩“优秀”的学生人数为：（人），故符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了条形统计图和折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
8．C
【分析】首先根据题意可知AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，再证明四边形AEDF为菱形，可知AE，然后根据平行线分线段成比例得，再代入数值求出答案.
【详解】由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，
∴∠EAD＝∠FAD，EA＝ED，FA＝FD.
∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴∠FAD＝∠EDA，
∴DE∥AF，
同理可得AE∥DF，
∴四边形AEDF为平行四边形，
而EA＝ED，
∴四边形AEDF为菱形，
∴AE＝AF＝2.
∵DE∥AB，
∴，即，
∴.
故选：C．

【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，作线段垂直平分线，特殊平行四边形的判定，平行线分线段成比例等，根据两直线平行列出比例式是解题的关键．
9．A
【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
【详解】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3，
当抛物线经过（3，1）时，a=，
观察图象可知≤a≤3，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．C
【分析】因为开机加热时，饮水机每分钟上升，所以开机加热到，所用时间为，故A不合题意；利用点，可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意；先求出加热时间段时，水温达到所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于时的时间，故C符合题意；令，则，求出每20分钟，饮水机重新加热，则时间为10:30时，可以得到饮水机是第二次加热，并且第二次加热了，令，代入到反比例函数中，求出y，即可得到此时水温，故D不符合题意．
【详解】解：∵开机加热时每分钟上升，
∴水温从加热到，所需时间为：，
故A选项说法正确，不合题意；
由题可得，在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为，
代入点可得，，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，
故B选项说法正确，不合题意；
当水温升至时，用时，
当水温降至时，，解得：，
∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，
故C选项说法错误，符合题意；
令，则，
即：每20分钟，饮水机重新加热，
∴上午10点接通电源，当天10:20时饮水机是第二次加热，并且第二次加热了10 min，
令，代入，得：，
即：10:30时的水温为，不低于，
故D选项说法正确，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
11．
【分析】根据无理数的定义结合题意可以写出一个符合题意的无理数.
【详解】大于-4而小于-3的无理数.
【点睛】本题考查了无理数，掌握无理数的定义是解决此题的关键.
12．
【分析】先将点A（3，n）代入y=-x+4，求出n，即可确定方程组的解．
【详解】】解：将点A（3，n）代入y=-x+4，
得n=-3+4=1，
∴A（3，1），
∴原方程组的解为
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，求出两直线的交点坐标是解题的关键．
13．
【分析】连接，由正方形的面积为，，可得，根据锐角三角函数得，又平分，可得，故，，然后根据，分别是，的中点，即可解决问题．
【详解】解：连接，如图：
  
正方形的面积为，
，
，
，，
，
，
平分，
，
在中，，
，
，是等腰直角三角形，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及含角的直角三角形三边关系，等腰直角三角形三边关系，解题的关键是根据已知求得．
14．
【分析】根据菱形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，，求出，根据直角三角形的性质、扇形面积公式计算，得到答案．
【详解】解：四边形是菱形，
，
由圆周角定理得：，
与、分别相切于点、，
，，
，
，
，
，，，


，

故答案为：．
【点睛】本题考查的是切线的性质，菱形的性质、扇形面积计算、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、弧长公式是解题的关键．
15．或
【分析】根据题意分情况讨论：①当点在的垂直平分线上时，点同时在上，的垂直平分线与的交点即是，根据∽求出PE，②点在以点为圆心为半径的圆弧上，圆弧与的交点为，过点作于，根据∽，求出，，则可得到，故而求出点点坐标.
【详解】解：∵点在矩形的内部，且是等腰三角形，
∴点在的垂直平分线上或在以点为圆心为半径的圆弧上；
①当点在的垂直平分线上时，点同时在上，的垂直平分线与的交点即是，如图1所示：
∵，，
∴，
∴∽，
∵四边形是矩形，点的坐标为，
∴点横坐标为﹣4，，，，
∵∽，
∴，即，
解得：，
∴点；

②点在以点为圆心为半径的圆弧上，圆弧与的交点为，
过点作于，如图2所示：
∵，
∴，
∴∽，
∵四边形是矩形，点的坐标为，
∴，，，
∴，
∴，
∵∽，
∴，即：，
解得：，，
∴，
∴点；
综上所述：点的坐标为：或；
故答案为或．

【点睛】此题主要考查正方形的综合，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、矩形的性质及圆的性质.
16．，当，值为
【分析】先通分，因式分解，然后进行除法运算，可得化简结果，解，可得不等式组的解集为，整数解为，0，1，2；由题意知，，，即，，将，代入求解即可．
【详解】解：



