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2022-2023学年湖北省部分省级示范高中高二上学期期末数学试题（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖北省部分省级示范高中高二上学期期末数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.椭圆y216+x212=1的焦距是
( )
A. 16B. 8C. 2D. 4
2.在等差数列an中，a2=7,a6=25，则a4=( )
A. 14B. 16C. 18D. 28
3.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率e= 5，则其渐近线的方程为
( )
A. y=±2xB. y=± 3xC. y=± 33xD. y=±12x
4.已知圆x2+y2−6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.设m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是
( )
A. 若m⊂α，n⊂β，α//β，则m//n
B. 若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
C. 若m//α，n//β，α⊥β，则m⊥n
D. 若m⊂α，n⊂β，m//β，n//α，则α//β
6.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=1，AD=2，AA1=3，M为B1C1的中点，则AM的长等于
( )
A. 11B. 10C. 3D. 7
7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2，过点F1且斜率为 157的直线l与C在x轴上方的交点为A.若AF1=F1F2，则C的离心率是
( )
A. 23B. 22C. 2− 2D. 3− 2
8.17世纪法国数学家费马在著作中证明，方程a2−x2=ky2(k>0,k≠1,a≠0)表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质若从椭圆上任意一点P(异于A，B两点)向长轴AB引垂线，垂足为Q，记M=|PQ|2|AQ|⋅|BQ|，则
( )
A. 方程a2−x2=ky2(k>0,k≠1,a≠0)表示的椭圆的焦点落在x轴上
B. e= M−1
C. M的值与P点在椭圆上的位置无关
D. M越来越小，椭圆的离心率越来越小
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列1, 3, 5, 7，…，则下列说法正确的是( )
A. 此数列的通项公式是 2n−1B. 3 5是它的第23项
C. 此数列的通项公式是 2n+1D. 3 5是它的第25项
10.已知圆C1:x2+y2−6x+6y+14=0和圆C2:x2+y2−2y−15=0，则
( )
A. C1C2=5B. 圆C1半径是4C. 两圆相交D. 两圆外离
11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线x=−1与x轴相交于点K，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C相交于P､Q两点，且P､Q两点在准线上的投影点分别为M､N，则下列结论正确的是
( )
A. p=2B. PQ的最小值为4
C. |MN|2PFQF为定值12D. ∠PKF=∠QKF
12.很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．如图，这是一个棱数24，棱长为2 2的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的．下列结论正确的有
( )
A. 该半正多面体的表面积为48+32 3
B. AG⊥平面BCDG
C. 点B到平面ACD的距离为4 33
D. 若E为线段BC的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值为3 510
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若直线2x+6y−1=0与直线mx−2y+7=0垂直，则m=_____________．
14.记Sn为等差数列an的前n项和，若S3=a5，a2−a1=2，则a5=_____．
15.已知A，B是平面上的两定点，|AB|=2，动点M满足|MA||MB|= 2,∠CAB=120∘，动点N在直线AC上，则MN距离的最小值为___________．
16.已知P是椭圆C1:x2a12+y2b12=1a1>b1>0和双曲线C2:x2a22−y2b22=1a2>0,b2>0的交点，F1，F2是C1，C2的公共焦点，e1，e2分别为C1，C2的离心率，若∠F1PF2=2π3，则1e1⋅1e2的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知等差数列an的前n项和为Sn,a5+a9=−2,S3=57．
(1)求数列an的通项公式an；
(2)求Sn，并求Sn的最大值．
18.(本小题12分)
已知抛物线C:y2=2px过点A(−2,−4)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程;
(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为60∘的直线，交抛物线于A,B两点，求线段AB的长度．
19.(本小题12分)
如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点．
(1)求直线FC1与直线B1E的所成角的余弦值；
(2)求点F到平面AB1E的距离．
20.(本小题12分)
如图，某海面上有O、A、B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40 2千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过O、A、B三点．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
21.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点，且PB⊥AM．
(1)求BC；
