2022-2023学年湖北省部分省级示范高中高二上学期期末数学试题含解析

2022-2023学年湖北省部分省级示范高中高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．椭圆的焦距是（    ）

A．16 B．8 C．2 D．4

【答案】D

【分析】根据椭圆方程求出的值，即可得焦距.

【详解】由可得，，

所以，可得，

所以焦距，

故选：.

2．在等差数列中，，则（    ）

A．14 B．16 C．18 D．28

【答案】B

【分析】利用等差数列等差中项求解即可.

【详解】因为等差数列中，，

，

故选：.

3．已知双曲线的离心率，则其渐近线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用双曲线的离心率和性质求解即可.

【详解】因为双曲线的离心率，

所以由得，

所以，即渐近线方程为，

故选：A

4．已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】计算出圆的圆心和半径，设，由几何性质得到当与圆的弦垂直时，弦最短，利用垂径定理求解出最短弦长.

【详解】整理为，故圆心为，半径为，

设，故当与圆的弦垂直时，弦最短，

其中，

由垂径定理得：.

故选：B

5．设，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）

A．若，，,则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，，则

【答案】B

【分析】根据面面平行性质可说明可能异面可能平行，判断A;利用平面的法向量的关系可判断B; 根据，，，可判断可能平行，不一定垂直，判断C;根据面面平行的判定可判断D.

【详解】对于A，若，，，则可能异面可能平行，A错误；

对于B，若，，则可在直线m上取向量作为平面的法向量，

可在直线n上取向量作为平面的法向量，

因为，故，所以，B正确；

对于C，若，，，则可能平行，不一定垂直，C错误；

对于D, 若，，，，由于可能是平行直线，

此时可能相交，D错误，

故选：B.

6．在长方体中，已知，，，为的中点，则的长等于（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，由向量模长的坐标运算可求得.

【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，

，即的长为.

故选：A.

7．已知椭圆的左右焦点分别为，过点且斜率为的直线l与C在x轴上方的交点为A．若，则C的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据的正切值，求出的余弦值，在用余弦定理求出用表示，再求解.

【详解】设则，

又，在中，由余弦定理得：

故选：A

8．17世纪法国数学家费马在著作中证明，方程表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质若从椭圆上任意一点P（异于A，B两点）向长轴引垂线，垂足为Q，记，则（    ）

A．方程表示的椭圆的焦点落在x轴上

B．

C．M的值与P点在椭圆上的位置无关

D．M越来越小，椭圆的离心率越来越小

【答案】C

【分析】对选项A，根据椭圆的定义即可判断A错误，对选项B，根据题意得到，故B错误，对选项C，分别讨论焦点在轴和轴的情况，即可判断C正确，对选项D，根据，即可判断D错误.

【详解】对选项A，方程，

化简为.

当时，则，方程表示焦点在轴的椭圆，故A错误.

对选项C，设，椭圆的焦点在轴上，

，，，

因为为常数，所以的值与点在椭圆上的位置无关.

设，椭圆的焦点在轴上，

，，，

因为为常数，所以的值与点在椭圆上的位置无关，故C正确.

对选项B，当椭圆的焦点在轴时，，

.

当椭圆的焦点在轴时，，

所以，

综上，故B错误.

对选项D，因为，所以越来越小，椭圆的离心率越来越大，故D错误.

故选：C

二、多选题

9．已知数列，则下列说法正确的是  （     ）

A．此数列的通项公式是

B．是它的第23项

C．此数列的通项公式是

D．是它的第25项

【答案】AB

【分析】根据已知条件求得数列的通项公式，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】数列，

所以，A选项正确，C选项错误.

，B选项正确，

，D选项错误.

故选：AB

10．已知圆和圆，则（    ）

A． B．圆半径是4 C．两圆相交 D．两圆外离

【答案】AC

【分析】先根据配方法确定两个圆的圆心和半径，再根据圆心距和半径的关系即可判断两圆的位置.

【详解】对于B，因为圆，

所以圆的标准方程为，圆心为，半径为，故B错误；

对于A，因为圆，

所以圆的标准方程为，圆心为，半径为，

所以，故A正确；

对于CD，因为，所以两圆相交，故C正确，D错误.

故选：AC.

11．已知抛物线的准线与轴相交于点，过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，且两点在准线上的投影点分别为，则下列结论正确的是（    ）

A． B．的最小值为4

C．为定值 D．

【答案】ABD

【分析】由焦点到准线的距离可得的值，进而求出抛物线的方程，可判断A正确；设直线的方程与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长的表达式，再由参数的范围可得其最小值，判断B正确；分别表示出可判断C不正确；表示出，，由可判断D正确．

【详解】对于A，因为抛物线的准线，

所以，则，故A正确；

对于，抛物线，过焦点的直线为，则，

整理可得，设，

可得，，

，

所以，当 时取等号，

最小值为4，所以正确；

对于C，，

所以

所以，所以C不正确；

对于D，，，，

所以，故D正确.

