湖北省部分省级示范高中2020-2021学年高二下学期期末数学试题（教师版含解析）

湖北省部分省级示范高中高二下学期期末测试

数 学 试 卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设全集为R，集合，，则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.

详解：由题意可得：，

结合交集的定义可得：.

本题选择B选项.

点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2. 若复数满足(为虚数单位)，则所对应的复平面内的点位于复平面的(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数的除法法则计算得到，得到答案.

【详解】，故，故对应点在第三象限.

故选：C.

3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】计算，根据抽象函数定义域得到，解得答案.

【详解】当时，，故，解得.

故选：C.

4. 中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课相邻排课，则“六艺”课程讲座排课顺序共有(    )

A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种

【答案】C

【解析】

【分析】先排“数”，然后排“射”和“御”，再排剩下的三门，由此计算出正确答案.

【详解】先排“数”，然后排“射”和“御”，方法有种，

再排剩下的三门，方法数有种，

故总的方法数有种.

故选：C

5. 年月日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现——个三星堆文化“祭祀坑”现已出土余件重要文物.为推测文物年代，考古学者通常用碳测年法推算，碳测年法是根据碳的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法.年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳年代测定，检测出碳的残留量约为初始量的，已知碳的半衰期(放射性物质质量衰减一半所用的时间)是年，且属于指数型衰减.以此推算出该文物大致年代是(    )

(参考数据：，)

A. 公元前年到公元前年 B. 公元前年到公元前年

C. 公元前年到公元前年 D. 公元前年到公元前年

【答案】C

【解析】

【分析】设样本中碳初始值为，衰减率为，经过年后，残留量为，可得函数关系式，根据半衰期可构造方程求得，由此得到函数关系式，根据可求得，由此可推断出年代.

【详解】设样本中碳初始值为，衰减率为，经过年后，残留量为，则，

碳的半衰期是年，，，；

由得：

，

年之前的年大致是公元前年，即大致年代为公元前年到公元前年之间.

故选：C.

6. 在平行四边形中，若则

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由，,利用平面向量的数量积运算,先求得利用平行四边形的性质可得结果.

【详解】如图所示,  
平行四边形中, , 

，

，

, 
因为, 
所以

, 
，

所以，故选C.

【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量的运算有两种方法：(１)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差)；(２)三角形法则(两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和).

7. 在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时，总共调查了N个学生()，其中男女学生各半，男生中60%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢；女生中40%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢．若有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，则可以推测N的最小值为(    )

附，

A. 400 B. 300 C. 200 D. 100

【答案】B

【解析】

【分析】根据题目列出列联表，再根据列联表的数据计算值，进而得到关于的关系式，求解即可.

【详解】由题可知，男女各人，列联表如下：

，

有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，

，解得，

，

，

.

故选：B

8. 过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，其中，，圆，若抛物线与圆交于两点，且，则点的横坐标为( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】设，先求得，因此可得抛物线C的方程为，设，由焦点弦长公式得到，进而得到点的横坐标.

【详解】易知圆过原点，设，

由，可得，又，联立可解得.

将代入中，解得，抛物线C的方程为，

设，则

由可得.

由可知，点是的中点，因此，点的横坐标为.

故选：B.

【点睛】结论点睛：抛物线焦点弦长公式：若是过抛物线焦点的弦，设，则.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知数列中，，则下列说法正确的是(    )

A.   B.  是等比数列

C.   D. 

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据已知条件判断出数列的奇数项和偶数项，分别是以为公比的等比数列，由此对选项逐一分析，从而确定正确选项.

【详解】依题意，

所以，则，，

，

所以数列的奇数项和偶数项，分别是以为公比的等比数列.

.

所以，A、B正确.

，C正确.

，D错误.

故选：ABC

10. 已知函数在区间上恰能取到2次最大值，且最多有4个零点，则下列说法中正确的有(    )

A. 在上恰能取到2次最小值 B. 的取值范围为

C. 在上一定有极值 D. 在上不单调

【答案】BD

【解析】

【分析】当时，，然后由条件可得，，解出的范围，然后注意判断即可.

【详解】当时，

由函数在区间上恰能取到2次最大值可得

由最多有4个零点可得，所以可得， 故B正确，

当时，在上只能取到1次最小值，故A错误

当时，，

当时，，无极值，故C错误

当时，

因为，所以在上不单调，故D正确

故选：BD

【点睛】方法点睛：在处理正弦型函数的有关问题时，常把当成整体处理.

