内蒙古呼和浩特市2023届九年级质量数据监测（一模）数学试卷(含解析)

2023年呼和浩特市初三年级质量数据监测数学

注意事项：

1．考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题纸的规定位置。

2．考生要将答案写在答题纸上，在试卷上答题一律无效。考试结束后，本试卷和答题纸一并交回。

3．本试卷满分120分，考试时间为120分钟。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 下列图标中是中心对称图形的是（　　）

A.  B.

C.  D.

2. 如图，数轴上点A所表示的数的相反数为（    ）

A.  B. 3 C.  D.

3. 用代入法解一元二次方程过程中，下列变形不正确的是（    ）

A. 由①得 B. 由①得

C. 由②得 D. 由②得

4. 下列运算正确的是（　　）

A.  B.

C.  D.

5. 如图是某企业2020年5~10月份月利润变化情况的折线统计图，下列说法与图中反映的信息相符的是（　　）

A. 5~6月份月利润增长量大于9~10月份月利润增长量

B. 5~10月份月利润的中位数是700万元

C. 5~10月份月利润平均数是760万元

D. 5~10月份月利润的众数是1000万元

6. 下列命题：（1）一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍（2）相等的圆心角所对的弦相等（3）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，其中真命题的个数有（　　）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

7. 如图，在中，，．将绕点按顺时针方向旋转至的位置时，点恰好落在边的中点处，则的长为（　　）

A. 1 B.  C. 2 D.

8. 年月日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．某航模店购进了“神舟”和“天宫”两款航空模型．已知每个“神舟”模型比“天宫”模型的进价多元，且同样花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个．设“天宫”模型进价为每个元，则下列方程正确的是（　　）

A.  B.

C.  D.

9. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线上，现将正方形沿轴向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为（　　）

A  B.  C. 2 D.

10. 如图，在中，，于点．点是上两点，且，，若，．则的值为（　　）

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程）

11. 因式分解：=_____．

12. 如图是某立体图形的三视图，该立体图形的名称是____________，若主视图和左视图均为边长为的等边三角形，则该立体图形的表面积为____________．

13. 盒子里装有若干个彩色球，它们除颜色外完全相同，其中有6个黄球，从盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是，则盒子里共有___________个彩色球．

14. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，．则的半径为_____________．

15. 如图在菱形中，为对角线与的交点，点为边上的任一点（不与、重合），过点分别作，，、为垂足，则可以判断四边形的形状为___________．若菱形的边长为，，则的最小值为___________．（用含的式子表示）

16. 新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，则点的限变点是____________．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是____________．

三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 计算求解

（1）计算：；

（2）先化简，再求值：，其中．

18. 如图，过的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE．试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．

19. 某校为落实“双减”政策，增强课后服务的丰富性，充分用好课后服务时间，3月份学校开展数学学科活动，其中七年级开展了五个项目（每位学生只能参加一个项目）：A．阅读数学名著；B．讲述数学故事；C．制作数学模型；D．参与数学游戏；E．挑战数学竞赛．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：

（1）①此次调查一共随机抽取了__________名学生；

②补全条形统计图（要求在条形图上方注明名数）；

③扇形统计图中圆心角__________度；

（2）若该年级有1100名学生，请你估计该年级参加D项目的学生大约有多少名；

（3）在C项目展示活动中，某班获得一等奖的学生有3名男生，2名女生，则从这5名学生中随机抽取2名学生代表本班参加学校制作数学模型活动，请直接写出恰好抽到2名男生的概率．

20. 如图，某测量小组为了测量山的高度，在地面处测得山顶的仰角，然后沿着坡角为（即）的坡面走了米到达处，此时在处测得山顶的仰角为，求山高（结果保留根号）

21. 如图，点，是反比例函数图像上的两点，过点，分别作轴于点，轴于点，连接，已知点，，，

（1）求点坐标及反比例函数解析式；

（2）若所在直线的解析式为，根据图像，请直接写出不等式的解集．

22. 某校九年级学生小丽、小强和小红到某商场参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某商品销售工作，已知该商品的进价为元/件，售价为元/件，下面是他们在活动结束后的对话：

