湖北省部分省级示范高中2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含解析）

这是一份湖北省部分省级示范高中2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含解析），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共0分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦距是( )
A. 16B. 8C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆方程求出 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得焦距 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以焦距 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
2. 在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. 14B. 16C. 18D. 28
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列等差中项求解即可.
【详解】因为等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
3. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，则其渐近线的方程为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】利用双曲线的离心率和性质求解即可.
【详解】因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
4. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A. 1B. 2
C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】当直线和圆心与点 SKIPIF 1 < 0 的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆心 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，当过点 SKIPIF 1 < 0 的直线和直线 SKIPIF 1 < 0 垂直时，圆心到过点 SKIPIF 1 < 0 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时 SKIPIF 1 < 0
根据弦长公式得最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.
5. 设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是空间中两条不同的直线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
B. 若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D. 若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据面面平行性质可说明 SKIPIF 1 < 0 可能异面可能平行，判断A;利用平面的法向量的关系可判断B; 根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可判断 SKIPIF 1 < 0 可能平行，不一定垂直，判断C;根据面面平行的判定可判断D.
【详解】对于A，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可能异面可能平行，A错误；
对于B，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则可在直线m上取向量 SKIPIF 1 < 0 作为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，
可在直线n上取向量 SKIPIF 1 < 0 作为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
对于C，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可能平行，不一定垂直，C错误；
对于D, 若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 可能是平行直线，
此时 SKIPIF 1 < 0 可能相交，D错误，
故选：B.
6. 在长方体 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 的长等于( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点建立空间直角坐标系，由向量模长的坐标运算可求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】以 SKIPIF 1 < 0 坐标原点， SKIPIF 1 < 0 正方向为 SKIPIF 1 < 0 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
7. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线l与C在x轴上方的交点为A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 的正切值，求出 SKIPIF 1 < 0 的余弦值，在 SKIPIF 1 < 0 用余弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 用 SKIPIF 1 < 0 表示，再求解.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选：A
8. 17世纪法国数学家费马在著作中证明，方程 SKIPIF 1 < 0 表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质若从椭圆上任意一点P(异于A，B两点)向长轴 SKIPIF 1 < 0 引垂线，垂足为Q，记 SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A. 方程 SKIPIF 1 < 0 表示的椭圆的焦点落在x轴上
B. SKIPIF 1 < 0
C. M的值与P点在椭圆上的位置无关
D. M越来越小，椭圆的离心率越来越小
【答案】C
【解析】
【分析】对选项A，根据椭圆的定义即可判断A错误，对选项B，根据题意得到 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误，对选项C，分别讨论焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴和 SKIPIF 1 < 0 轴的情况，即可判断C正确，对选项D，根据 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断D错误.
【详解】对选项A，方程 SKIPIF 1 < 0 ，
化简为 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 表示焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴的椭圆，故A错误.
对选项C，设 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为常数，所以 SKIPIF 1 < 0 的值与 SKIPIF 1 < 0 点在椭圆上的位置无关.
设 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为常数，所以 SKIPIF 1 < 0 的值与 SKIPIF 1 < 0 点在椭圆上的位置无关，故C正确.
对选项B，当椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
当椭圆 SKIPIF 1 < 0 焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误.
对选项D，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 越来越小，椭圆的离心率越来越大，故D错误.
故选：C
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是 ( )
A. 此数列的通项公式是 SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0 是它的第23项
C. 此数列的通项公式是 SKIPIF 1 < 0
D. SKIPIF 1 < 0 是它的第25项
【答案】AB
【解析】
【分析】根据已知条件求得数列的通项公式，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】数列 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，A选项正确，C选项错误.
SKIPIF 1 < 0 ，B选项正确，
SKIPIF 1 < 0 ，D选项错误.
故选：AB
10. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. 圆 SKIPIF 1 < 0 半径是4C. 两圆相交D. 两圆外离
【答案】AC
【解析】
【分析】先根据配方法确定两个圆的圆心和半径，再根据圆心距和半径的关系即可判断两圆的位置.
【详解】对于B，因为圆 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于A，因为圆 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于CD，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以两圆相交，故C正确，D错误.
故选：AC.
11. 已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 两点在准线上的投影点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 的最小值为4
C. SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】由焦点到准线的距离可得 SKIPIF 1 < 0 的值，进而求出抛物线的方程，可判断A正确；设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长 SKIPIF 1 < 0 的表达式，再由参数的范围可得其最小值，判断B正确；分别表示出 SKIPIF 1 < 0 可判断C不正确；表示出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可判断D正确．
【详解】对于A，因为抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，过焦点的直线为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
SKIPIF 1 < 0 最小值为4，所以 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以C不正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ABD.
