初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形教学设计

课题　等腰三角形的判定与反证法

【学习目标】

1．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．

2．了解反证法的基本证明思路，并能简单应用．

【学习重点】

等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．

【学习难点】

反证法的证明方法．

一、情景导入　生成问题

旧知回顾：

1．等腰三角形性质定理内容是什么？

等腰三角形两底角相等．

2．我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那么这两角所对的边也相等吗？

答：还成立．如图，△ABC中，∠B＝∠C.

求证：AB＝AC.

证明：作 AD⊥BC于D，由∠ADB＝∠ADC＝90°，∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴AB＝AC.

二、自学互研　生成能力

【自主探究】

阅读教材P8的内容，回答下列问题：

等腰三角形的判定定理内容是什么？

答：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”．

范例：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AB上一点，过D作DE⊥BC于E，并与CA的延长线相交于点F.求证：AD＝AF.

证明：在△ABC中，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C(等边对等角).

∵DE⊥BC，

∴∠DEB＝∠DEC＝90°，

∴∠2＋∠B＝∠F＋∠C＝90°，

∴∠2＝∠F，

∵∠1＝∠2，

∴∠1＝∠F，

∴AF＝AD(等角对等边).

仿例1：如图所示，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点，试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．

证明：∵AC＝BD，∠BAC＝∠ABD，AB＝BA，

∴△ABC≌△BAD(SAS)，

∴∠OAB＝∠OBA，

∴OA＝OB(等角对等边)，

∵OE是中线，

∴OE⊥AB.

仿例2：如图，在△ABC中，BC＝5  cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是5 cm.

归纳：注意等角对等边的灵活应用，仿例2中平行线和角平分线结合是得出等腰三角形的范例．

阅读教材P8－9的内容，回答下列问题：

什么是反证法？有哪些重要步骤？

答：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．

【合作探究】

1．用反证法证明“等腰三角形的底角都是锐角”．

已知：在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B、∠C都是锐角．

证明：假设∠B、∠C都是直角或钝角，

∴∠B≥90°，∠C≥90°，

∴∠B＋∠C≥90°＋90°＝180°，

∴∠A＋∠B＋∠C>180°，

这与三角形内角和为180°矛盾，

∴假设不成立，原命题的结论正确，

即∠B、∠C都是锐角．

2．用反证法证明一个三角形中不能有两个直角的第一步是假设这个三角形中有两个角是直角．

3．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°．

归纳：对直接证明有困难的命题均可用反证法证明，它有三个基本步骤：①反设；②推出矛盾；③否定反设、肯定命题成立．

三、交流展示　生成新知

【交流预展】

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

【展示提升】

知识模块一　等腰三角形的判定

知识模块二　反证法

四、检测反馈　达成目标

见《名师测控》学生用书．

五、课后反思　查漏补缺

1．收获：____________________________________

2．存在困惑：_________________________________________