(2)求二面角A−PM−B的正弦值．
22.(本小题12分)
已知圆F1:x2+y2+2x+1−4a2=0(a>1)和定点F2(1,0)，P是圆F1上任意一点，线段PF2的垂直平分线交PF1于点M，设动点M的轨迹为曲线E，且曲线E与直线y=− 3相切．
(1)求曲线E的方程；
(2)若过点(0,2)且斜率为k的直线l与曲线E交于A，B两点，求▵OAB面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】根据椭圆方程求出 a,b,c 的值，即可得焦距 2c ．
解：由 y216+x212=1 可得 a2=16 ， b2=12 ，
所以 c2=a2−b2=16−12=4 ，可得 c=2 ，
所以焦距 2c=4 ，
故选： D ．
2.【答案】B
【解析】【分析】利用等差数列等差中项求解即可．
解：因为等差数列 an 中， a2=7,a6=25 ，
a4=a2+a62=16 ，
故选： B ．
3.【答案】A
【解析】【分析】利用双曲线的离心率和性质求解即可．
解：因为双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的离心率 e= 5 ，
所以由 ca= 5c2=a2+b2 得 5a2=a2+b2 ，
所以 ba=2 ，即渐近线方程为 y=±2x ，
故选：A
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线与圆相交的相交弦长公式，及圆心到直线的距离的最大时的求法，属于中基础题．
由相交弦长|AB|和圆的半径r及圆心C到过D(1,2)的直线的距离d之间的关系，求出弦长的最小值，即圆心到直线的距离最大时，而当直线与CD垂直时d最大，求出的最大值，进而求出弦长的最小值．
【解答】
解：根据题意，将圆的方程化为(x−3)2+y2 =9，所以圆心为C(3,0)，半径为3，设P(1,2)，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，弦长最短，此时|CP|= (3−1)2+(0−2)2= 2 2，所以弦长的最小值为2 9−CP 2 =2．
故选B．
5.【答案】B
【解析】【分析】根据面面平行性质可说明 m,n 可能异面可能平行，判断A;利用平面的法向量的关系可判断B;根据 m//α ， n//β ， α⊥β ，可判断 m,n 可能平行，不一定垂直，判断C;根据面面平行的判定可判断D．
解：对于A，若 m⊂α ， n⊂β ， α//β ，则 m,n 可能异面可能平行，A错误；
对于B，若 m⊥α ， n⊥β ，则可在直线m上取向量 m 作为平面 α 的法向量，
可在直线n上取向量 n 作为平面 β 的法向量，
因为 m⊥n ，故 m⊥n,∴m⋅n=0 ，所以 α⊥β ，B正确；
对于C，若 m//α ， n//β ， α⊥β ，则 m,n 可能平行，不一定垂直，C错误；
对于D，若 m⊂α ， n⊂β ， m//β ， n//α ，由于 m,n 可能是平行直线，
此时 α,β 可能相交，D错误，
故选：B．
6.【答案】A
【解析】【分析】以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，由向量模长的坐标运算可求得 AM ．
解：以 A 为坐标原点， AB,AD,AA1 正方向为 x,y,z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则 A0,0,0 ， B11,0,3 ， C11,2,3 ， ∴M1,1,3 ， ∴AM=1,1,3 ，
∴AM= 12+12+32= 11 ，即 AM 的长为 11 ．
故选：A．
7.【答案】A
【解析】【分析】根据 ∠AF1F2 的正切值，求出 ∠AF1F2 的余弦值，在 △AF1F2 用余弦定理求出 AF2 用 c 表示，再求解．
解：设 ∠AF1F2=α, 则 tanα= 157,csα=78 ，
又 AF1=F1F2=2c ，在 △AF1F2 中，由余弦定理得： AF22=4c2+4c2−2⋅2c⋅2c⋅78=c2
∴AF2=c∴2a=AF1+AF1=3c∴e=ca=23
故选：A
8.【答案】C
【解析】【分析】对选项A，根据椭圆的定义即可判断A错误，对选项B，根据题意得到 e= 1−M ，故B错误，对选项C，分别讨论焦点在 x 轴和 y 轴的情况，即可判断C正确，对选项D，根据 e= 1−M ，即可判断D错误．
解：对选项A，方程 a2−x2=ky2(k>0,k≠1,a≠0) ，
化简为 x2a2+y2a2k=1(k>0,k≠1,a≠0) ．
当 0a2 ，方程 x2a2+y2a2k=1 表示焦点在 y 轴的椭圆，故A错误．
对选项C，设 Px,y ，椭圆的焦点在 x 轴上，
PQ2=y2 ， AQ⋅BQ=x+aa−x=a2−x2 ， M=y2a2−x2=1k ，
因为 M=1k 为常数，所以 M 的值与 P 点在椭圆上的位置无关．
设 Px,y ，椭圆的焦点在 y 轴上，
PQ2=x2 ， AQ⋅BQ=y+ a2k a2k−y=a2k−y2 ， M=x2a2k−y2=k ，
因为 M=k 为常数，所以 M 的值与 P 点在椭圆上的位置无关，故C正确．
对选项B，当椭圆 x2a2+y2a2k=1 的焦点在 x 轴时， M=1k ，
e= a2−a2ka2= 1−1k= 1−M ．
当椭圆 x2a2+y2a2k=1 的焦点在 y 轴时， M=k ，
所以 e= a2k−a2a2k= 1−k= 1−M ，
综上 e= 1−M ，故B错误．
对选项D，因为 e= 1−M ，所以 M 越来越小，椭圆的离心率越来越大，故D错误．
故选：C
9.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查数列的通项公式，属于基础题．
先由数列的前几项，归纳得出数列的通项公式，再假设3 5是数列的第n项，根据通项公式解出n即可．
【解答】
解：由数列1， 3， 5， 7，…，可得an= 2n−1，
由an= 2n−1=3 5，解得n=23，
即3 5是数列的第23项，
故选：AB．
10.【答案】AC
【解析】【分析】先根据配方法确定两个圆的圆心和半径，再根据圆心距和半径的关系即可判断两圆的位置．
解：对于B，因为圆 C1:x2+y2−6x+6y+14=0 ，
所以圆 C1 的标准方程为 (x−3)2+(y+3)2=4 ，圆心为 C13,−3 ，半径为 r1=2 ，故B错误；
对于A，因为圆 C2:x2+y2−2y−15=0 ，
所以圆 C2 的标准方程为 x2+(y−1)2=16 ，圆心为 C20,1 ，半径为 r2=4 ，
所以 C1C2= 32+(−3−1)2=5 ，故A正确；
