2023年内蒙古呼和浩特市和林格尔重点中学中考数学二模试卷（含解析）

2023年内蒙古呼和浩特市和林格尔重点中学中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片上午时至下午时之间，这五张照片拍摄的时间先后顺序是(    )

 

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  为了了解某市参加中考的名学生的视力情况，抽查了名学生的视力进行统计分析，下面四个判断正确的是(    )

A. 名学生的视力是总体的一个样本 B. 名学生是总体
C. 每名学生是总体的一个个体 D. 样本容量是名

4.  实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  将一副三角板厚度不计如图摆放，使含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，则的角度为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  方程有两个实数根，则的取值范围(    )

A. 且 B.  C.  D. 且

7.  如图是由个大小相同的小正方体组成的几何体，随机移走标号为的小正方体中的一个，左视图不发生改变的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  在中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断与大小关系的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，连接，下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.  的面积是
D. 点在上，当时，
 

10.  如图，在正方形中，，点是边的中点，连接，延长至点，使得，过点作，分别交、于、两点，连接、、，下列正确的是：；；；(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  科学家在实验室中检测出某种病毒的直径约为米，该直径用科学记数法表示为______米．

12.  分解因式：______．

13.  利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是______．

 

14.  对于实数，，我们定义运算，如：则方程的解为______ ．

15.  如图，矩形中，，，以为直径的半圆与相切于点，连接，则阴影部分的面积为______结果保留

 

16.  有下列命题，其中正确命题的序号______ ．
若，则；
在一个不透明的箱子里放有个白球和个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出个球，摸到白球的概率是；
已知的周长等于，则该圆内接正六边形的边心距为；
点，都在二次函数的图象上若，则的取值范围为：；
若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，则或
求代数式的最值，可通过“换元法”求解：设，则代数式可化为，利用二次函数的性质可求得最大值为．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
化简：，并从、、中选取一个合适的数作为的值代入求值．

18.  本小题分
如图，某数学活动小组为测量学校旗杆的高度，沿旗杆正前方米处的点出发，沿斜面坡度：的斜坡前进米到达点，在点处安置测角仪，测得旗杆顶部的仰角为，量得仪器的高为米．已知、、、、在同一平面内，，求旗杆的高度．参考数据：，，计算结果保留根号
 

19.  本小题分
某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点，为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．
求雕塑高．
求落水点，之间的距离．
若需要在上的点处竖立雕塑，，，问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明．

20.  本小题分
月日是“世界读书日”，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，为确定合理的学生每周课余阅读时间的完成目标，学校随机抽取了名学生每周阅读时间单位：分钟的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：
【数据收集】

    
【数据整理】
将收集的个数据按以下四组进行整理阅读时间用表示：
，，，
并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图：
【数据分析】

请根据以上信息解答下列问题：
直接写出：        ，        ；并补全频数分布直方图；
如果学校将完成目标确定为每周不少于分钟，该校有名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？若超过半数的人能达到目标即为合理，请从平均数，众数，中位数中选择合适的统计量，评判学校确定的这个目标合理吗？请说明理由．

21.  本小题分
如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点．
求的值及点的坐标；
请直接写出不等式的解集；
已知轴，以、为边作菱形，求菱形的面积．

22.  本小题分
如图，，是以为直径的上的点，且，弦交于点，平分，于点．
求证：是的切线；
若，，求的长．

23.  本小题分
已知是的角平分线，点，分别在边，上，，，与的面积之和为．
填空：当，，时，
如图，若，，则______，______；
如图，若，，则______，______；
如图，当时，探究与，的数量关系，并说明理由；
如图，当，，，时，请直接写出的大小．

 

24.  本小题分
已知二次函数的图象经过点，，．
求该二次函数的解析式．
当函数值时，自变量的取值范围：______ ；
如图，将函数的图象向右平移个单位长度，与的图象组成一个新的函数图象，记为若点在上，求的值；
如图，在的条件下，点的坐标为，在上是否存在点，使得若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：一天中太阳位置的变化规律是：从东到西．太阳的高度变化规律是：低高低．影子位置的变化规律是：从西到东，影子的长短变化规律是：长短长．根据影子变化的特点，按时间顺序给这五张照片排序是．
故选：．
太阳的位置和高度决定了影子的方向和长短．一天中，阳光下物体的影子变化规律是上午影子由长逐渐变短；下午影子由短逐渐变长．方向由西逐渐转向东．
本题主要考查了平行投影，了解物体在阳光下影子的变化规律是解答此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用二次根式的乘法的法则，完全平方公式，分式的减法的法则，分式的除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的乘法，完全平方公式，分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意
名学生的视力情况是总体，
名学生的视力是样本，
是样本容量，
每个学生的视力是总体的一个个体．
故选：．
总体：所要考察对象的全体；个体：总体的每一个考察对象叫个体；样本：抽取的部分个体叫做一个样本；样本容量：样本中个体的数目．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量．理清概念是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项，，，
，故该选项不符合题意；
选项，，，，
，故该选项不符合题意；
选项，，故该选项不符合题意；
选项，，
，故该选项符合题意；
故选：．
根据有理数的乘法法则判断选项；根据有理数的加法法则判断选项；根据绝对值的定义判断选项；根据不等式的基本性质判断选项．
本题考查了实数与数轴，掌握数轴上右边的数总比左边的数大是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，如图所示：