11. 已知偶函数满足：，且当0≤x≤2时，，则下列说法正确的是(    )

A. －2≤x≤0时，

B. 点(1，0)是f(x)图象的一个对称中心

C. f(x)区间[－10，10]上有10个零点

D. 对任意，都有

【答案】AC

【解析】

【分析】由偶函数的定义得解析式，判断A，由上的解析式判断B，已知条件得是一条对称轴，这样函数是周期函数，周期为4，利用周期性可判断零点个数，判断C，由最值判断D．

【详解】因为是偶函数，所以时，，A正确；

在上，不关于对称，因此不是的一个对称中心，B错；

由得，因此在上，有两个零点，

又，所以是函数图象的一条对称轴，

，所以是周期函数，周期为4，因此在上各有2个零点，在上共有10个零点，C正确；

由周期性知，，，D错．

故选：AC．

【点睛】思路点睛：本题考查函数的奇偶性、对称性与周期性，解题关键是由两个对称性得出函数具有周期性，因此只要在一个周期内确定函数的零点，从而可得函数的性质可得整个定义域上函数的性质．

12. 截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则( )

A. 该截角四面体一共有12条棱

B. 该截角四面体一共有8个面

C. 该截角四面体的表面积为

D. 该截角四面体的体积为

【答案】BCD

【解析】

【分析】确定截角四面体是由4个边长为1的正三角形，4个边长为1的正六边形构成，然后分别求解四面体的表面积，体积即可判断选项.

【详解】对于AB，可知截角四面体是由4个边长为1的正三角形，4个边长为1的正六边形构成，故该截角四面体一共有8个面，18条棱，故A错误，B正确；

对于C，边长为1正三角形的面积，边长为1的正六边形的面积，故该截角四面体的表面积为，故C正确；

对于D，棱长为1的正四面体的高，利用等体积法可得该截角四面体的体积为，故D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：本题考查多面体的表面积及体积求法，解题的关键是审清题意，清楚截角四面体的定义及构成，考查学生的空间想象能力与运算求解能力，属于较难题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 某圆柱两个底面面积之和等于其侧面面积，则该圆柱底面半径与高的比值为________．

【答案】1

【解析】

【分析】设圆柱底面半径为，高为，求出底面积的侧面积，即可得结论．

【详解】设圆柱底面半径为，高为，

由题意，所以，即．

故答案为：1．

14. 若的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为______．(用数字作答)

【答案】

【解析】

【分析】由二项式系数的性质，求出n，再写出二项展开式的通项，由通项中x的指数为0即可得解.

【详解】的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则由二项式系数性质知：展开式共有9项，则n=8，

展开式的通项为，

展开式中常数项，必有，即，

所以展开式中常数项为.

故答案为：

15. 已知定义域为的函数恒满足，且在内单调递减，写出一个满足条件的函数解析式________．

【答案】(答案不唯一)

【解析】

【分析】根据函数的对称性、周期性、单调性写出符合题意的.

【详解】定义域为的函数恒满足，

所以的对称轴为和，且是以为周期的周期函数，

结合在内单调递减，可得符合题意.

故答案为：(答案不唯一)

16. 在对表面为曲面的工件进行磨削时应当选用尺寸适当的圆形砂轮，如果砂轮半径太大，则磨削时工件与砂轮接触处附近的那部分会磨去太多．现有一工件，其截面内表面是一长轴长为4，离心率为的椭圆，在对其内表面进行抛光时，所选用砂轮的半径最大为________．

【答案】##1.5

【解析】

【分析】根据实轴长和离心率得到椭圆方程为，设圆方程为，根据椭圆的圆相切得到，计算得到答案.

【详解】，，离心率，故，，

不妨设椭圆方程为：，

设圆半径为，椭圆与圆相切于左顶点或者右顶点时有最大值，

圆方程为：，联立方程：，

消去得到，，

解得.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．

已知的角对边分别为，而且_____．

(I)求；

(Ⅱ)求面积的最大值．

【答案】(I)；(Ⅱ)

【解析】

【分析】(I)选①，先利用正弦定理化简可得，进而得到，结合C的范围即可求得；

选②，先利用正弦定理可得(2a﹣b)a+(2b﹣a)b＝2c2，再利用余弦定理可得，结合C的范围即可求得；

(Ⅱ)由余弦定理可得，再利用基本不等式可得，进而求得△ABC面积的最大值．

【详解】解：(I)选①，∵a，

∴，

∵sinA≠0，

∴，即，

又0＜C＜π，

∴，故，即；

选②，∵(2a﹣b)sinA+(2b﹣a)sinB＝2csinC，

∴(2a﹣b)a+(2b﹣a)b＝2c2，即a2+b2﹣c2＝ab，

∴，

∵0＜C＜π，

∴；

(Ⅱ)由(I)可知，，

在△ABC中，由余弦定理得，即，

∴

∴，当且仅当那个a＝b时取等号，

∴，即△ABC面积的最大值为．

18. 已知等差数列和等比数列满足，，，，．

(1)求和的通项公式；

(2)若数列满足，求的前项之和．

【答案】(1)，   

(2)

【解析】

【分析】(1)根据等差数列和等比数列公式得到方程组，解得答案.