对于CD，因为 r2−r1故选：AC．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】由焦点到准线的距离可得 p 的值，进而求出抛物线的方程，可判断A正确；设直线 MN 的方程与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长 PQ 的表达式，再由参数的范围可得其最小值，判断B正确；分别表示出 MN,PF,QF 可判断C不正确；表示出 kPK=y1x1+1 ， kPQ=y2x2+1 ，由 kPK+kKQ=0 可判断D正确．
解：对于A，因为抛物线 C:y2=2px(p>0) 的准线 x=−1 ，
所以 p2=1 ，则 p=2 ，故A正确；
对于 B ，抛物线 C:y2=4x ，过焦点的直线为 x=my+1 ，则 x=my+1y2=4x ，
整理可得 y2−4my−4=0 ，设 Px1,y1,Qx2,y2 ，
可得 y1+y2=4m ， y1⋅y2=−4 ，
x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2 ， x1x2=y12y2216=1
所以 PQ=x1+x2+2=4m2+4 ，当 m=0 时取等号，
|PQ| 最小值为4，所以 B 正确；
对于C， MN=y1−y2= y1+y22−4y1⋅y2= 16m2+16=4 m2+1 ，
PF=x1+1,QF=x2+1,
所以 PF⋅QF=x1+1x2+1=x1x2+x1+x2+1=4m2+4,
所以 |MN|2PFQF=16m2+14m2+1=4 ，所以C不正确；
对于D， Px1,y1,Qx2,y2,K−1,0 ， kPK=y1x1+1 ， kPQ=y2x2+1 ，
kPK+kKQ=y1x1+1+y2x2+1=y1x2+1+y2x1+1x1+1x2+1=y1y224+1+y2y124+1x1+1x2+1
=y1y224+y2y124+y1+y2x1+1x2+1=14y1y2y1+y2+y1+y2x1+1x2+1 =14−4⋅4m+4m4m2+4=0
所以 ∠PKF=∠QKF ，故D正确．
故选：ABD．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】将该半正多面体补成正方体，即可求出正方体的棱长，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．
解：将该半正多面体补成正方体，因为该半正多面体的棱长为 2 2 ，所以正方体的棱长为 4 ，
所以该几何体的表面积为 6×2 22+8×12×2 2×2 2× 32=48+16 3 ，故A错误；
建立如图所示空间直角坐标系，则 A4,2,0 ， B2,0,4 ， C0,2,4 ， D2,4,4 ， G4,2,4 ， F4,4,2 ，
所以 AG=0,0,4 ， BC=−2,2,0 ， BG=2,2,0 ，
所以 AG⋅BC=0 ， AG⋅BG=0 ，即 AG⊥BC ， AG⊥BG ， BC∩BG=B ， BC,BG⊂ 平面 BCDG ，
所以 AG⊥ 平面 BCDG ，故B正确；
AC=−4,0,4 ， AD=−2,2,4 ， AB=−2,−2,4 ，
设平面 ACD 的法向量为 n=x,y,z ，
所以 n⋅AC=0n⋅AD=0 ，即 −4x+4z=0−2x+2y+4z=0 ，所以 n=1,−1,1 ，
则点 B 到平面 ACD 的距离 d=n⋅ABn=4 33 ，故C正确；
若 E 为线段 BC 的中点，则 E1,1,4 ，
所以 DE=−1,−3,0 ， AF=0,2,2 ，
则异面直线 DE 与 AF 所成角的余弦值 csDE,AF=DE⋅AFDE⋅AF=3 510 ，故D正确；
故选：BCD
13.【答案】6
【解析】【分析】根据直线 l1:A1x+B1y+C1=0 l2:A2x+B2y+C2=0 垂直满足 A1A2+B1B2=0 求解．
解：因为直线 2x+6y−1=0 与直线 mx−2y+7=0 垂直
所以 2⋅m+6×−2=0∴m=6
故答案为： 6
14.【答案】9
【解析】【分析】根据等差数列的性质求出 a1=1 ，再根据其通项即可得出 a5 ．
解：等差数列 an 中， S3=a5 ， a2−a1=2 ，
所以 3a2=a5 ，且 d=2 ，
即 3a1+3d=a1+4d ，
所以 2a1=d ，
解得 a1=12d=12×2=1 ，
所以 a5=a1+4d=1+4×2=9 ，
故答案为：9．
15.【答案】2 3−2 2
【解析】【分析】以 A 为原点建立平面直角坐标系，根据定义可得点 M 的轨迹是以 4,0 为圆心，
2 2 为半径的圆，则MN距离的最小值为圆心 4,0 到直线的距离减去半径．
解：如图，以 A 为原点， AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，则 A0,0,B2,0 ，
设动点 Mx,y ，则由 MAMB= 2 可得 x2+y2 x−22+y2= 2 ，整理可得 x−42+y2=8 ，
故点 M 的轨迹是以 4,0 为圆心， 2 2 为半径的圆，
易得直线 AC 的方程为 y=− 3x ，
则由图可知MN距离的最小值为圆心 4,0 到直线的距离减去半径，
则圆心到直线的距离为 4 3 32+12=2 3 ，
所以MN距离的最小值为 2 3−2 2 ．
16.【答案】0,1
【解析】【分析】根据椭圆与双曲线的定义把 PF1,PF2 用 a1,a2 来表示，然后在 △PF1F2 中用余弦定理求出 e1,e2 的关系，然后再用函数求解．
解：设 PF1=m,PF2=n
因为点 P 在椭圆上，所以 m+n=2a1 ①
又因为点 P 在双曲线上，所以 m−n=2a2 ②
则① + ②得 m=a1+a2 ；① − ② n=a1−a2
在 △PF1F2 中由余弦定理得： F1F22=m2+n2−2mncs2π3
即 4c2=a1+a22+a1−a22−2a1+a2a1−a2−12
即 4c2=3a12+a22 ，即 4=3a12c2+a22c2 即 4=3e12+1e22
所以 1<1e12<43,1e22=4−3e12 ，
令 1所以 1e1⋅1e2∈0,1 ．
故答案： 0,1 ．
17.【答案】解：(1)设等差数列 an 的公差为 d ，则
a5+a9=a1+4d+a1+8d=2a1+12d=−2 ， S3=3a1+a32=3×2a22=3a2=3a1+d=57
∴a1=23,d=−4,an=a1+n−1d=23−4⋅n−1=27−4n
(2)∴Sn=na1+nn−12d=23n−2nn−1=25n−2n2
Sn+1−Sn=25n+1−2n+12−25n+2n2=21−4n
