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新高考数学一轮复习课件 第2章 §2.1 函数的概念及其表示
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这是一份新高考数学一轮复习课件 第2章 §2.1 函数的概念及其表示，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练等内容，欢迎下载使用。
§2.1 函数的概念及其表示
1.了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示 函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.函数的概念一般地，设A，B是非空的 ，如果对于集合A中的 一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2.函数的三要素(1)函数的三要素： 、 、 .(2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法表示函数的常用方法有 、图象法和 .4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
1.直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.2.在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集.3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数.( )(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线.( )(3)y＝x0与y＝1是同一个函数.( )(4)函数f(x)＝ 的定义域为R.( )
1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是
2.(多选)下列各组函数是同一个函数的是
TANJIUHEXINTIXING
解得－1
∵f(x)的定义域为[0,2]，∴0≤x－1≤2，即1≤x≤3，∴函数f(x－1)的定义域为[1,3].
延伸探究 将本例(2)改成“若函数f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数f(x－1)的定义域为________.
∵f(x＋1)的定义域为[0,2]，∴0≤x≤2，∴1≤x＋1≤3，∴1≤x－1≤3，∴2≤x≤4，∴f(x－1)的定义域为[2,4].
1.(2022·西北师大附中月考)函数y＝lg(x2－4)＋ 的定义域是A.(－∞，－2)∪[0，＋∞)B.(－∞，－6]∪(2，＋∞)C.(－∞，－2]∪[0，＋∞)D.(－∞，－6)∪[2，＋∞)
解得x>2或x≤－6.
因此函数的定义域为(－∞，－6]∪(2，＋∞).
A.(－∞，1)B.(－∞，－1)C.(－∞，－1)∪(－1,0)D.(－∞，－1)∪(－1,1)
令1－2x>0，即2x<1，即x<0.∴f(x)的定义域为(－∞，0).
(1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义.(2)求复合函数的定义域①若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域.②若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域.
(2)已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋ 的定义域为__________.
解得－1≤x≤0，所以函数g(x)的定义域是[－1,0].
(2)已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝___________.
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，∴2ax＋b＝2x＋2，则a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c，又f(x)＝0，即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根.∴Δ＝4－4c＝0，则c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.
(3)已知函数对任意的x都有f(x)－2f(－x)＝2x，则f(x)＝______.
∵f(x)－2f(－x)＝2x，①∴f(－x)－2f(x)＝－2x，②
函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法.
跟踪训练2 (1)已知f(1－sin x)＝cs2x，则f(x)＝__________________.
－x2＋2x，x∈[0,2]
令t＝1－sin x，∴t∈[0,2]，sin x＝1－t，∴f(t)＝1－sin2x＝1－(1－t)2＝－t2＋2t，t∈[0,2]，∴f(x)＝－x2＋2x，x∈[0,2].
x2－2，x∈[2，＋∞)
∴f(x)＝x2－2，x∈[2，＋∞).
①当a>0时，2a＋3＝5，解得a＝1；当a≤0时，a2－4＝5，解得a＝－3或a＝3(舍).综上，a＝1或－3.②设t＝f(a)，由f(t)≤5得－3≤t≤1.
当x≥0时，|f(x)|＝x3≥ax，即x(x2－a)≥0恒成立，则有a≤0；当x<0时，|f(x)|＝x2≥ax，即a≥x恒成立，则有a≥0，所以a＝0.
分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.
当x<1时，f(x)＝x2＋1≥1，x＝0时取等号，
当x≤0时，x＋1≤1，f(x)1，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝lg2(x＋1)>0，∴当01时，f(x)
1.(2022·重庆模拟)函数f(x)＝ 的定义域是A.(0,3) B.(0,1)∪(1,3)C.(0,3] D.(0,1)∪(1,3]
解得0
A中函数定义域不是[－2,2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0,2].
得a3＝8，解得a＝2.
5.如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，当P沿A－B－C－M运动时，设点P经过的路程为x，△APM的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致是
画出函数f(x)的大致图象，故选A.
6.(多选)下列函数中，与y＝x是同一个函数的是
y＝x的定义域为x∈R，值域为y∈R，
对于C选项，函数y＝lg 10x＝x，且定义域为R，故是同一函数；对于D选项，y＝10lg x＝x的定义域为(0，＋∞)，与函数y＝x的定义域不相同，故不是同一函数.
若a<0，则f(0)＝1，f(1)＝2，f(1)＝2f(0)成立；若0≤a<1，则f(0)＝1，f(1)＝2，f(1)＝2f(0)成立；若a≥1，则f(0)＝1，f(1)＝0，f(1)＝2f(0)不成立.综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1).
9.已知f(x5)＝lg x，则f(100)＝_____.
则x＝ ＝ ，
解得1
12.设函数f(x)＝ 则不等式xf(x)＋x≤2的解集是______________.
[－2,0)∪(0,1]
当x<0时，f(x)＝x，代入xf(x)＋x≤2得x2＋x－2≤0，解得－2≤x<0；当x>0时，f(x)＝1，代入xf(x)＋x≤2，解得0
解得x<－1或－1≤x<0，即x<0.
当a≥1时，2a≥2.∴f(f(a))＝f(2a)＝ ＝2f(a)恒成立.当a<1时，f(f(a))＝f(－a＋λ)＝2f(a)＝2λ－a，∴λ－a≥1，即λ≥a＋1恒成立，由题意λ≥(a＋1)max，∴λ≥2，综上，λ的取值范围是[2，＋∞).