(2)计算，利用错位相减法计算得到答案.

小问1详解】

，即，，即，解得，，

故，.

【小问2详解】

，

，则，

两式相减得到：，

故.

19. 为做好精准扶贫工作，农科所经实地考察，发现某贫困村的土地适合种植药材，村民可以通过种植药材增加收入，达到脱贫标准.通过大量考察研究得到如下统计数据：药材的收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：

药材的亩产量在2020年的频率分布直方图如下：

(1)若药材的单价(单位：元/公斤)与年份编号间具有线性相关关系，请求出关于的回归直线方程，并估计2021年药材的单价；

(2)利用上述频率分布直方图估计药材的平均亩产量(同组数据以该数据所在区间的中点值为代表)；

(3)称亩产量不高于390公斤的田地为“待改良田”，将频率视为概率，现农科所研究员从这个村的地中随机选取3块面积为1亩的田地进行试验，记其中“待改良田”的个数为，求随机变量的数学期望.

参考公式：回归直线方程，其中，.

【答案】(1)，单价为元/公斤；(2)401公斤；(3).

【解析】

【分析】(1)先求出年号x，单价y的平均数，利用最小二乘法得回归直线方程，再由此预测得解；

(2)求出频率分布直方图中各组的频率，再求出它与所对各组区间中点值的积而得解；

(3)随机变量服从二项分布，由二项分布的期望公式求解即得.

详解】(1)，，

，

，故回归直线方程为，

当时，，从而2021年药材的单价估计为元/公斤；

(2)组距为20，自左向右各组的频率依次为，，，，，

则药材的平均亩产量为公斤；

(3)称亩产量不高于390公斤的频率为0.3，由此估计称亩产量不高于390公斤的概率为0.3，

因3块地中，任取一块地有“待改良田”和非“待改良田”两个不同结果，则随机变量，

故数学期望.

20. 如图，是边长为2的等边三角形，平面平面ABC，且，，,．

(1)求证：平面ABC；

(2)求平面ABC与平面BEF所成锐二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析；(2)．

【解析】

【分析】(1)根据四边形ACDE是菱形，得到，证得平面ABC，再由，证得平面ABC，进而得到平面平面ABC，即可证得平面ABC；

(2)取AC中点O，连接OB，OD，分别以OB，OC，CD所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，求得平面BEF和ABC的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】(1)因为，所以四边形ACDE是菱形，

所以，且平面ABC，所以平面ABC．

又因为，平面ABC，所以平面ABC，

因为，且平面，所以平面平面ABC，

又因为平面，所以平面ABC．

(2)取AC中点O，连接OB，OD，分别以OB，OC，CD所在直线x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，如图所示，

则，可得，

由，可得，

又由，可得，

所以，

设平面BEF的法向量为，则，可得，

取，则，所以，

又由平面ABC的一个法向量为，

所以，

所以平面ABC与平面BEF所成锐二面角的余弦值为．

【点睛】利用空间向量计算二面角的常用方法：

1、法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；

2、方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

21. 已知函数

(1)若，试求曲线在点处的切线方程；

(2)讨论的单调性．

【答案】(1)   

(2)答案见解析

【解析】

【分析】(1)求导得到导函数，计算，，得到切线方程.

(2)求导得到，考虑，，，四种情况，根据导数的正负得到函数的单调性.

【小问1详解】

，，，

，故切线方程为：.

【小问2详解】

，故，

当时，，当时，，当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减；

当时，得到，

当时，，当和时，，函数单调递增，当，时，，函数单调递减；

当时，， 恒成立，函数在R单调递增；

当时，，当和时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减；

综上所述：

当时，函数在上单调递增，在上单调递减；

当时，函数在和上单调递增， 在上单调递减；

当时，函数在上单调递增；

当时，函数在和上单调递增， 在上单调递减.

22. 已知椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为，短轴长为4.动点在双曲线(顶点除外)上运动，直线和与椭圆的交点分别为和.

(1)求椭圆的方程；

(2)证明：为定值，并求出此定值.

【答案】(1)；(2)证明见解析，

【解析】

【分析】(1)根据题意得，，进而得答案；

(2)由题设，故，进而设直线的方程为，直线的方程为，且，再联立方程，结合弦长公式得，，再化简整理即可得答案.

【详解】解：(1)由题意可知，，则，，

椭圆的方程为

(2)设，则，

由题意椭圆的两个焦点，刚好是双曲线的两个顶点，

不妨取，，

则.

故设直线的方程为，直线的方程为，

则，，

联立

设，，，

，

同理，

为定值，且定值为.

【点睛】本题考查椭圆的方程求解，椭圆中的定值问题，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于发现，进而设出直线的方程为，直线的方程为，与椭圆联立，并结合弦长公式计算得，，再化简整理即可求解.