当 n≤5 时， Sn+1−Sn>0 ，当 n≥6 时， Sn+1−Sn<0
所以 Snmax=S6=25×6−2×62=78
【解析】【分析】(1) a5+a9=−2,S3=57 化成 a1,d 的方程组解决．
(2)求出 Sn ，判断单调性，求最值．
18.【答案】解：(1)抛物线 C:y2=2px 过点 A(−2,−4) ，则 (−4)2=−4p,∴p=−4 ，
故抛物线 C 的方程为 y2=−8x ，其准线方程为 x=2 ．
(2)抛物线 C 的方程为 y2=−8x ，焦点为 F(−2,0) ，
则直线 AB 的方程为 y=tan60∘(x+2)= 3(x+2) ，
与y2=−8x联立 ，可得 3x2+20x+12=0 ， Δ=256>0 ，
设 A(x1,y1),B(x2,y2) ，则 x1+x2=−203 ，
由抛物线定义可得 |AB|=|AF|+|BF|=2−x1+(2−x2)=4−(x1+x2) ，
故 |AB|=4−(x1+x2)=4+203=323 ．
【解析】本题考查求抛物线的标准方程和准线，考查抛物线中的弦长问题，属于一般题．
(1)根据抛物线过的点可求得p的值，即可求得答案；
(2)写出直线 AB 的方程，联立抛物线方程，得到根与系数的关系，结合抛物线定义可求得抛物线弦长．
19.【答案】解：(1)建立如图所示空间直角坐标系，
F1,1,12,,C10,1,1,FC1=−1,0,12,B11,1,1,E0,0,12,B1E=−1,−1,−12 ，
设直线 FC1 与直线 B1E 的所成角为 θ ，
所以 csθ=FC1⋅B1EFC1⋅B1E=1−14 52×32= 55 ．
(2)F1,1,12,B11,1,1,FB1=0,0,12 ，
A1,0,0,E0,0,12,AE=−1,0,12,AB1=0,1,1 ，
设平面 AB1E 的法向量为 n=x,y,z ，
n⋅AE=−x+12z=0n⋅AB1=y+z=0 ，故可设 n=1,−2,2 ．
设 F 到平面 AB1E 的距离为 d ，
则 d=n⋅FB1n=13 ．
【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线 FC1 与直线 B1E 的所成角的余弦值．
(2)利用向量法求得点 F 到平面 AB1E 的距离．
20.【答案】解：(1)如图所示，A(40,40)，B(20,0)，
设过O、A、B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
得：F=0402+402+40D+40E+F=0202+20D+F=0,
解得D=−20，E=−60，F=0，
故所以圆C的方程为x2+y2−20x−60y=0，
圆心为C(10,30)，半径r=10 10，
(2)该船初始位置为点D，则D(−20,−20 3)，
且该船航线所在直线l的斜率为1，
故该船航行方向为直线l：x−y+20−20 3=0，
由于圆心C到直线l的距离d=|10−30+20−20 3| 12+12=10 6<10 10，
故该船有触礁的危险．
【解析】本题考查了圆的方程的求法，重点考查了点到直线的距离公式，属中档题．
(1)由圆过点O、A、B，设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
再将点O、A、B的坐标代入运算即可得解；
(2)由题意可得该船航行方向为直线l：x−y+20−20 3=0，再结合点到直线的距离公式可得圆心C到直线l的距离d=|10−30+20−20 3| 12+12=10 6<10 10，得解．
21.【答案】解：(1)因为PD⊥底面ABCD，且矩形ABCD中，AD⊥DC，
所以以D为原点，DA,DC,DP分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系D−xyz，
设BC=t，At,0,0,Bt,1,0,Mt2,1,0,P0,0,1，
所以PB=t,1,−1,AM=−t2,1,0，
因为PB⊥AM，
所以PB·AM=−t22+1=0，
所以t= 2，
所以BC= 2；
(2)设平面APM的一个法向量为m=x,y,z，
由于AP=− 2,0,1，
则m·AP=− 2x+z=0m·AM=− 22x+y=0,
令x= 2，得m= 2,1,2，
设平面PMB的一个法向量为n=x′,y′,z′，
由于MB=( 22,0,0)
则n·MB= 22x′=0n·PB= 2x′+y′−z′=0,
令y′=1，得n=0,1,1，
所以csm,n=m·nmn=3 7× 2=3 1414，
所以二面角A−PM−B的正弦值为 1−3 14142= 7014．
【解析】本题考查利用空间向量求面面的夹角、利用空间向量判定线线的垂直、同角三角函数的基本关系，属于中档题．
(1)建立空间直角坐标系，设BC=t，求出PB=t,1,−1,AM=−t2,1,0，由PB⊥AM，得出PB·AM=−t22+1=0，即可求出结果；
(2)分别求出平面APM的一个法向量为m和设平面PMB的一个法向量为n，代入公式csm,n=m·nmn，即可求出结果．
22.【答案】解：(1)由题意圆 F1:(x+1)2+y2=4a2(a>1) ，故圆心 F1(−1,0) ，半径 r=2a>2 ；
∵点 F2(1,0) 且线段 PF2 的垂直平分线交 PF1 于点M；
∴ MF2=MP,MF1+MP=2a ；
∴ MF1+MF2=2a>2=F1F2 ；
∴动点M的轨迹曲线E是以 F1、F2 ，为焦点， 2a 为长轴的椭圆；
∴曲线 E:x2a2+y2a2−1=1(a>1) ；
∵曲线E与直线 y=− 3 相切，故 a2−1=− 32 ， a=2 ；
∴曲线 E:x24+y23=1 ；
(2)依题直线 l:y=kx+2 ；
则由 y=kx+2x24+y23=1⇒3+4k2x2+16kx+4=0 ；
∵ Δ=162k2−4×4×3+4k2>0 ；
∴ k2>14⇒k<−12 或 k>12 ；
设 Ax1,y1,Bx2,y2
∵ x1+x2=−16k3+4k2,y1+y2=43+4k2
∴ AB= 1+k2⋅ x1+x22−4x1x2= 1+k2⋅ 162k23+4k22−163+4k2 ；
= 1+k23+4k2⋅ 162k2−163+4k2 ；
=4 3⋅ 1+k23+4k2⋅ 4k2−1 ；
原点O到直线l的距离 d=2 1+k2 ；
∴ S△OAB=12×d×|AB|=12×2 1+k2×4 3⋅ 1+k23+4k2⋅ 4k2−1
=4 3⋅ 4k2−13+4k22
=4 3⋅ 4k2−14k2−12+84k2−1+16
=4 3⋅ 14k2−1+8+164k2−1≤4 3⋅ 18+8= 3 ；
当且仅当 4k2−1=164k2−1 即 k=± 52 时取得最大值；