，
，
，
故选：．
根据平行线的性质可得的度数，再根据三角形内角和定理可得的度数．
本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：方程有两个实数根，

解得：且．
故选：．
根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：去掉的小正方体，左视图改变；
去掉的小正方体中的一个，左视图不变，
所以左视图不发生改变的概率是．
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，以及概率的定义，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，概率的定义，解题的关键是掌握从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图．
 

8.【答案】 

【解析】解：由作图痕迹，在上截取线段等于，则，所以选项不符合题意；
B.由作图痕迹，在上延长线上截取线段等于，则，所以选项不符合题意；
C.由作图痕迹，作的垂直平分线把分成两线段，则，所以选项不符合题意；
D.由作图痕迹，作的垂直平分线，则，所以选项符合题意．
故选：．
利用基本作图可直接对由选项和选项得到，根据基本作图和线段垂直平分线的性质、三角形三边的关系，由选项得到，由选项得到．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象交于点，
，故A正确，不符合题意；
，
把代入得：
，
解得，故B正确，不符合题意；
轴，，
 的面积是，故C正确，不符合题意；
当时，中，随的增大而减小，
时，，故D错误，符合题意，
故选：．
由反比例函数的图象交于点，可得，判断A正确；把代入，判定B正确；由反比例函数中的几何意义可判断C正确；根据的增减性可D错误．
本题考查反比例函数，一次函数的交点问题，解题的关键是掌握函数图象上点坐标的特征，求出和的值．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，，
≌，
，
，
故正确，
由可得：，
，，
≌，
，
故正确，
，
，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
∽，
；
故不正确，
，，
，
，，
∽，
，
，
，
故正确，
正确的是．
故选：．
证明≌，由可得；
结合，证明≌；
证明，得；
求出和的面积，进而由它们的差可得．
本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是层层递进，下一问要有意识应用前面解析．
 

11.【答案】 

【解析】解：米米．
故答案为：．
把某种病毒的直径表示成科学记数法即可．
此题考查了科学记数法表示较小的数，弄清科学记数法的表示方法是解本题的关键．
 

12.【答案】． 

【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设小正方形的边长为，
，，
，
在中，，
即，
整理得，，所以
而矩形面积为

该矩形的面积为，
故答案为：．
欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为，在直角三角形中，利用勾股定理可建立关于的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该矩形的面积．
本题考查了勾股定理以及运用和一元二次方程的运用，解题的关键是构建方程解决问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据新定义，可知，
，
解得，
经检验，是原分式方程的根，
方程的解为，
故答案为：．
根据新定义，可知，可得，解分式方程即可．
本题考查了解分式方程，新定义，理解新定义是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，也考查了矩形的性质和扇形及三角形的面积公式．
连接，如图，根据四边形为矩形及切线的性质得，，易得四边形为正方形，先利用扇形面积公式，利用计算由弧、线段、所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积．
【解答】
解：连接，如图，
 

四边形为矩形，
，
以为直径的半圆与相切于点，
，，
四边形为正方形，
由弧、线段、所围成的面积，
阴影部分的面积．
故答案为．

16.【答案】 

【解析】解：若，当时，则，故结论错误；
一共有个球，有个白球，从箱子里任意摸出个球，摸到白球的概率是，故结论正确；
连接，，如图，

正六边形是圆的内接多边形，
，
，，
，
的周长等于，
，
，故正确；
点，都在二次函数的图象上，
，，
，
，
，
即，
，故正确．
关于的一元二次方程有两个实数根，，
，即，且，，
，
，即，
，即，
解得：或故正确；
设，
所以，




，
代数式有最大值，
当，最大值为，故正确；
综上，正确的结论为，
故答案为：．
当时，的结论是错误的；由概率公式可得摸到白球的概率是，故可判断是正确的；由的周长可计算出半径，可进一步求出该圆内接正六边形的边心距为，故可判断是正确的；根据二次函数的图象与性质结合可判断是正确的；根据根与系数的关系可得，把变形，再整体代入得到方程求解即可得或；根据二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了不等式的性质，概率公式，正多边形与圆，二次函数的图象与性质以及最值，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：


