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2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章 §2.1 函数的概念及其表示课件PPT
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这是一份2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章 §2.1 函数的概念及其表示课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练，非空的实数集，唯一确定，定义域，对应关系，解析法，列表法，－2－1等内容，欢迎下载使用。
1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法) 表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.
1.函数的概念一般地，设A，B是 ，如果对于集合A中的 一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2.函数的三要素(1)函数的三要素： 、 、 .(2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法表示函数的常用方法有 、图象法和 .4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
1.直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.2.在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集.3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数.( )(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线.( )(3)y＝x0与y＝1是同一个函数.( )
1.(多选)下列所给图象是函数图象的是
A中，当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；B中，当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象；CD中，每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象.
y＝x－1的定义域为R，y＝ 的定义域为{x|x≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A不正确；
例1 (1)函数y＝ 的定义域为A.(－4，－1) B.(－4,1)C.(－1,1) D.(－1,1]
(2)已知函数f(x)的定义域为(－4，－2)，则函数g(x)＝f(x－1)＋ 的定义域为____________.
∵f(x)的定义域为(－4，－2)，
∴函数g(x)的定义域为[－2，－1).
(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合；(2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域.
A.(1,3] B.(1,2)∪(2,3]C.(1,3)∪(3，＋∞) D.(－∞，3)
所以1
即(1－x)(1＋x)>0，解得－1
(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]，则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cs2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2].即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2].
∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).
(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式.
∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.
函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法.
跟踪训练2 (1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是A.f(x)＝x2＋6x B.f(x)＝x2＋8x＋7C.f(x)＝x2＋2x－3 D.f(x)＝x2＋6x－10
f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，x＝t＋1，则f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，故f(x)＝x2＋6x.
(3)已知函数f(x)满足f(x)＋ ＝3x，则f(2)等于A.－3 B.3 C.－1 D.1
所以f(2 024)＝f(2 023)＝f(2 022)＝…＝f(1)，又f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f(2 024)＝1.
例3 (1)已知函数f(x)＝ 则f(2 024)的值为A.－1 B.0 C.1 D.2
[－3，－1)∪[4，＋∞)
解得a＝－2或a＝5.若f(a)≥2，
解得－3≤a<－1或a≥4，∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞).
分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝ 若f(f(a))＝2，则a等于A.0或1 B.－1或1C.0或－2 D.－2或－1
令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1，当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0，因此a＋2＝0⇒a＝－2，当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0，因此a＋2＝1⇒a＝－1，综上所述，a＝－2或－1.
_____________.
当x≤0时，x＋1≤1，
当01，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝lg2(x＋1)>0，∴当01时，x＋1>2，f(x)
∴函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3，＋∞).
2.(2023·三明模拟)已知集合A＝{x|－2
4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是
水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，由图可知选项A符合.
当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，当x＝1时，f(x)＝－x2＋2x＋3取得最大值4，所以当x≤2时，函数f(x)的值域是(－∞，4]，所以当x>2时，函数f(x)＝6＋lgax的值域为(－∞，4]的子集，当a>1时，f(x)＝6＋lgax在(2，＋∞)上单调递增，此时f(x)>f(2)＝6＋lga2>6，不符合题意，当0
A.y＝－x＋1 B.
对A，函数的定义域和值域都是R；对B，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R；对C，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R；
所以ABD是定义域和值域相同的函数.
8.(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数.德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨.后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，则下列对应法则f满足函数定义的有A.f(x2)＝|x| B.f(x2)＝xC.f(cs x)＝x D.f(ex)＝x
令t＝ex(t>0)，f(t)＝ln t，故D符合函数定义.
10.已知f( )＝x－1，则f(x)＝___________.
所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0).
解得－1≤x≤0，所以函数g(x)的定义域是[－1,0].
11.已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋ 的定义域为__________.
12.已知f(x)＝ 若f(a)＝5，则实数a的值是__________；若f(f(a))≤5，则实数a的取值范围是_____________.
①当a>0时，2a＋3＝5，解得a＝1；当a≤0时，a2－4＝5，解得a＝－3或a＝3(舍).综上，a＝1或－3.②设t＝f(a)，由f(t)≤5得－3≤t≤1.
13.(2022·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，则f(1)等于
∵定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，∴当x＝0时，f(1)＋2f(0)＝1，①当x＝1时，f(0)＋2f(1)＝2，②②×2－①，得3f(1)＝3，解得f(1)＝1.
作出函数f(x)的图象，如图所示.因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3
当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1，
若M(n)<1，则当－1
∵当x为有理数时，F(x)＝1，当x为无理数时，F(x)＝0，当x为有理数时，F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，所以F(F(x))＝1恒成立，故A错误；因为有理数的相反数是有理数，无理数的相反数是无理数，所以对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立，故B正确；若x是有理数，T是有理数，则x＋T是有理数；若x是有理数，T是无理数，则x＋T是无理数；若x是无理数，则x＋T是无理数或有理数，所以任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)不恒成立，故C错误；
1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法) 表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.