∴ ▵OAB 面积的最大值为 3 ．
【解析】【分析】(1)根据椭圆的定义求得曲线 E 的方程，
(2)求得三角形 ▵OAB 面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最大值．
1.椭圆y216+x212=1的焦距是
( )
A. 16B. 8C. 2D. 4
2.在等差数列an中，a2=7,a6=25，则a4=( )
A. 14B. 16C. 18D. 28
3.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率e= 5，则其渐近线的方程为
( )
A. y=±2xB. y=± 3xC. y=± 33xD. y=±12x
4.已知圆x2+y2−6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.设m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是
( )
A. 若m⊂α，n⊂β，α//β，则m//n
B. 若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
C. 若m//α，n//β，α⊥β，则m⊥n
D. 若m⊂α，n⊂β，m//β，n//α，则α//β
6.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=1，AD=2，AA1=3，M为B1C1的中点，则AM的长等于
( )
A. 11B. 10C. 3D. 7
7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2，过点F1且斜率为 157的直线l与C在x轴上方的交点为A.若AF1=F1F2，则C的离心率是
( )
A. 23B. 22C. 2− 2D. 3− 2
8.17世纪法国数学家费马在著作中证明，方程a2−x2=ky2(k>0,k≠1,a≠0)表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质若从椭圆上任意一点P(异于A，B两点)向长轴AB引垂线，垂足为Q，记M=|PQ|2|AQ|⋅|BQ|，则
( )
A. 方程a2−x2=ky2(k>0,k≠1,a≠0)表示的椭圆的焦点落在x轴上
B. e= M−1
C. M的值与P点在椭圆上的位置无关
D. M越来越小，椭圆的离心率越来越小
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列1, 3, 5, 7，…，则下列说法正确的是( )
A. 此数列的通项公式是 2n−1B. 3 5是它的第23项
C. 此数列的通项公式是 2n+1D. 3 5是它的第25项
10.已知圆C1:x2+y2−6x+6y+14=0和圆C2:x2+y2−2y−15=0，则
( )
A. C1C2=5B. 圆C1半径是4C. 两圆相交D. 两圆外离
11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线x=−1与x轴相交于点K，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C相交于P､Q两点，且P､Q两点在准线上的投影点分别为M､N，则下列结论正确的是
( )
A. p=2B. PQ的最小值为4
C. |MN|2PFQF为定值12D. ∠PKF=∠QKF
12.很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．如图，这是一个棱数24，棱长为2 2的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的．下列结论正确的有
( )
A. 该半正多面体的表面积为48+32 3
B. AG⊥平面BCDG
C. 点B到平面ACD的距离为4 33
D. 若E为线段BC的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值为3 510
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若直线2x+6y−1=0与直线mx−2y+7=0垂直，则m=_____________．
14.记Sn为等差数列an的前n项和，若S3=a5，a2−a1=2，则a5=_____．
15.已知A，B是平面上的两定点，|AB|=2，动点M满足|MA||MB|= 2,∠CAB=120∘，动点N在直线AC上，则MN距离的最小值为___________．
16.已知P是椭圆C1:x2a12+y2b12=1a1>b1>0和双曲线C2:x2a22−y2b22=1a2>0,b2>0的交点，F1，F2是C1，C2的公共焦点，e1，e2分别为C1，C2的离心率，若∠F1PF2=2π3，则1e1⋅1e2的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知等差数列an的前n项和为Sn,a5+a9=−2,S3=57．
(1)求数列an的通项公式an；
(2)求Sn，并求Sn的最大值．
18.(本小题12分)
已知抛物线C:y2=2px过点A(−2,−4)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程;
(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为60∘的直线，交抛物线于A,B两点，求线段AB的长度．
19.(本小题12分)
如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点．
(1)求直线FC1与直线B1E的所成角的余弦值；
(2)求点F到平面AB1E的距离．
20.(本小题12分)
如图，某海面上有O、A、B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40 2千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过O、A、B三点．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
21.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点，且PB⊥AM．
(1)求BC；
(2)求二面角A−PM−B的正弦值．
22.(本小题12分)
已知圆F1:x2+y2+2x+1−4a2=0(a>1)和定点F2(1,0)，P是圆F1上任意一点，线段PF2的垂直平分线交PF1于点M，设动点M的轨迹为曲线E，且曲线E与直线y=− 3相切．