，
解得，，
解得，，
∴不等式组的解集为，整数解为，0，1，2；
由题意知，，，即，，
∴当，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，一元一次不等式组的整数解．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
17．(1)名，见解析；
(2)C；
(3)①该校各学科授课教师要提高教学效率；②教师要有效地引导学生高效学习，基于学情布置作业，作业要量少而精

【分析】（1）根据类的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其他人数求出的人数，从而补全统计图；
（2）根据中位数的定义可得答案；
（3）根据统计图反应的问题回答即可．
【详解】（1）本次抽样调查共抽取学生（名），
级人数：，
如图，

（2）共有名学生，前三个等级的人数和为，
学生每天完成课外作业时间的中位数落在等级，
故答案为：；
（3）该校部分学生每天完成课外作业时间没有达到意见要求．
建议：该校各学科授课教师要提高教学效率；教师要有效地引导学生高效学习，基于学情布置作业，作业要量少而精．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18．(1)上，
(2)
(3)2，2

【分析】（1）观察图象即可得出结论；
（2）根据（1）的结论可得；
（3）根据图象填空即可．
【详解】（1）画出函数的图象如图，

根据表格中的数据及图象，可以发现：的图象是由的图象向上平移个单位长度而得到的；
故答案为：上，：
（2）函数的图象向下平移个单位长度后的函数表达式是；
（3）如图，

函数的图象无限接近轴及直线，则，是该函数图象上的一点，轴，轴，矩形的面积为，，则．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键．
19．5.6m
【分析】分别利用正切函数解和，求出BC、AC，即可求出AB．
【详解】解：在中，∵，
∴m，
在中，∵，
∴m．
∴m．
答：旗杆的高度约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟知正切函数的意义是解题关键．
20．（1）；（2）当售价为70元时，商家所获利润最大，最大利润是4500元
【分析】（1）利用待定系数法分段求解函数解析式即可；
（2）分别求出当时与当时的销售利润解析式，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：（1）当时，设，
将和代入，可得
，解得，即；
当时，设，
将和代入，可得
，解得，即；
∴；
（2）当时，
销售利润，
当时，销售利润有最大值，为4000元；
当时，
销售利润，
该二次函数开口向上，对称轴为，当时位于对称轴右侧，
当时，销售利润有最大值，为4500元；
∵，
∴当售价为70元时，商家所获利润最大，最大利润是4500元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二次函数的性质，根据图象列出解析式是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)5

【分析】（1）连接，如图2，先根据切线的性质得到，则可判断，所以，然后利用可得到结论；
（2）连接，如图2，先利用勾股定理计算出，再根据圆周角定理得到，接着证明，则利用相似比可计算出，然后利用得到，从而得到的半径．
【详解】（1）解：证明：连接，如图，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
；
（2）连接，如图2，
  
在中，，
，
为直径，
，
，，
，
，即，
解得，
，
，
的半径为5．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
22．(1)，顶点坐标为
(2)

【分析】（1）令，得，可得，再由，可得，利用待定系数法可得抛物线解析式，转化为顶点式，可得出顶点坐标；
（2）函数的最大值为，由可得，当时，解方程，即可得出答案．
【详解】（1）解：在中，令，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
把代入中，
得，解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）∵，
∴当时，函数有最大值：；
∵当，且时，y的最大值和最小值分别为m，n，
∴，
∵，
∴，
当时，，
解得：，
∵，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
23．(1)90，
(2)；
(3)或2

【分析】（1）证明为等边三角形，根据旋转的性质得，求出，根据等腰三角形的性质可得，，即可得，；
（2）根据旋转的性质得，由平分得，可得，，即可得，根据等腰直角三角形的性质可得；
（3）分以下两种情况进行讨论：①当点E在右边时，②当点E在左边时，利用等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】（1）∵为等腰三角形，，
∴为等边三角形，
∵将绕点O旋转，得到，
∴，
∴为等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵，F是的中点，
∴，
∴，
故答案为：90，；
（2）由旋转的性质，可知，
∵为等边三角形，平分为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∵F是的中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（3）分以下两种情况进行讨论：
①如图1．当点E在右边时，

∵，
∴为等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
由旋转的性质，得，
∴为等边三角形，
∵F是的中点，
∴平分，
∴，
∴，
∴；
②如图2，当点E在左边时，

同理，可得，
∴．
综上所述，的长为或2．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想是解本题的关键．