陕西省渭南市大荔县2021-2022学年高二文科数学下学期期末试题（Word版附解析）

大荔县2021~2022学年（下）高二年级期末质量检测试题

数学（文科）

一､单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若，则z=（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数的除法运算化简即可.

【详解】.

故选：C

2. 由①是一次函数；②的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提､小前提和结论的分别是（    ）

A. ②①③ B. ③②① C. ①②③ D. ③①②

【答案】D

【解析】

【分析】根据三段论的概念，即可判断出结果.

【详解】该三段论应为：③一次函数的图象是一条直线（大前提），①y=2x+5是一次函数（小前提），②y=2x+5的图象是一条直线（结论）

故选：D.

3. 的导数是（    ）

A.  B.

C.  D. 0

【答案】D

【解析】

【分析】根据导数的运算公式，直接计算即可

【详解】，常数的导数为0，所以，

故选：D

4. 命题“”的否定是（    ）

A. “” B. “”

C. “” D. “”

【答案】D

【解析】

【分析】根据全称命题的否定即可求解.

【详解】命题“”的否定是： .

故选：D

5. 对两个变量、进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量、进行线性相关检验，得线性相关系数，则下列判断正确的是（    ）

A. 变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强

B. 变量与负相关，变量与正相关，变量与的线性相关性较强

C. 变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强

D. 变量与负相关，变量与正相关，变量与的线性相关性较强

【答案】C

【解析】

【分析】

根据相关系数的符号决定两个变量的正相关、负相关，以及相关系数绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，进而可得出结论.

【详解】由线性相关系数知与正相关，

由线性相关系数知与负相关，

又，所以，变量与的线性相关性比与的线性相关性强，

故选：C.

6. 已知椭圆以为左右焦点，点P、Q在椭圆上，且过右焦点，，若，则该椭圆离心率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意不妨设，则，根据椭圆的定义可求得，从而可求得，即可得解.

【详解】解：根据题意可得如图椭圆，是直角三角形，，

不妨设，则，

因为，

所以，

，

所以离心率．

故选：A．

7. 已知二次函数（）的值域为，则的最小值为（    ）

A.  B. 4 C. 8 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据的值域求得，结合基本不等式求得的最小值.

【详解】由于二次函数（）的值域为，

所以，所以，

所以，

当且仅当即时等号成立.

故选：B

8. 运行如图所示的程序框图，输出的的值为（    ）

A. 4 B. 5

C. 6 D. 7

【答案】B

【解析】

【分析】根据程序框图的循环逻辑，逐步写出各步的执行结果，即可判断最终输出结果

【详解】由程序框图的逻辑，其执行步骤如下：

：，，；

：，，；

：，，；

：，，，

∴输出.

故选：B

9. 若内角A,B,C的对边分别为a,b,c.面积,则

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

取，代入已知式化简变形．

详解】∵，

∴，，．

又由得∴，由正弦定理得，

，∴．

故选：D.

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．三角函数中公式较多，解题时需根据不同的条件选取不同的公式化简变形．

10. 孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个整数中能被3除余2且被4除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是（    ）

A. 168 B. 169 C. 170 D. 171

【答案】B

【解析】

【分析】列举出该数列的前几项，可知该数列为等差数列，求出等差数列的首项和公差，进而可得出数列的通项公式，然后求解满足不等式的正整数的个数，即可得解.

【详解】设所求数列为，

由题意可得该数列为5､17､29､41､…，

所以数列为等差数列，

且首项为，公差为，

所以，

令，

即，

解得，

所以满足的正整数n的个数为169，

所以该数列共有169项.

故选：B.

11. 某商场2020年部分月份销售金额如下表：

若用最小二乘法求得回归直线方程为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据回归直线过样本中心点可直接构造方程求得结果.

【详解】由表格数据知：；；

，解得：.

故选：B.

12. 华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（    ）次检测．

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】

利用优选法依次进行检测，写出4次检测的情况，得到最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测．

【详解】第一次：16人分两组，每组8人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；

第二次：留下的8人分两组，每组4人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；

第三次：留下的4人分两组，每组2人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；

第四次：留下的2人分两组，每组1人，如果第一人检测结果为阳性，则第2人没有感染．如果第一组检测结果为阴性，则第2人感染．

综上，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测．

故选：B

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 设变量，满足约束条件，则的最大值为___________.

【答案】0

【解析】

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【详解】解：由约束条件作出可行域如下图所示：

化目标函数为．

由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最大值为．

故答案为：．

14. 表示虚数单位，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据以及周期性求出答案即可．

【详解】解：因，，，，

所以，，

所以；

故答案为：

15. 设直线是曲线的一条切线，则实数b的值是_________．

【答案】

【解析】

【分析】设切点坐标，根据切点处的导数等于切线斜率，和切点在切线和曲线上列方程组可解.