(1)求曲线E的方程；
(2)若过点(0,2)且斜率为k的直线l与曲线E交于A，B两点，求▵OAB面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】根据椭圆方程求出 a,b,c 的值，即可得焦距 2c ．
解：由 y216+x212=1 可得 a2=16 ， b2=12 ，
所以 c2=a2−b2=16−12=4 ，可得 c=2 ，
所以焦距 2c=4 ，
故选： D ．
2.【答案】B
【解析】【分析】利用等差数列等差中项求解即可．
解：因为等差数列 an 中， a2=7,a6=25 ，
a4=a2+a62=16 ，
故选： B ．
3.【答案】A
【解析】【分析】利用双曲线的离心率和性质求解即可．
解：因为双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的离心率 e= 5 ，
所以由 ca= 5c2=a2+b2 得 5a2=a2+b2 ，
所以 ba=2 ，即渐近线方程为 y=±2x ，
故选：A
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线与圆相交的相交弦长公式，及圆心到直线的距离的最大时的求法，属于中基础题．
由相交弦长|AB|和圆的半径r及圆心C到过D(1,2)的直线的距离d之间的关系，求出弦长的最小值，即圆心到直线的距离最大时，而当直线与CD垂直时d最大，求出的最大值，进而求出弦长的最小值．
【解答】
解：根据题意，将圆的方程化为(x−3)2+y2 =9，所以圆心为C(3,0)，半径为3，设P(1,2)，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，弦长最短，此时|CP|= (3−1)2+(0−2)2= 2 2，所以弦长的最小值为2 9−CP 2 =2．
故选B．
5.【答案】B
【解析】【分析】根据面面平行性质可说明 m,n 可能异面可能平行，判断A;利用平面的法向量的关系可判断B;根据 m//α ， n//β ， α⊥β ，可判断 m,n 可能平行，不一定垂直，判断C;根据面面平行的判定可判断D．
解：对于A，若 m⊂α ， n⊂β ， α//β ，则 m,n 可能异面可能平行，A错误；
对于B，若 m⊥α ， n⊥β ，则可在直线m上取向量 m 作为平面 α 的法向量，
可在直线n上取向量 n 作为平面 β 的法向量，
因为 m⊥n ，故 m⊥n,∴m⋅n=0 ，所以 α⊥β ，B正确；
对于C，若 m//α ， n//β ， α⊥β ，则 m,n 可能平行，不一定垂直，C错误；
对于D，若 m⊂α ， n⊂β ， m//β ， n//α ，由于 m,n 可能是平行直线，
此时 α,β 可能相交，D错误，
故选：B．
6.【答案】A
【解析】【分析】以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，由向量模长的坐标运算可求得 AM ．
解：以 A 为坐标原点， AB,AD,AA1 正方向为 x,y,z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则 A0,0,0 ， B11,0,3 ， C11,2,3 ， ∴M1,1,3 ， ∴AM=1,1,3 ，
∴AM= 12+12+32= 11 ，即 AM 的长为 11 ．
故选：A．
7.【答案】A
【解析】【分析】根据 ∠AF1F2 的正切值，求出 ∠AF1F2 的余弦值，在 △AF1F2 用余弦定理求出 AF2 用 c 表示，再求解．
解：设 ∠AF1F2=α, 则 tanα= 157,csα=78 ，
又 AF1=F1F2=2c ，在 △AF1F2 中，由余弦定理得： AF22=4c2+4c2−2⋅2c⋅2c⋅78=c2
∴AF2=c∴2a=AF1+AF1=3c∴e=ca=23
故选：A
8.【答案】C
【解析】【分析】对选项A，根据椭圆的定义即可判断A错误，对选项B，根据题意得到 e= 1−M ，故B错误，对选项C，分别讨论焦点在 x 轴和 y 轴的情况，即可判断C正确，对选项D，根据 e= 1−M ，即可判断D错误．
解：对选项A，方程 a2−x2=ky2(k>0,k≠1,a≠0) ，
化简为 x2a2+y2a2k=1(k>0,k≠1,a≠0) ．
当 0
对选项C，设 Px,y ，椭圆的焦点在 x 轴上，
PQ2=y2 ， AQ⋅BQ=x+aa−x=a2−x2 ， M=y2a2−x2=1k ，
因为 M=1k 为常数，所以 M 的值与 P 点在椭圆上的位置无关．
设 Px,y ，椭圆的焦点在 y 轴上，
PQ2=x2 ， AQ⋅BQ=y+ a2k a2k−y=a2k−y2 ， M=x2a2k−y2=k ，
因为 M=k 为常数，所以 M 的值与 P 点在椭圆上的位置无关，故C正确．
对选项B，当椭圆 x2a2+y2a2k=1 的焦点在 x 轴时， M=1k ，
e= a2−a2ka2= 1−1k= 1−M ．
当椭圆 x2a2+y2a2k=1 的焦点在 y 轴时， M=k ，
所以 e= a2k−a2a2k= 1−k= 1−M ，
综上 e= 1−M ，故B错误．
对选项D，因为 e= 1−M ，所以 M 越来越小，椭圆的离心率越来越大，故D错误．
故选：C
9.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查数列的通项公式，属于基础题．
先由数列的前几项，归纳得出数列的通项公式，再假设3 5是数列的第n项，根据通项公式解出n即可．
【解答】
解：由数列1， 3， 5， 7，…，可得an= 2n−1，
由an= 2n−1=3 5，解得n=23，
即3 5是数列的第23项，
故选：AB．
10.【答案】AC
【解析】【分析】先根据配方法确定两个圆的圆心和半径，再根据圆心距和半径的关系即可判断两圆的位置．
解：对于B，因为圆 C1:x2+y2−6x+6y+14=0 ，
所以圆 C1 的标准方程为 (x−3)2+(y+3)2=4 ，圆心为 C13,−3 ，半径为 r1=2 ，故B错误；
对于A，因为圆 C2:x2+y2−2y−15=0 ，
所以圆 C2 的标准方程为 x2+(y−1)2=16 ，圆心为 C20,1 ，半径为 r2=4 ，
所以 C1C2= 32+(−3−1)2=5 ，故A正确；
对于CD，因为 r2−r1
11.【答案】ABD