12. 很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．如图，这是一个棱数 SKIPIF 1 < 0 ，棱长为 SKIPIF 1 < 0 的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的．下列结论正确的有( )
A. 该半正多面体的表面积为 SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C. 点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 D. 若 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】将该半正多面体补成正方体，即可求出正方体的棱长，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】解：将该半正多面体补成正方体， 因为该半正多面体的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，所以正方体的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该几何体的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
建立如图所示空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
若 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，则 SKIPIF 1 < 0 _____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据直线 SKIPIF 1 < 0 垂直满足 SKIPIF 1 < 0 求解.
【详解】因为直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直
所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14. 记 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据等差数列的性质求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据其通项即可得出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】解：等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：9.
15. 已知A，B是平面上的两定点， SKIPIF 1 < 0 ，动点M满足 SKIPIF 1 < 0 ，动点N在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 距离的最小值为___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】以 SKIPIF 1 < 0 为原点建立平面直角坐标系，根据定义可得点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，
SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，则MN距离的最小值为圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线的距离减去半径.
【详解】如图，以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建立平面直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设动点 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，
易得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则由图可知MN距离的最小值为圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线的距离减去半径，
则圆心到直线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以MN距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
16. 已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 和双曲线 SKIPIF 1 < 0 的交点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的公共焦点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的离心率，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据椭圆与双曲线的定义把 SKIPIF 1 < 0 用 SKIPIF 1 < 0 来表示，然后在 SKIPIF 1 < 0 中用余弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 的关系，然后再用函数求解.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0
因为点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，所以 SKIPIF 1 < 0 ①
又因为点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，所以 SKIPIF 1 < 0 ②
则① SKIPIF 1 < 0 ②得 SKIPIF 1 < 0 ；① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 ，并求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1) SKIPIF 1 < 0 化成 SKIPIF 1 < 0 的方程组解决.
(2) 求出 SKIPIF 1 < 0 ，判断单调性，求最值.
【小问1详解】
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
18. 已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程，并求其准线方程;
(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线，交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 两点，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长度.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)根据抛物线过得点可求得p值，即可求得答案；
(2)写出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，联立抛物线方程，得到根与系数的关系，结合抛物线定义可求得抛物线弦长.
【小问1详解】
抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，其准线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由抛物线定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
19. 如图，在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，E为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，F为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的所成角的余弦值；
(2)求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的所成角的余弦值.
(2)利用向量法求得点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.
【小问1详解】
建立如图所示空间直角坐标系，
SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故可设 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
20. 如图，某海面上有O、A、B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东 SKIPIF 1 < 0 方向距O岛 SKIPIF 1 < 0 千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B三点．
(1)求圆C标准方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西 SKIPIF 1 < 0 方向距O岛40千米处，正沿着北偏东 SKIPIF 1 < 0 行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)该船没有触礁危险
【解析】
【分析】(1)由图中坐标系得 SKIPIF 1 < 0 坐标，设出圆的一般方程，代入三点坐标求解，然后把一般方程配方得标准方程；
(2)先求出航行方向所在直线方程，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得．
【小问1详解】
如图所示， SKIPIF 1 < 0 ，
设过O、A、B三点的圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故所以圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
【小问2详解】
该船初始位置为点D，则 SKIPIF 1 < 0 ，
且该船航线所在直线l的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ,
故该船航行方向为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
由于圆心C到直线l的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
故该船没有触礁的危险
21. 如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面是矩形， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 .
(2)利用向量法求得二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形， SKIPIF 1 < 0 ，
以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
由图可知，二面角 SKIPIF 1 < 0 为锐角，所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
22. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 和定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点M，设动点M的轨迹为曲线E，且曲线E与直线 SKIPIF 1 < 0 相切．
(1)求曲线E的方程；
(2)若过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为k的直线l与曲线E交于A，B两点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)根据椭圆的定义求得曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程，
(2)求得三角形 SKIPIF 1 < 0 面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最大值.
【小问1详解】
由题意圆 SKIPIF 1 < 0 ，故圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ；
∵点 SKIPIF 1 < 0 且线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点M；
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
∴动点M的轨迹曲线E是以 SKIPIF 1 < 0 ，为焦点， SKIPIF 1 < 0 为长轴的椭圆；
∴曲线 SKIPIF 1 < 0 ；
∵曲线E与直线 SKIPIF 1 < 0 相切，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
∴曲线 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
依题直线 SKIPIF 1 < 0 ；
则由 SKIPIF 1 < 0 ；
∵ SKIPIF 1 < 0 ；
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
设 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
原点O到直线l的距离 SKIPIF 1 < 0 ；
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时取得最大值；
∴ SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .