陕西省西安市莲湖区2021-2022学年高二文科数学下学期期末试题（Word版附解析）

莲湖区2021~2022学年度第二学期期末质量检测

高二数学（文科）试题

注意事项：

1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟；

2．答卷前，考生需准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；

3．第Ⅰ卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；

4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收．

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合的交集运算即可得答案.

【详解】因为，

所以

故选：A.

2. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】由，代入复数，利用复数的除法运算和几何意义可得答案.

【详解】因为复数，在复平面内对应的点分别为，，

所以，

则复数，

在复平面内对应的点位于第四象限.

故选：D.

3. 已知变量X和变量Y的线性相关系数为，变量U和变量V的线性相关系数为，且，则（    ）

A. X和Y之间呈正线性相关关系，且X和Y的线性相关程度强于U和V的线性相关程度

B. X和Y之间呈负线性相关关系，且X和Y的线性相关程度强于U和V的线性相关程度

C. U和V之间呈负线性相关关系，且X和Y的线性相关程度弱于U和V的线性相关程度

D. U和V之间呈正线性相关关系，且X和Y的线性相关程度弱于U和V的线性相关程度

【答案】C

【解析】

【分析】根据相关系数的概念判断即可.

【详解】解：，，

和之间呈正线性相关关系，和之间呈负线性相关关系，

，

和的线性相关程度弱于和的线性相关程度，

故选：C．

4. 函数的图像大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性可排除AC；再根据的大小即可排除B，即可得解.

【详解】解：，所以函数为奇函数，故排除AC；

又，排除B.
故选：D.

5. 使“｛或｝”成立的一个充分不必要条件是（    ）

A.  B. 或

C. 或 D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用充分不必要条件与集合的关系，判断选项.

【详解】设或，，若是的充分不必要条件，则，

满足条件的只有D.

故选：D

6. 已知，则a，b，c的大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用函数的单调性判断出，，，即可得到正确答案.

【详解】因为为减函数，所以，即；

因为为增函数，所以，即；

因为为增函数，所以，即；

所以.

故选：D

7. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为．现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用条件概率的公式进行求解.

【详解】从该校学生中任意调查一名学生他是近视记为事件A，且，从该校学生中任意调查一名学生他每天玩手机超过记为事件B，且由题可知，，所以从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过的概率为：.故B，C，D错误.

故选：A.

8. 现有个相同的小球，分别标有数字，从中有放回的随机抽取两次，每次抽取一个球，记：事件表示“第一次取出的球数字是”，事件表示“第二次取出的球数字是”，事件表示“两次取出的球的数字之和为”，事件表示“两次取出的球的数字之和为”，则下列选项正确的是（    ）

A. 事件和事件相互独立 B. 事件和事件相互独立

C. 事件和事件相互独立 D. 事件和事件相互独立

【答案】C

【解析】

【分析】首先求出然后求出进而根据事件独立的概率乘法公式即可判断.

【详解】

因为

故事件和事件相互独立

故选：C.

9. 某高中生周末自主学习时，进行了一次数学探究活动，他将一天的日期与星期用有序数对表示，比如某个月10日是星期六，11日是星期日，就分别用和表示，他构造了函数，其中x表示日期数，y表示星期数，若，则下列叙述正确的是（    ）

A. 该月12日是星期二，有五天是星期二 B. 该月12日是星期一，有四天是星期二

C. 该月27日是星期三，有四天是星期三 D. 该月27日是星期二，有四天是星期二

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意若，即该月4日是星期一，列表并逐一分析即可求解

【详解】根据题意，若，即该月4日是星期一，

列表可得：

由此表可得：

该月12日星期二，有四天是星期二，故A，B错误；

该月27日是星期三，有四天是星期三，故C正确，D错误；

故选：C

10. 已知命题：幂函数在上单调递增；命题：若函数为偶函数，则的图象关于直线对称．则下列命题为假命题的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先分别判断命题和命题的真假，然后再根据逻辑连接词“且”、“或”、“非”进行判断即可.

【详解】是偶函数，

幂函数在上单调递减，

在上单调递增，

命题为真命题；则为假命题；

函数为偶函数，

 的图象关于直线对称

命题为真命题；则为假命题；

又逻辑连接词“且”为“一假必假”，“或”为“一真必真”，

则对于A，为真命题；

对于B，为真命题；

对于C，假命题；

对于D，为真命题；

故选：C.

11. 已知函数，其中且，则下列结论正确的个数是（    ）

①函数是奇函数；

②函数有零点；

③函数没有最值；

④当时，函数在其定义域上为增函数．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】利用函数的单调性、奇偶性以及指数函数的性质进行判断.

【详解】因为，定义域为R，所以，所以为奇函数，所以，，故①，②正确；

当时，函数中的和都为增函数，故在定义域上为增函数，故④正确；

当时， 由上面可知在定义域R上为增函数，故没有最值，当时，函数中的和都为减函数，故在定义域R上为减函数，故没有最值，故③正确.

故选：D.

12. 设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．

【详解】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．

如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．

  【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13. 已知复数满足，其中为虚数单位，则_______.

【答案】

【解析】

【分析】首先化简复数，再求复数的模.

【详解】，

.

故答案为：

【点睛】本题考查复数的化简和求复数的模，意在考查基本计算，属于基础题型.

14. 执行如图所示的程序框图，则输出的_______________．

【答案】0

【解析】

【分析】根据框图，模拟程序运算即可求解.

【详解】第一次执行程序后，，

第二次执行程序后，，

此时不成立，

输出.

故答案为：0

15. 条件①对于定义域上的任意，都有；②对于定义域上的任意，当，都有，写出符合条件①②的函数的一个解析式_____．

【答案】(答案不唯一)

【解析】

【分析】根据条件①②确定函数的单调性和奇偶性，从而得出正确结论.