【解析】【分析】由焦点到准线的距离可得 p 的值，进而求出抛物线的方程，可判断A正确；设直线 MN 的方程与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长 PQ 的表达式，再由参数的范围可得其最小值，判断B正确；分别表示出 MN,PF,QF 可判断C不正确；表示出 kPK=y1x1+1 ， kPQ=y2x2+1 ，由 kPK+kKQ=0 可判断D正确．
解：对于A，因为抛物线 C:y2=2px(p>0) 的准线 x=−1 ，
所以 p2=1 ，则 p=2 ，故A正确；
对于 B ，抛物线 C:y2=4x ，过焦点的直线为 x=my+1 ，则 x=my+1y2=4x ，
整理可得 y2−4my−4=0 ，设 Px1,y1,Qx2,y2 ，
可得 y1+y2=4m ， y1⋅y2=−4 ，
x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2 ， x1x2=y12y2216=1
所以 PQ=x1+x2+2=4m2+4 ，当 m=0 时取等号，
|PQ| 最小值为4，所以 B 正确；
对于C， MN=y1−y2= y1+y22−4y1⋅y2= 16m2+16=4 m2+1 ，
PF=x1+1,QF=x2+1,
所以 PF⋅QF=x1+1x2+1=x1x2+x1+x2+1=4m2+4,
所以 |MN|2PFQF=16m2+14m2+1=4 ，所以C不正确；
对于D， Px1,y1,Qx2,y2,K−1,0 ， kPK=y1x1+1 ， kPQ=y2x2+1 ，
kPK+kKQ=y1x1+1+y2x2+1=y1x2+1+y2x1+1x1+1x2+1=y1y224+1+y2y124+1x1+1x2+1
=y1y224+y2y124+y1+y2x1+1x2+1=14y1y2y1+y2+y1+y2x1+1x2+1 =14−4⋅4m+4m4m2+4=0
所以 ∠PKF=∠QKF ，故D正确．
故选：ABD．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】将该半正多面体补成正方体，即可求出正方体的棱长，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．
解：将该半正多面体补成正方体，因为该半正多面体的棱长为 2 2 ，所以正方体的棱长为 4 ，
所以该几何体的表面积为 6×2 22+8×12×2 2×2 2× 32=48+16 3 ，故A错误；
建立如图所示空间直角坐标系，则 A4,2,0 ， B2,0,4 ， C0,2,4 ， D2,4,4 ， G4,2,4 ， F4,4,2 ，
所以 AG=0,0,4 ， BC=−2,2,0 ， BG=2,2,0 ，
所以 AG⋅BC=0 ， AG⋅BG=0 ，即 AG⊥BC ， AG⊥BG ， BC∩BG=B ， BC,BG⊂ 平面 BCDG ，
所以 AG⊥ 平面 BCDG ，故B正确；
AC=−4,0,4 ， AD=−2,2,4 ， AB=−2,−2,4 ，
设平面 ACD 的法向量为 n=x,y,z ，
所以 n⋅AC=0n⋅AD=0 ，即 −4x+4z=0−2x+2y+4z=0 ，所以 n=1,−1,1 ，
则点 B 到平面 ACD 的距离 d=n⋅ABn=4 33 ，故C正确；
若 E 为线段 BC 的中点，则 E1,1,4 ，
所以 DE=−1,−3,0 ， AF=0,2,2 ，
则异面直线 DE 与 AF 所成角的余弦值 csDE,AF=DE⋅AFDE⋅AF=3 510 ，故D正确；
故选：BCD
13.【答案】6
【解析】【分析】根据直线 l1:A1x+B1y+C1=0 l2:A2x+B2y+C2=0 垂直满足 A1A2+B1B2=0 求解．
解：因为直线 2x+6y−1=0 与直线 mx−2y+7=0 垂直
所以 2⋅m+6×−2=0∴m=6
故答案为： 6
14.【答案】9
【解析】【分析】根据等差数列的性质求出 a1=1 ，再根据其通项即可得出 a5 ．
解：等差数列 an 中， S3=a5 ， a2−a1=2 ，
所以 3a2=a5 ，且 d=2 ，
即 3a1+3d=a1+4d ，
所以 2a1=d ，
解得 a1=12d=12×2=1 ，
所以 a5=a1+4d=1+4×2=9 ，
故答案为：9．
15.【答案】2 3−2 2
【解析】【分析】以 A 为原点建立平面直角坐标系，根据定义可得点 M 的轨迹是以 4,0 为圆心，
2 2 为半径的圆，则MN距离的最小值为圆心 4,0 到直线的距离减去半径．
解：如图，以 A 为原点， AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，则 A0,0,B2,0 ，
设动点 Mx,y ，则由 MAMB= 2 可得 x2+y2 x−22+y2= 2 ，整理可得 x−42+y2=8 ，
故点 M 的轨迹是以 4,0 为圆心， 2 2 为半径的圆，
易得直线 AC 的方程为 y=− 3x ，
则由图可知MN距离的最小值为圆心 4,0 到直线的距离减去半径，
则圆心到直线的距离为 4 3 32+12=2 3 ，
所以MN距离的最小值为 2 3−2 2 ．
16.【答案】0,1
【解析】【分析】根据椭圆与双曲线的定义把 PF1,PF2 用 a1,a2 来表示，然后在 △PF1F2 中用余弦定理求出 e1,e2 的关系，然后再用函数求解．
解：设 PF1=m,PF2=n
因为点 P 在椭圆上，所以 m+n=2a1 ①
又因为点 P 在双曲线上，所以 m−n=2a2 ②
则① + ②得 m=a1+a2 ；① − ② n=a1−a2
在 △PF1F2 中由余弦定理得： F1F22=m2+n2−2mncs2π3
即 4c2=a1+a22+a1−a22−2a1+a2a1−a2−12
即 4c2=3a12+a22 ，即 4=3a12c2+a22c2 即 4=3e12+1e22
所以 1<1e12<43,1e22=4−3e12 ，
令 1
故答案： 0,1 ．
17.【答案】解：(1)设等差数列 an 的公差为 d ，则
a5+a9=a1+4d+a1+8d=2a1+12d=−2 ， S3=3a1+a32=3×2a22=3a2=3a1+d=57
∴a1=23,d=−4,an=a1+n−1d=23−4⋅n−1=27−4n
(2)∴Sn=na1+nn−12d=23n−2nn−1=25n−2n2
Sn+1−Sn=25n+1−2n+12−25n+2n2=21−4n
当 n≤5 时， Sn+1−Sn>0 ，当 n≥6 时， Sn+1−Sn<0
所以 Snmax=S6=25×6−2×62=78
【解析】【分析】(1) a5+a9=−2,S3=57 化成 a1,d 的方程组解决．
(2)求出 Sn ，判断单调性，求最值．
18.【答案】解：(1)抛物线 C:y2=2px 过点 A(−2,−4) ，则 (−4)2=−4p,∴p=−4 ，