小丽：我发现此商品如果按元/件销售，每星期可卖出件．

小强：我发现在售价元/件的基础上调整价格，每涨价元，每星期比小丽所调查的销售量件要少卖出件．

小红：我发现在售价元/件的基础上调整价格，每降价元，每星期比小丽所调查的销售量件要多卖出件．

（1）若设每件涨价元，则每星期实际可卖出__________件，每星期售出商品利润（元）与的关系式为__________，的取值范围是__________．

（2）若设每件降价元，则每星期售出商品的利润（元）与的关系式为__________．

（3）在涨价情况下，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？

23. 如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且．

（1）求证：为的切线；

（2）连接，取的中点，连接．若，，求的长．

24. 已知，二次函数与轴的一个交点为，且过和点．

（1）求a、b、c的值，并写出该抛物线的顶点坐标；

（2）将二次函数向右平移个单位，得到新抛物线，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，若m是整数，请求出所有符合条件的新抛物线的解析式；

（3）已知M、P、Q是抛物线上互不重合的三点，已知P、Q的横坐标分别是，，点M与点P关于该抛物线的对称轴对称，求．

答案

1. B

解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，

选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，

故选：B．

2. B

解：点表示的数为，

的相反数为3，

故选：B．

3. C

解：

，C选项变形不正确

故选C

4. C

A． ，故本选项错误；

B．，故本选项错误；

C． ，故本选项正确；

D． 与不是同类项，不能合并，故本选项错误；

故选C．

5. B

解：由折线统计图知这组数据为500、600、700、700、900，1000、

A.5～6月份利润增长了，9～10月份利润，增长了，故A说法与图中反映的信息不相符，故本选项不符合题意；

B.5～10月份利润的中位数为700万元，故B说法与图中反映的信息相符，故本选项符合题意．

C.5～10月份利润的平均数为（万元），故C说法与图中反映的信息不相符，故本选项不符合题意；

D.700出现了2次，是出现次数最多的，5~10月份月利润的众数700万元，故D说法与图中反映的信息不相符，故本选项不符合题意；

故选：B．

6. D

解∶一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的81倍,故（1）是假命题；

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故（2）是假命题；

对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故（3）是假命题；

经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故（4）是真命题；共有1个真命题，

故选∶ D．

7. B

解：∵在中，，，将其进行顺时针旋转，落在的中点处，

∴是由旋转得到，

∴，

∵，点恰好落在边的中点处，

∴，

根据勾股定理：，

又∵，且，

∴为等边三角形，

∴旋转角，

∴，且，

∴也是等边三角形，

∴，

故选：B．

8. D

解：根据题意，设“天宫”模型进价为每个元，则“神舟”模型的价格为元，

∴花费元购进“天宫”模型的数量是，购进“神舟”模型的数量是，

∵“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个

∴，

故选：．

9. A

解：作轴于点，作轴于点，作轴于点，交双曲线于点

在中，

令，解得：，

即的坐标是．

令，解得：，

即的坐标是．

则，．

∵，

∴，

又∵直角中，，

∴，

在和中，

，

∴（），

同理，，

∴，，

故的坐标是，的坐标是．

代入得：，

则函数的解析式是：．

∴，

则的纵坐标是，

把代入得：．即的坐标是，

∴，

∴．

故选：A．

10. D

解：如图所示，

∵，，，

∴是等腰直角三角形，且，，

∴在中，，，

∴，，

∴，

已知，是的外角，是的外角，

∴，

∴，

∴，

∴，，

设，则，

∴代入得，，解得，，（舍去），

∴，

故选：．

11. x(x+1)(x﹣1)

解：原式= =x(x+1)(x﹣1)，

故答案为:x(x+1)(x﹣1)．

12. ①. 圆锥    ②.