【详解】条件①：，所以为奇函数，

条件②：对于定义域上的任意，当，都有，所以为减函数.

所以函数的一个解析式为.

故答案为：(答案不唯一)

16. 已知表示不超过x的最大整数，如．若函数，则函数的最小值为_______．

【答案】1

【解析】

【详解】因为是表示不超过的最大正整数，所以，

又因为是上的增函数，所以.

故答案为：1.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答

（一）必考题：共60分．

17. 已知函数，且为奇函数．

（1）求实数b的值；

（2）求函数的值域．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)由为奇函数得.

(2)配方法求出二次函数的值域.

【小问1详解】

由题意可知，

又∵为奇函数，

∴，即．

【小问2详解】

由（1）知，

∴

，

．

∴函数的值域为．

18. 从某校学生中随机抽取了200名男生和100名女生，其中对滑冰运动没有兴趣的有90人，女生中有60人对滑冰运动有兴趣．为探究学生对滑冰运动的兴趣与性别的关系，列出列联表如下：

（1）请将上述列联表补充完整；

（2）能否有的把握认为对滑冰运动有无兴趣与性别有关？

附：，其中．

【答案】（1）列联表见解析   

（2）有的把握认为对滑冰运动有无兴趣与性别有关

【解析】

【分析】（1）直接根据题意完成表格即可；

（2）计算出的值即可得结果.

【小问1详解】

补充完整的列联表如下：

【小问2详解】∵，

∴有的把握认为对滑冰运动有无兴趣与性别有关．

19. 新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献．某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入x（亿元）与产品收益y（亿元）的数据统计如下：

（1）计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高）

（2）求出y关于x的线性回归方程，并预测研发投入20（亿元）时产品的收益．

参考数据：，，．

附：相关系数公式：，回归直线方程的斜率，截距．

【答案】（1），具有较高的线性相关程度   

（2），40.3亿元

【解析】

【分析】(1)将已知数据代入相关系数公式计算即可得结论.

(2)求出回归直线方程，将代入线性回归方程计算即可.

【小问1详解】

∵，，，

∴，

∴该中医药企业的研发投入x与产品收益y具有较高的线性相关程度．

【小问2详解】

∵，

，

∴．

∴y关于x的线性回归方程为，

将代入线性回归方程可得，，

∴预测研发投入20（亿元）时产品的收益为40.3（亿元）．

20. 为弘扬中国传统文化，某单位举行了诗词大赛，经过初赛，最终甲、乙两人进入决赛，争夺冠军．决赛规则如下：①比赛共设有五道题：②双方轮流答题，每次回答一道，两人答题的先后顺序通过抽签决定；③若答对，自己得1分，否则对方得1分：④先得3分者获胜．若在决赛中甲、乙答题的正确率分别为、，且他们每次答题的结果相互独立．

（1）若甲先答题，求甲以获得冠军的概率；

（2）若乙先答题，求甲获得冠军的概率．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1) 甲以获得冠军,包括第1题甲回答正确，第2题乙回答错误，第3题甲回答正确三种情况；

(2) 乙先答题，甲获得冠军的概率包括：甲以获得冠军、甲以获得冠军和甲以获得冠军三种情况.

【小问1详解】

解：∵甲以获得冠军，

∴第1题甲回答正确，其概率为，

第2题乙回答错误，其概率为，

第3题甲回答正确，其概率为．

∴若甲先答题，甲以获得冠军的概率为．

【小问2详解】

解：易知乙答题时，甲得1分的概率为；甲答题时，乙得1分的概率为，

当乙先答题时，

甲以获得冠军的概率为

，

甲以获得冠军的概率为

，

甲以获得冠军的概率为

，

∴甲获得冠军的概幸

21. 已知．

（1）当时，求函数的定义域及不等式的解集；

（2）若函数只有一个零点，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出函数的解析式及定义域，从而可求出函数的定义域，再根据对数函数的单调性解不等式即可；

（2）把函数只有一个零点转化为关于的方程只有一个正根，在分类讨论的取值求解即可得出答案.

【小问1详解】

解：当时，，

∴的定义域为，

∴，即，

∴函数的定义域为，

不等式等价于，

∴，即，

∴不等式的解集为；

【小问2详解】

解：，

∵函数只有一个零点，

∴只有一解，将代入，得，

∴关于x的方程只有一个正根，

当时，，符合题意；

当时，若有两个相等的实数根，

则，解得，此时，符合题意；

若方程有两个相异实数根，则，即，

∴两根之和与积均为，

∴方程两根只能异号，∴，即此时方程只有一个正根，符合题意．

综上，实数a的取值范围是：．

（二）选考题：共10分．考生从第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

22. 在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为：（其中为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为．

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）点B在曲线C上运动，求的最大值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，再把直角坐标方程化为极坐标方程即可；

（2）先求，再由求解即可

【小问1详解】

曲线（为参数），消去，

得，

整理得，

将代入上式，得，

∴曲线C的极坐标方程为．

【小问2详解】

由（1）可知，曲线C是以为圆心，为半径的圆，

∵点A的极坐标为，

∴点A的直角坐标为．

∴．

∴．

【选修4-5：不等式选讲】

23. 已知．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若关于x不等式恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）用零点分区间法去绝对值号，即可求解；

（2）利用绝对值的三角不等式求出，转化为求不等式，解得a的取值范围．

【小问1详解】

当时，

∴不等式等价于或解得或．

∴当时，不等式的解集为．

【小问2详解】

∵，即，

∴关于x的不等式恒成立，等价于，

∴，∴．

∴，即．

∴数a的取值范围为．