故抛物线 C 的方程为 y2=−8x ，其准线方程为 x=2 ．
(2)抛物线 C 的方程为 y2=−8x ，焦点为 F(−2,0) ，
则直线 AB 的方程为 y=tan60∘(x+2)= 3(x+2) ，
与y2=−8x联立 ，可得 3x2+20x+12=0 ， Δ=256>0 ，
设 A(x1,y1),B(x2,y2) ，则 x1+x2=−203 ，
由抛物线定义可得 |AB|=|AF|+|BF|=2−x1+(2−x2)=4−(x1+x2) ，
故 |AB|=4−(x1+x2)=4+203=323 ．
【解析】本题考查求抛物线的标准方程和准线，考查抛物线中的弦长问题，属于一般题．
(1)根据抛物线过的点可求得p的值，即可求得答案；
(2)写出直线 AB 的方程，联立抛物线方程，得到根与系数的关系，结合抛物线定义可求得抛物线弦长．
19.【答案】解：(1)建立如图所示空间直角坐标系，
F1,1,12,,C10,1,1,FC1=−1,0,12,B11,1,1,E0,0,12,B1E=−1,−1,−12 ，
设直线 FC1 与直线 B1E 的所成角为 θ ，
所以 csθ=FC1⋅B1EFC1⋅B1E=1−14 52×32= 55 ．
(2)F1,1,12,B11,1,1,FB1=0,0,12 ，
A1,0,0,E0,0,12,AE=−1,0,12,AB1=0,1,1 ，
设平面 AB1E 的法向量为 n=x,y,z ，
n⋅AE=−x+12z=0n⋅AB1=y+z=0 ，故可设 n=1,−2,2 ．
设 F 到平面 AB1E 的距离为 d ，
则 d=n⋅FB1n=13 ．
【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线 FC1 与直线 B1E 的所成角的余弦值．
(2)利用向量法求得点 F 到平面 AB1E 的距离．
20.【答案】解：(1)如图所示，A(40,40)，B(20,0)，
设过O、A、B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
得：F=0402+402+40D+40E+F=0202+20D+F=0,
解得D=−20，E=−60，F=0，
故所以圆C的方程为x2+y2−20x−60y=0，
圆心为C(10,30)，半径r=10 10，
(2)该船初始位置为点D，则D(−20,−20 3)，
且该船航线所在直线l的斜率为1，
故该船航行方向为直线l：x−y+20−20 3=0，
由于圆心C到直线l的距离d=|10−30+20−20 3| 12+12=10 6<10 10，
故该船有触礁的危险．
【解析】本题考查了圆的方程的求法，重点考查了点到直线的距离公式，属中档题．
(1)由圆过点O、A、B，设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
再将点O、A、B的坐标代入运算即可得解；
(2)由题意可得该船航行方向为直线l：x−y+20−20 3=0，再结合点到直线的距离公式可得圆心C到直线l的距离d=|10−30+20−20 3| 12+12=10 6<10 10，得解．
21.【答案】解：(1)因为PD⊥底面ABCD，且矩形ABCD中，AD⊥DC，
所以以D为原点，DA,DC,DP分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系D−xyz，
设BC=t，At,0,0,Bt,1,0,Mt2,1,0,P0,0,1，
所以PB=t,1,−1,AM=−t2,1,0，
因为PB⊥AM，
所以PB·AM=−t22+1=0，
所以t= 2，
所以BC= 2；
(2)设平面APM的一个法向量为m=x,y,z，
由于AP=− 2,0,1，
则m·AP=− 2x+z=0m·AM=− 22x+y=0,
令x= 2，得m= 2,1,2，
设平面PMB的一个法向量为n=x′,y′,z′，
由于MB=( 22,0,0)
则n·MB= 22x′=0n·PB= 2x′+y′−z′=0,
令y′=1，得n=0,1,1，
所以csm,n=m·nmn=3 7× 2=3 1414，
所以二面角A−PM−B的正弦值为 1−3 14142= 7014．
【解析】本题考查利用空间向量求面面的夹角、利用空间向量判定线线的垂直、同角三角函数的基本关系，属于中档题．
(1)建立空间直角坐标系，设BC=t，求出PB=t,1,−1,AM=−t2,1,0，由PB⊥AM，得出PB·AM=−t22+1=0，即可求出结果；
(2)分别求出平面APM的一个法向量为m和设平面PMB的一个法向量为n，代入公式csm,n=m·nmn，即可求出结果．
22.【答案】解：(1)由题意圆 F1:(x+1)2+y2=4a2(a>1) ，故圆心 F1(−1,0) ，半径 r=2a>2 ；
∵点 F2(1,0) 且线段 PF2 的垂直平分线交 PF1 于点M；
∴ MF2=MP,MF1+MP=2a ；
∴ MF1+MF2=2a>2=F1F2 ；
∴动点M的轨迹曲线E是以 F1、F2 ，为焦点， 2a 为长轴的椭圆；
∴曲线 E:x2a2+y2a2−1=1(a>1) ；
∵曲线E与直线 y=− 3 相切，故 a2−1=− 32 ， a=2 ；
∴曲线 E:x24+y23=1 ；
(2)依题直线 l:y=kx+2 ；
则由 y=kx+2x24+y23=1⇒3+4k2x2+16kx+4=0 ；
∵ Δ=162k2−4×4×3+4k2>0 ；
∴ k2>14⇒k<−12 或 k>12 ；
设 Ax1,y1,Bx2,y2
∵ x1+x2=−16k3+4k2,y1+y2=43+4k2
∴ AB= 1+k2⋅ x1+x22−4x1x2= 1+k2⋅ 162k23+4k22−163+4k2 ；
= 1+k23+4k2⋅ 162k2−163+4k2 ；
=4 3⋅ 1+k23+4k2⋅ 4k2−1 ；
原点O到直线l的距离 d=2 1+k2 ；
∴ S△OAB=12×d×|AB|=12×2 1+k2×4 3⋅ 1+k23+4k2⋅ 4k2−1
=4 3⋅ 4k2−13+4k22
=4 3⋅ 4k2−14k2−12+84k2−1+16
=4 3⋅ 14k2−1+8+164k2−1≤4 3⋅ 18+8= 3 ；
当且仅当 4k2−1=164k2−1 即 k=± 52 时取得最大值；
∴ ▵OAB 面积的最大值为 3 ．
【解析】【分析】(1)根据椭圆的定义求得曲线 E 的方程，
(2)求得三角形 ▵OAB 面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最大值．
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