2021-2022学年北京市丰台区高二下学期期中联考数学试题（B卷）含解析

2021-2022学年北京市丰台区高二下学期期中联考数学试题（B卷）

一、单选题

1．若三个数8，，2成等差数列，则（       ）

A．±5 B．±4 C．5 D．4

【答案】C

【分析】根据等差中项公式求解即可．

【详解】三个数8，，2成等差数列，则，所以．

故选：C

2．下列求导运算正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用常见函数的导数，对选项进行逐一求导即可.

【详解】选项A. ,故选项A不正确.

选项B. ,故选项B不正确.

选项C. ,故选项C不正确.

选项D. ,故选项D正确.

故选：D

3．设为数列的前n项和，且，则=（       ）

A．26 B．19 C．11 D．9

【答案】D

【分析】先求得，然后求得.

【详解】依题意，

当时，，

当时，，

，

所以，

所以.

故选：D

4．已知函数，则（       ）

A．2 B．4 C．3 D．1

【答案】B

【分析】先求得导函数，然后求得．

【详解】，

所以．

故选：B

5．已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是

A．在上为减函数

B．在处取得最大值

C．在上为减函数

D．在处取得最小值

【答案】C

【详解】分析：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可．

详解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知：

f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0

当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x2时，f′（x）＜0，f（x）递减；

当2＜x＜4时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞4时，f′（x）＜0，f（x）递减．

可知C正确，A错误；

由极值的定义可知，f（x）在x=0处函数f（x）取到极大值，x=2处函数f（x）的极小值点，但极大值不一定为最大值，极小值不一定是最小值；可知B、D错误．

故选C．

点睛：由导函数图象推断原函数的性质，由f′（x）＞0得增区间，由f′（x）＜0得减区间，由f′（x）=0得到的不一定是极值点，需判断在此点左右f′（x）的符号是否发生改变.

6．高二（1）班4名同学分别报名参加学校的排球队、足球队、羽毛球队，每人限报其中的一个运动队，不同的报名种数是（       ）

A． B． C．6 D．24

【答案】A

【分析】先求每一个同学报名的方法数，再由分步计数原理求4个同学不同的报名总数.

【详解】每个同学报各都有3种情况，共有4个同学，则有3×3×3×3= 种报名方法．

故选：A

7．函数的最小值为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】函数的定义域为，再根据函数单调求得最小值．

【详解】由题得，，令解得，则当时f(x)为减函数，当时，f(x)为增函数，所以点处的函数值为最小值，代入函数解得，故选C．

【点睛】本题考查用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数的单调性，确定最值点，最后代回原函数求得最值．

8．已知a为函数f（x）=x3–12x的极小值点，则a=

A．–4 B．–2 C．4 D．2

【答案】D

【详解】试题分析：，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即，故选D.

【解析】函数的导数与极值点

【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点是方程的解，但是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在附近，如果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点.

9．在数列中，，且，，则（       ）

A．2 B．-1 C． D．1

【答案】C

【分析】根据给定条件推导出数列的周期，再借助周期性计算得解.

【详解】解：在数列中，，，则，

，

于是得数列是周期数列，周期为3，

又，所以，，所以，

所以.

故选：C.

10．《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（       ）

A．尺 B．尺 C．尺 D．尺

【答案】B

【解析】女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数.

【详解】设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列，

且，故公差，

故，

故选：B.

二、填空题

11．设某质点的位移x与时间t的关系是，则质点在第3s时的瞬时速度等于___________.

【答案】

【分析】求出函数的导数，计算时，的值即可．

【详解】解：，

，

则时，，

故质点在第3s时的瞬时速度为，

故答案为：10．

12．已知等比数列的前项和为，且，，则等于_____________.

【答案】51

【分析】由已知条件求出等比数列的公比，再利用等比数列的求和公式即可求解.

【详解】解：因为数列为等比数列，且，，

所以，解得，

所以，

故答案为：51.

13．从2名教师和4名学生中，选出2人参加“我爱我的祖国”主题活动，要求入选的2人中恰有一名教师，则不同的选取方案的种数是_____________.

【答案】8

【分析】根据乘法计数原理和组合公式即可求解．

【详解】从2名教师和4名学生中，选的2人中恰有一名教师有种选法，

故答案为：8．

14．已知函数，下列结论中正确的是_____________.

①函数有零点；

②函数有极大值，也有极小值；

③函数既无最大值，也无最小值；

④函数的图象与直线有3个交点.