解：主视图、俯视图都是等边三角形，俯视图是圆形，

∴该立体图形是圆锥，

∵主视图和左视图均为边长为的等边三角形，

∴底面圆的直径是，半径是，

∴底面圆的周长为，底面圆的面积为，

∴侧面展开图的扇形的弧长为，半径为，

∴扇形所在的圆的周长为，则扇形的圆心角，

∴扇形的面积为，

∴圆锥的表面积为，

故答案为：圆锥，．

13. 54

解∶根据题意知， 盒子里的球共有 (个) ；

故答案为54．

14. ##

解：连接．∵是弦的中点，且经过圆心，

∴，且．

在中，令的半径为，

∵，

∴，

解得：，

故答案为：．

15. ①. 矩形    ②. ##

解：如图，连接

∵四边形是菱形，

∴，

∵，，

∴，

∴四边形矩形；

∵菱形的边长为，，

∴，，

∴是等边三角形．

∴，

∴，

∴，

∵四边形是矩形，

∴，

∴当时，取得最小值，也取得最小值，此时，

∴，

∴的最小值为，

故答案为：矩形，．

16. ①.     ②.

解：∵， ，

∴，

∴点的限变点是，

∵点在二次函数的图象上，

∴

当时，，

∴，

当时，，

∴当时，，

综上，当时，其限变点的纵坐标n'的取值范围是，

故答案为：，．

17. （1）

解：

；

（2）

解：

，

当时，原式．

18.证明：四边形EFGH的形状是菱形，理由如下：

∵四边形为平行四边形，

∴,

∴,

在和中， ，

∴(ASA)

∴OE=OG．

同理可证OF=OH．

∵，

∴四边形为菱形．

19.（1）

解：①（名），

故答案为400；

②A阅读数学名著（名），

∴C制作数学模型（名），

补全统计图如下：

③，

故答案为；

（2）

解：D项目的学生：（名）

（3）

解：

共有20种等可能的情况，其中抽到2名男生的情况数为6种，

∴.

20. 解：作于．

∵，米，

（米，

，

四边形是矩形，

（米，

，，

，

，，

，

，，

，

（米，

在中，，

（米，

（米．

21. （1）

解：点，是反比例函数图像上，轴于点，轴于点，点，

∴点，

∵，

∴，即点，

∵，

∴，即，解得，，

∴反比例函数解析式为，

∴，，

∴点的坐标为，反比例函数解析式为．

（2）

解：已知点，，

∴由图像可知，当时，，即；

当时，，即；

综上所述，当时或当时，．

22. （1）

解：进价为元/件，按元/件销售，每星期可卖出件，每涨价元，每星期比销售量件要少卖出件，设每件涨价元，

∴现在每件的销售价格为：元，销售量为：件，每件的利润为元，

∴，即，

∵，则，

∴，且为整数，

故答案为：，，，且为整数．

（2）

解：进价为元/件，按元/件销售，每星期可卖出件，每降价元，每星期比销售量件要多卖出件，设每件降价元，

∴现在销售价为：，销售量为：件，每件的利润为：元，

∴，即，

故答案为：．

（3）

解：由（1）可知，，（为整数），

∴，

∴当时，商品的利润最大，最大利润，

∴商品的定价为元时，销售利润最大，最大为元．

23. （1）

证明：如图1，连接，．

∵，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∵是的直径，是的中点，

∴．

∴．

∴，即．

∴．

∴为的切线．

（2）解：如图，连接，过作，垂足为．

∵是的直径，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∵，，

∴，

∴，解得，

设的半径为，则．

解之得．

∵，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

∵为中点，

∴．

∴，．

∴．

∴．

24. （1）解：∵二次函数与轴的一个交点为，且过和，

∴，

解得，

∴二次函数的表达式为，

∴二次函数化为顶点式为，

∴二次函数顶点为；

（2）解：如图∶

将二次函数，的图象向右平移个单位得的图象，

∴新图象的对称轴为直线，

∵当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，且抛物线开口向下，

∴，

解得，

∵是整数，

∴，或或，

∴或或，

∴符合条件的新函数的解析式为或或；

（3）

解：当在左侧时，过作于，如图，

∵点、的横坐标分别是、，

∴，，

∴，，

∵点与点关于该抛物线的对称轴对称，而抛物线对称轴为直线，

∴，

，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，即，

当在右侧时，如图，

同理可得是等腰直角三角形，，

∴，

综上所述，的度数是或．