1.函数的概念一般地，设A，B是 ，如果对于集合A中的 一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2.函数的三要素(1)函数的三要素： 、 、 .(2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法表示函数的常用方法有 、图象法和 .4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
1.直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.2.在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集.3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数.( )(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线.( )(3)y＝x0与y＝1是同一个函数.( )
1.(多选)下列所给图象是函数图象的是
A中，当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；B中，当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象；CD中，每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象.
y＝x－1的定义域为R，y＝ 的定义域为{x|x≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A不正确；
例1 (1)函数y＝ 的定义域为A.(－4，－1) B.(－4,1)C.(－1,1) D.(－1,1]
(2)已知函数f(x)的定义域为(－4，－2)，则函数g(x)＝f(x－1)＋ 的定义域为____________.
∵f(x)的定义域为(－4，－2)，
∴函数g(x)的定义域为[－2，－1).
(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合；(2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域.
A.(1,3] B.(1,2)∪(2,3]C.(1,3)∪(3，＋∞) D.(－∞，3)
所以1
即(1－x)(1＋x)>0，解得－1
(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]，则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cs2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2].即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2].
∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).
(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式.
∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.
函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法.
跟踪训练2 (1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是A.f(x)＝x2＋6x B.f(x)＝x2＋8x＋7C.f(x)＝x2＋2x－3 D.f(x)＝x2＋6x－10
f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，x＝t＋1，则f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，故f(x)＝x2＋6x.
(3)已知函数f(x)满足f(x)＋ ＝3x，则f(2)等于A.－3 B.3 C.－1 D.1
所以f(2 024)＝f(2 023)＝f(2 022)＝…＝f(1)，又f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f(2 024)＝1.
例3 (1)已知函数f(x)＝ 则f(2 024)的值为A.－1 B.0 C.1 D.2
[－3，－1)∪[4，＋∞)
解得a＝－2或a＝5.若f(a)≥2，
解得－3≤a<－1或a≥4，∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞).
分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝ 若f(f(a))＝2，则a等于A.0或1 B.－1或1C.0或－2 D.－2或－1
令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1，当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0，因此a＋2＝0⇒a＝－2，当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0，因此a＋2＝1⇒a＝－1，综上所述，a＝－2或－1.
_____________.
当x≤0时，x＋1≤1，
当0
∴函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3，＋∞).
2.(2023·三明模拟)已知集合A＝{x|－2
4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是
水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，由图可知选项A符合.
当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，当x＝1时，f(x)＝－x2＋2x＋3取得最大值4，所以当x≤2时，函数f(x)的值域是(－∞，4]，所以当x>2时，函数f(x)＝6＋lgax的值域为(－∞，4]的子集，当a>1时，f(x)＝6＋lgax在(2，＋∞)上单调递增，此时f(x)>f(2)＝6＋lga2>6，不符合题意，当0
A.y＝－x＋1 B.
对A，函数的定义域和值域都是R；对B，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R；对C，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R；
所以ABD是定义域和值域相同的函数.
8.(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数.德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨.后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，则下列对应法则f满足函数定义的有A.f(x2)＝|x| B.f(x2)＝xC.f(cs x)＝x D.f(ex)＝x
令t＝ex(t>0)，f(t)＝ln t，故D符合函数定义.
10.已知f( )＝x－1，则f(x)＝___________.
所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0).
解得－1≤x≤0，所以函数g(x)的定义域是[－1,0].
11.已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋ 的定义域为__________.
12.已知f(x)＝ 若f(a)＝5，则实数a的值是__________；若f(f(a))≤5，则实数a的取值范围是_____________.
①当a>0时，2a＋3＝5，解得a＝1；当a≤0时，a2－4＝5，解得a＝－3或a＝3(舍).综上，a＝1或－3.②设t＝f(a)，由f(t)≤5得－3≤t≤1.
13.(2022·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，则f(1)等于
∵定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，∴当x＝0时，f(1)＋2f(0)＝1，①当x＝1时，f(0)＋2f(1)＝2，②②×2－①，得3f(1)＝3，解得f(1)＝1.
作出函数f(x)的图象，如图所示.因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3
当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1，
若M(n)<1，则当－1
∵当x为有理数时，F(x)＝1，当x为无理数时，F(x)＝0，当x为有理数时，F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，所以F(F(x))＝1恒成立，故A错误；因为有理数的相反数是有理数，无理数的相反数是无理数，所以对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立，故B正确；若x是有理数，T是有理数，则x＋T是有理数；若x是有理数，T是无理数，则x＋T是无理数；若x是无理数，则x＋T是无理数或有理数，所以任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)不恒成立，故C错误；
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