故选：ABD.

12．很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．如图，这是一个棱数，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的．下列结论正确的有（    ）

A．该半正多面体的表面积为 B．平面

C．点到平面的距离为 D．若为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为

【答案】BCD

【分析】将该半正多面体补成正方体，即可求出正方体的棱长，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】解：将该半正多面体补成正方体， 因为该半正多面体的棱长为，所以正方体的棱长为，

所以该几何体的表面积为，故A错误；

建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，

所以，，，

所以，，即，，，平面，

所以平面，故B正确；

，，，

设平面的法向量为，

所以，即，所以，

则点到平面的距离，故C正确；

若为线段的中点，则，

所以，，

则异面直线与所成角的余弦值，故D正确；

故选：BCD

三、填空题

13．若直线与直线垂直，则_____________．

【答案】

【分析】根据直线垂直满足求解.

【详解】因为直线与直线垂直

所以

故答案为：

14．记为等差数列的前项和，若，，则_____．

【答案】

【分析】根据等差数列的性质求出，再根据其通项即可得出.

【详解】解：等差数列中，，，

所以，且，

即，

所以，

解得，

所以，

故答案为：9.

15．已知A，B是平面上的两定点，，动点M满足，动点N在直线上，则距离的最小值为___________．

【答案】

【分析】以为原点建立平面直角坐标系，根据定义可得点的轨迹是以为圆心，

为半径的圆，则MN距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径.

【详解】如图，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，则，

设动点，则由可得，整理可得，

故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

易得直线的方程为，

则由图可知MN距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径，

则圆心到直线的距离为，

所以MN距离的最小值为.

故选：C.

16．已知是椭圆和双曲线的交点，，是，的公共焦点，，分别为，的离心率，若，则的取值范围为______．

【答案】

【分析】根据椭圆与双曲线的定义把用来表示，然后在中用余弦定理求出的关系，然后再用函数求解.

【详解】设

因为点在椭圆上，所以①

又因为点在双曲线上，所以②

则①②得；①②

在中由余弦定理得：

即

即，即即

所以，

令，则

所以.

故答案：.

四、解答题

17．已知等差数列的前n项和为．

(1)求数列的通项公式；

(2)求，并求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）化成的方程组解决.

（2） 求出，判断单调性，求最值.

【详解】（1）设等差数列的公差为，则

，

（2）

当时，，当时，

所以

18．已知抛物线过点．

(1)求抛物线的方程，并求其准线方程；

(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于、两点，求线段的长度．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）将点代入抛物线方程即可求得的方程，由抛物线方程可得准线方程；

（2）设，与抛物线方程联立可得韦达定理形式，利用抛物线焦点弦长公式可直接得到结果.

【详解】（1）过点，，解得：，

抛物线，准线方程为：

（2）由（1）知：抛物线焦点为，

因为直线倾斜角为，

所以设直线，，，

由得：，，

.

19．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点.

(1)求直线与直线的所成角的余弦值；

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与直线的所成角的余弦值.

（2）利用向量法求得点到平面的距离.

【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，

，

设直线与直线的所成角为，

所以.

（2），

，

设平面的法向量为，

，故可设.

设到平面的距离为，

则.

20．如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B三点．

(1)求圆C的标准方程；

(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？

【答案】(1)

(2)该船没有触礁的危险

【分析】（1）由图中坐标系得坐标，设出圆的一般方程，代入三点坐标求解，然后把一般方程配方得标准方程；

（2）先求出航行方向所在直线方程，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得．

【详解】（1）如图所示，，

设过O、A、B三点的圆C的方程为，

得：，解得，

故所以圆C的方程为，

圆心为，半径，

（2）该船初始位置为点D，则，

且该船航线所在直线l的斜率为,

故该船航行方向为直线，

由于圆心C到直线l的距离，

故该船没有触礁的危险

21．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．

(1)求；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用求得.

（2）利用向量法求得二面角的余弦值.

【详解】（1）平面，平面，所以，

四边形为矩形，，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则、、、、，

则，，

，则，

解得，故；

（2）设平面的法向量为，则，，

由，取，可得，

设平面的法向量为，，，

由，取，可得，

设二面角的平面角为，

则，

由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

22．已知圆和定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点M，设动点M的轨迹为曲线E，且曲线E与直线相切．

(1)求曲线E的方程；

(2)若过点且斜率为k的直线l与曲线E交于A，B两点，求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆的定义求得曲线的方程，

（2）求得三角形面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最大值.

【详解】（1）由题意圆，故圆心，半径；

∵点且线段的垂直平分线交于点M；

∴；

∴；

∴动点M的轨迹曲线E是以，为焦点，为长轴的椭圆；

∴曲线；

∵曲线E与直线相切，故，；

∴曲线；

（2）依题直线；

则由；

∵；

∴或；

设

∵

∴；

；

；

原点O到直线l的距离；

∴

；

当且仅当即时取得最大值；

∴面积的最大值为.