若对定义域内任意的x1，x2(x1≠x2)，
§2.1 函数的概念及其表示
1.了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示 函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.函数的概念一般地，设A，B是非空的 ，如果对于集合A中的 一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2.函数的三要素(1)函数的三要素： 、 、 .(2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法表示函数的常用方法有 、图象法和 .4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
1.直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.2.在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集.3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数.( )(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线.( )(3)y＝x0与y＝1是同一个函数.( )(4)函数f(x)＝ 的定义域为R.( )
1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是
2.(多选)下列各组函数是同一个函数的是
TANJIUHEXINTIXING
解得－1
∵f(x)的定义域为[0,2]，∴0≤x－1≤2，即1≤x≤3，∴函数f(x－1)的定义域为[1,3].
延伸探究 将本例(2)改成“若函数f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数f(x－1)的定义域为________.
∵f(x＋1)的定义域为[0,2]，∴0≤x≤2，∴1≤x＋1≤3，∴1≤x－1≤3，∴2≤x≤4，∴f(x－1)的定义域为[2,4].
1.(2022·西北师大附中月考)函数y＝lg(x2－4)＋ 的定义域是A.(－∞，－2)∪[0，＋∞)B.(－∞，－6]∪(2，＋∞)C.(－∞，－2]∪[0，＋∞)D.(－∞，－6)∪[2，＋∞)
解得x>2或x≤－6.
因此函数的定义域为(－∞，－6]∪(2，＋∞).
A.(－∞，1)B.(－∞，－1)C.(－∞，－1)∪(－1,0)D.(－∞，－1)∪(－1,1)
令1－2x>0，即2x<1，即x<0.∴f(x)的定义域为(－∞，0).
(1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义.(2)求复合函数的定义域①若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域.②若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域.
(2)已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋ 的定义域为__________.
解得－1≤x≤0，所以函数g(x)的定义域是[－1,0].
(2)已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝___________.
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，∴2ax＋b＝2x＋2，则a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c，又f(x)＝0，即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根.∴Δ＝4－4c＝0，则c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.
(3)已知函数对任意的x都有f(x)－2f(－x)＝2x，则f(x)＝______.
∵f(x)－2f(－x)＝2x，①∴f(－x)－2f(x)＝－2x，②
函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法.
跟踪训练2 (1)已知f(1－sin x)＝cs2x，则f(x)＝__________________.
－x2＋2x，x∈[0,2]
令t＝1－sin x，∴t∈[0,2]，sin x＝1－t，∴f(t)＝1－sin2x＝1－(1－t)2＝－t2＋2t，t∈[0,2]，∴f(x)＝－x2＋2x，x∈[0,2].
x2－2，x∈[2，＋∞)
∴f(x)＝x2－2，x∈[2，＋∞).
①当a>0时，2a＋3＝5，解得a＝1；当a≤0时，a2－4＝5，解得a＝－3或a＝3(舍).综上，a＝1或－3.②设t＝f(a)，由f(t)≤5得－3≤t≤1.
当x≥0时，|f(x)|＝x3≥ax，即x(x2－a)≥0恒成立，则有a≤0；当x<0时，|f(x)|＝x2≥ax，即a≥x恒成立，则有a≥0，所以a＝0.
分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.
当x<1时，f(x)＝x2＋1≥1，x＝0时取等号，
当x≤0时，x＋1≤1，f(x)
1.(2022·重庆模拟)函数f(x)＝ 的定义域是A.(0,3) B.(0,1)∪(1,3)C.(0,3] D.(0,1)∪(1,3]
解得0
A中函数定义域不是[－2,2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0,2].
得a3＝8，解得a＝2.
5.如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，当P沿A－B－C－M运动时，设点P经过的路程为x，△APM的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致是
画出函数f(x)的大致图象，故选A.
6.(多选)下列函数中，与y＝x是同一个函数的是
y＝x的定义域为x∈R，值域为y∈R，
对于C选项，函数y＝lg 10x＝x，且定义域为R，故是同一函数；对于D选项，y＝10lg x＝x的定义域为(0，＋∞)，与函数y＝x的定义域不相同，故不是同一函数.
若a<0，则f(0)＝1，f(1)＝2，f(1)＝2f(0)成立；若0≤a<1，则f(0)＝1，f(1)＝2，f(1)＝2f(0)成立；若a≥1，则f(0)＝1，f(1)＝0，f(1)＝2f(0)不成立.综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1).
9.已知f(x5)＝lg x，则f(100)＝_____.
则x＝ ＝ ，
解得1
12.设函数f(x)＝ 则不等式xf(x)＋x≤2的解集是______________.
[－2,0)∪(0,1]
当x<0时，f(x)＝x，代入xf(x)＋x≤2得x2＋x－2≤0，解得－2≤x<0；当x>0时，f(x)＝1，代入xf(x)＋x≤2，解得0
解得x<－1或－1≤x<0，即x<0.
当a≥1时，2a≥2.∴f(f(a))＝f(2a)＝ ＝2f(a)恒成立.当a<1时，f(f(a))＝f(－a＋λ)＝2f(a)＝2λ－a，∴λ－a≥1，即λ≥a＋1恒成立，由题意λ≥(a＋1)max，∴λ≥2，综上，λ的取值范围是[2，＋∞).
若对定义域内任意的x1，x2(x1≠x2)，
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