【详解】设切点坐标为，

因为，所以有

因为，所以，所以.

故答案为：

16. 古埃及数学中有一个独特现象：除了用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个分数和的形式，例如可以这样来理解：假定有2个面包，要平均分给5个人，每人分不够，每人分将剩余，再将这分成5份，每人分得，这样每人分得，同理可得，，…，按此规律，则________（，7，9，11，…）

【答案】

【解析】

【分析】由已知中，可以这样来理解：假定有2个面包，要平均分给5个人，每人分不够，每人分将剩余，再将这分成5份，每人分得，这样每人分得，类比可得；

【详解】假定有两个面包均分给个人，每人不够，每人分则余，再将这分成份，每人得，这样每人分得，

故.

故答案：.

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知等差数列的前项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设等差数列的公差为，进而列方程求解即可；

（2）由题知，进而根据分组求和法求解即可.

【小问1详解】

解：（1）设等差数列的公差为，由已知得

解得，

所以数列的通项公式为；

【小问2详解】

解：由（1）得，

所以

18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

（1）若，的面积为，求a；

（2）若，求C.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可；

（2）根据正弦定理，结合特殊角的三角函数值进行求解即可.

【小问1详解】

∵的面积，

∴，，

由余弦定理：，

∴.

【小问2详解】

由已知，

由正弦定理得，

即，

可得.

由于，所以，

故，.

19. 已知曲线.直线（为参数），点的坐标为.

（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；

（2）若直线与曲线相交于、两点，求的值.

【答案】（1）（为参数）；；（2）.

【解析】

【分析】（1）由椭圆的参数方程的求法及椭圆的方程可得的参数方程，消去参数即可得直线的普通方程；

（2）法一：将直线的参数方程代入椭圆的普通方程可得关于的一元二次方程，利用韦达定理求出和，由可得，的符合相同，进而得出，即可求出结果；

法二：将直线的普通方程与椭圆的普通方程联立求出交点的坐标，进而利用两点间的距离公式求出和，进而求得的值．

【详解】解：（1）曲线，其参数方程为（为参数）.

直线（为参数），消去参数得：，

故直线的普通方程为：.

（2）法一：将直线的标准的参数方程代入椭圆中，

得：，

整理得：，

，，可得，同号，

所以．

法二：联立直线与椭圆的方程：，

整理得，即，

解得：，，

代入直线的方程可得，，

∴不妨设，，

.

【点睛】本题考查将椭圆的普通方程转化为参数方程，以及利用消去参数法将直线的参数方程转化为普通方程，考查直线参数方程中参数的几何意义和韦达定理的应用，考查运算能力．

20. 某土特产超市为预估年元旦期间游客购买土特产的情况，对年元旦期间的位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：

附：参考公式和数据：，.

附表：

（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于元与性别有关.

（2）为做好年元旦的营销活动，该超市从年元旦期间的位游客购买金额少于元的人群中按照分层抽样的方法任选人进行购物体验回访，并在这人中随机选取人派发购物券，问能拿到购物券的人恰好是一男一女的概率是多少？

【答案】（1）列联表答案见解析，有的把握认为购买金额是否少于元与性别有关   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据表格中的数据完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表判断可得出结论；

（2）分析可知按照分层抽样应该选名男性，名女性.记名男性分别为、、、，名女性分别为、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【小问1详解】

解：列联表如下表所示：

，

因此有的把握认为购买金额是否少于元与性别有关.

【小问2详解】

解：按照分层抽样应该选名男性，名女性.

记名男性分别为、、、，名女性分别为、，

恰好选到一男一女的事件记为，则任选人派发购物券的所有可能结果为：、

、、、、、、、、、、、、、，共种，

事件包含的基本事件有：、、、、、、、，共种，

因此，.

21. 如图，椭圆经过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）由，结合即得解；

（2）设直线的方程为，与椭圆联立，设，，用点坐标表示，韦达定理代入即得解.

【详解】（1）由题设知，，结合，

解得.

所以椭圆的方程为.

（2）由题设知，直线的方程为，代入，得

.

由已知，

设，，，

则，，

从而直线的斜率之和

所以直线斜率之和为定值2.

【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.

22. 当时，函数（）有极值，

（1）求函数的解析式；

（2）若关于的方程有3个解，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题目条件得到方程组，求出的值，检验是否符合要求；（2）在第一问的基础上，构造，求导，求出其极值，列出不等式，求出实数的取值范围.

【小问1详解】

，

由题意得：，解得：，

经验证，函数在处有极值，故解析式为：．

【小问2详解】

令，由得：

令得，，

∴当时，，当时，，当时，，

因此，当时， 有极大值，

当时，有极小值，

关于的方程有3个解，等价于函数有三个零点，

所以

．

故实数的取值范围是