；




，
，，
，
当时，原式． 

【解析】根据特殊角的三角函数值、绝对值的性质、立方根以及乘方的性质求解即可；
先化简分式，在根据分式有意义的条件选择的值代入求值即可．
本题主要考查了含特殊角的实数运算、分式化简求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
 

18.【答案】解：如图，延长交延长线于点，则，
，
，
，
，，
，
过点作于点，
则，，
又，
，
则，
故旗杆的高度为米． 

【解析】延长交延长线于点，则，中求得、，作，可得、，再求出可得答案．
本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题和坡度坡比问题，掌握仰角俯角和坡度坡比的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．
 

19.【答案】解：由题意得，点在抛物线上．
当时，，
点的坐标为，
雕塑高；
由题意得，点在抛物线上．
当时，，
解得：舍去，，
点的坐标为，
．
从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
，
，
即落水点，之间的距离是；
当时，，
点在抛物线上．
又，
顶部不会碰到水柱． 

【解析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点的坐标；利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点的坐标；利用二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线上横坐标为的点的坐标．
利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，进而可得出雕塑高的值；
利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，进而可得出的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出的长，结合即可求出落水点，之间的距离
代入求出值，进而可得出点在抛物线上，将与比较后即可得出顶部不会碰到水柱．
 

20.【答案】解：将这组数据重新排列为
、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、。
所以这组数据的众数，中位数为。
补全频数分布直方图如下：
；
故答案为：，；
估计完成这个目标的人数为人，
学校确定的这个目标合理，
从中位数和众数看，超过一半的学生超过分，
所以学校确定的这个目标合理． 

【解析】先将数据重新排列，再根据众数和中位数的概念求解可得；
用总人数乘样本中每周阅读时间不少于分钟的学生数所占比例即可得，根据中位数的意义可得答案．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，从收集的数据中获取必要的信息是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，
，，
，，
反比例函数图象是中心对称图形，
点与关于原点对称，
，
由图象知，不等式的解集为或；
如图，作于，

，，
，，
由勾股定理得，，
四边形是菱形，
，
菱形的面积为． 

【解析】将点分别代入正比例函数和反比例函数，可得和的值，再利用反比例函数图象是中心对称图形可得点的坐标；
根据图象直接可得答案；
作于，则得出和的长，再利用勾股定理求得的长，从而得出答案．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象的性质，函数与不等式的关系，菱形的性质，坐标与图形的性质等知识，利用数形结合思想是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，

，
，
平分，
，
，
，
，
，即，
是的切线；
如图，连接，

，

是直径，，
，



，
，
∽



 

【解析】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求的长是本题的关键．
根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得，得出，即可证得，即可证得结论；
由勾股定理可求的长，可得，，的长，由勾股定理可求的长，通过证明∽，可得，即可求的长．
 

23.【答案】，    
， 
如图中，过点作于点，于点．

，，平分，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
在和中，
≌，
，
把绕点逆时针旋转得到右边，，，，
；

． 

【解析】解：如图中，，，
，
平分，
，
，，，
，都是等腰直角三角形，
，，
，
故答案为：，；
如图中，

在中，，，
，，
，，平分，
，
，，
，
，
故答案为：，；
见答案，
如图中，过点作于点，于点．

，，平分，
，
，
，
，
，
在和中，
≌，
，
把绕点顺时针旋转得到，，，，
过点作于点，
，
．

本题属于三角形综合题，考查了特殊直角三角形，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象经过点，，，
，
解得，
该二次函数的解析式为．
当时，则，
解得，
自变量的取值范围是，
故答案为：．
，
该二次函数的图象的顶点坐标为，
将该函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象的顶点坐标为，
平移后的函数图象对应的解析式为，即，
由解得，
原函数图象与平移后的函数图象的交点坐标为，
新函数的解析式为，
新函数图象的最低点为，
新函数的函数值的取值范围是，
，
点在函数的图象上，
，
的值为．
存在，
设点的坐标为，
点的坐标为，，
，
，
若在函数的图象上，则，
解得，不符合题意，舍去，
；
若在函数的图象上，则，
解得，不符合题意，舍去，
，
综上所述，在上存在点，使得，点的坐标为或．
将，，代入，列方程组并且解该方程组求出、、的值，即可求得该二次函数的解析式为；
当时，则，解该不等式求得自变量的取值范围是，于是得到问题的答案；
由，得该二次函数的图象的顶点坐标为，则平移后的函数图象对应的解析式为，即，再将与联立方程组，解该方程组求得原函数图象与平移后的函数图象的交点坐标为，则，由，可知点在函数的图象上，则；
设点的坐标为，由，得，再分两种情况讨论，一是点在函数的图象上，则；二是点在函数的图象上，则，解方程求出符合题意的值及相应的点的坐标即可．
此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、通过解方程组求函数图象的交点坐标、一元二次方程的解法、定义新函数问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．