【答案】①②④

【分析】由确定①正确，结合导数判断其他项的正确性．

【详解】，所以①选项正确，

，所以在区间上递增，在区间上递减，

所以当时，有极大值，

当时，有极小值，所以②选项正确，

因为恒成立，所以是的最小值，③选项错误，

画出的大致图象如下图所示，由图可知函数的图象与直线y=1有3个交点，④选项正确．

故答案为：①②④．

三、双空题

15．设集合，，把集合中的元素按从小到大依次排列，构成数列，则______________；数列的前20项和_____________.

【答案】     3     660

【分析】由等差数列和等比数列的通项公式，可得，由不在集合A中，在集合A中，也在集合中，推得不在数列的前20项内，则数列的前20项中包括的前18项和数列中的3和27，结合等差数列的求和公式，即可求解.

【详解】由题意，集合A构成数列是首项为1，公差为4的等差数列，

集合构成数列是首项为1，公比为3的等比数列，

可得，

又由不在集合A中，在集合A中，也在集合中，

因为，解得，此时，

所以不在数列的前20项内，

则数列的前20项的和为

.

故答案为：3；660.

四、解答题

16．已知数列满足，，等差数列满足，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【答案】（1），；（2）

【分析】（1）依题意为等比数列，由等比数列的通项公式计算可得；由，，求出公差，进而得到；

（2）求得，利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．

【详解】解：（1）由，，

可得；

设等差数列的公差为，

由，，

可得，

则；

（2），

可得数列的前项和为

．

17．已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数的极值.

【答案】（1）增区间：，减区间：.（2）极大值，极小值.

【分析】（1）利用导数求得单调区间.

（2）结合单调区间求得的极值.

【详解】（1），

所以在区间上递增，在区间上递减.

所以增区间：，减区间：.

（2）由（1）得的极大值为，极小值为.

18．已知数列满足，，.

(1)请写出数列的前5项；

(2)证明数列是等比数列；

(3)求数列的通项公式.

【答案】(1)，，，，；

(2)证明见解析；

(3).

【分析】（1）代入已知的递推式计算可得答案；

（2）利用数列的递推公式证明出为非零常数，即可证明出数列是等比数列；

（3）确定等比数列的首项和公比，求出数列的通项公式，即可求出.

【详解】(1)解：因为数列满足，，.

所以，

，

，

，

所以数列的前5项为：，，，，；

(2)解：，，

因此，数列是等比数列；

(3)解：由于，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，

，因此，.

19．已知函数.

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)求函数的单调区间.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可，

（2）求出函数的定义域，对函数求导数，然后分和两种情况通过判断导函数的正负可求得函数的单调区间

【详解】(1)时，，

则，，，

故切线方程为，即.

(2)函数的定义域为；

，

①当时，，

则函数在上单调递增；

②当时，时，，

则函数在上单调递增；

时，，

则函数在上单调递减.

综上所述，当时，函数的单调递增区间为；

当时，函数的单调递增区间为；单调递减区间为.

20．已知是等差数列，其前n项和为，，再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

（1）数列的通项公式；

（2）的最小值，并求取得最小值时n的值.

条件①：；

条件②：.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）若选①，若选②；（2）若选①当时有最小值且最小值为，若选②当或时有最小值且最小值为．

【分析】若选择条件①：根据；组成方程组可解出首项和，从而可得与，再根据二次函数的性质可求出的最小值以及取得最小值时的值．

若选择条件②：；组成方程组可解出首项和，从而可得与，再根据二次函数的性质可求出的最小值以及取得最小值时的值．

【详解】解：若选择条件①：

（1）设等差数列的公差为，由，得①；又，得，即②．

联立①②，解得、，所以．

（2）由（1）可知：，所以，根据二次函数的性质可得当时有最小值且最小值为．

若选择条件②：

（1）设等差数列的公差为，由，得①；又，得即②．

联立①②，解得、，所以．

（2）由（1）可知：，由于，所以当或时有最小值且最小值为．

21．某公司销售某种产品的经验表明，该产品每日的销售量Q（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中.该产品的成本为3元/千克.

（1）写出该产品每千克的利润（用含x的代数式表示）；

（2）将公司每日销售该商品所获得的利润y表示为销售价格x的函数；

（3）试确定x的值，使每日销售该商品所获得的利润最大.

【答案】（1）；（2），（）.

（3）销售价格为元时，每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为元.

【分析】（1）根据利润销售价格成本即可求解.

（2）利润等于销售价格乘以销售量，即可得出函数关系.

（3）由（2）利用导数求出函数的最大值即可.

【详解】（1）由题意可得产品每千克的利润为.

（2）

，（）.

（3）由（2）可得，

令，解得或，

令，解得或，

令，解得，

所以函数在上单调递增；在上单调递减，

所以当，（元）

故销售价格为元时，每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为元.