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    北京市丰台区2022-2023学年高一数学下学期期中练习试题(A卷)(Word版附解析)
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    北京市丰台区2022-2023学年高一数学下学期期中练习试题(A卷)(Word版附解析)

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    这是一份北京市丰台区2022-2023学年高一数学下学期期中练习试题(A卷)(Word版附解析),共17页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    丰台区2022-2023学年度第二学期期中练习
    高一数学(A卷)
    考试时间:120分钟
    第I卷(选择题共40分)
    一、选择题:共10小题,每小题4分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
    1. 已知向量,且,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求.
    【详解】因为,,
    所以,
    解得.
    故选:D.
    2. 若,则所在的象限是( )
    A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
    【答案】B
    【解析】
    【分析】由的范围,求出的正负,从而可确定点所在象限.
    【详解】∵,∴,
    ∴点在第二象限.
    故选:B.
    3. 下列函数中,最小正周期是奇函数为( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据周期公式结合周期定义求各函数的周期,再根据奇函数的定义判断即可.
    【详解】函数的周期为,
    设,函数的定义域为,定义域关于原点对称,
    又,所以函数为奇函数,A正确;
    函数的周期为,
    设,函数定义域为,定义域关于原点对称,
    又,所以函数偶函数,B错误;
    函数的周期为,C错误;
    设,函数的定义域为,定义域关于原点对称,
    则,故函数的周期为,
    又,所以函数为偶函数,
    D错误;
    故选:A.
    4. 已知,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】利用诱导公式以及二倍角正弦公式即可求得答案.
    【详解】由题意得,
    故选:B
    5. 已知函数的部分图象如图所示,则( )

    A.
    B.
    C.
    D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】先根据函数图象得到周期求出,然后代入特殊点求值即可.
    【详解】由题图可知函数的周期,又,
    则,
    所以,
    将,代入解析式中得,
    则,,
    解得,,
    因为,则.
    故选:A.
    6. 在△中,角,,所对的边分别为,,,且,则△的形状为( )
    A. 直角三角形 B. 等腰或直角三角形
    C. 等腰三角形 D. 等边三角形
    【答案】C
    【解析】
    【分析】首先利用正弦定理,化边为角,结合三角恒等变换化简,再利用正弦函数性质确定角的关系,从而进一步确定三角形的形状.
    【详解】根据题意及正弦定理得
    ,即,
    所以,又,
    所以,所以三角形是等腰三角形.
    故选:.
    7. 在平面直角坐标系中,动点在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动,每分钟转动一周. 若点初始位置的坐标为,则运动到分钟时,动点所处位置的坐标为( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】设坐标原点为,点为,由三角函数定义求的正弦和余弦,结合诱导公式的正弦和余弦,由此可得坐标.
    【详解】因为点初始位置的坐标为,
    所以,
    因为每分钟转动一周,逆时针运动分钟,动点所处位置为,
    所以,
    所以,

    所以点的坐标为,
    故选:C.

    8. 在矩形中,,,为边的中点,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】利用向量表示,结合数量积的定义求.
    【详解】由已知,,
    又,,
    所以.
    所以.
    故选:A.
    9. 将函数的图象向左平移个单位所得函数图象关于轴对称,向右平移个单位所得函数图象关于原点对称,其中,,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据函数图象变换法则求变换后的函数解析式,结合余弦函数的性质列方程求.
    【详解】将函数的图象向左平移个单位可得
    函数的图象,
    由已知图象关于轴对称,
    所以,
    将函数的图象向右平移个单位可得
    函数的图象,
    由已知图象关于原点对称,
    所以,
    所以,
    又,
    所以.
    故选:D.
    10. 在△中,,,则的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】设,利用余弦定理求,结合数量积定义求,结合的范围求数量积的范围.
    【详解】设,则,,
    所以,
    由余弦定理可得,
    所以,
    所以,
    所以的取值范围是.
    故选:D.
    第Ⅱ卷(非选择题共110分)
    二、填空题:共5小题,每小题5分,共25分.
    11. 在中,若,,,则_______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】利用正弦定理可求得的值.
    【详解】由正弦定理得.
    故答案为:.
    12. 已知向量是单位向量,且夹角为,则_______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据向量的模的性质和数量积的定义求解即可.
    【详解】由已知,,
    所以,
    所以,
    故答案为:.
    13. 在平面直角坐标系中,角以轴非负半轴为始边,其终边经过点,且,则_______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据正弦的定义列方程求.
    【详解】因为角的终边经过点,
    由正弦的定义可得,又,
    所以,解得.
    故答案为:.
    14. 若点关于y轴的对称点为,则的一个取值为_____.
    【答案】(答案不唯一)
    【解析】
    【分析】根据两点关于轴对称,可得到两点的横坐标相反,纵坐标相等,从而可求得的值.
    【详解】因为点关于y轴的对称点为,
    所以,即,即,
    所以.
    故答案为:.(答案不唯一)
    15. 已知函数在区间上有且仅有个对称中心,给出下列四个结论:
    ①的最小正周期可能是;
    ②在区间上有且仅有3条对称轴;
    ③的取值范围是;
    ④在区间上单调递减.
    其中所有正确结论的序号是________.
    【答案】③④
    【解析】
    【分析】求函数的对称中心,由条件确定的范围,再结合余弦型函数的性质判断各命题.
    【详解】由,,可得,,
    所以函数的对称中心为,,
    令,可得,,
    因为,函数在区间上有且仅有个对称中心,
    所以,
    所以,故的取值范围是,③正确,
    因为,,所以,①错误;
    由,,可得,,
    所以函数的对称轴为,,
    令可得,,,
    所以当时,只有两条对称轴,②错误;
    当时,,
    由函数在上单调递减,
    所以在区间上单调递减.④正确.
    故答案为:③④.
    三、解答题:共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
    16. 已知向量.
    (1)求;
    (2)设的夹角为,求的值;
    (3)若,求实数的值.
    【答案】(1)
    (2)
    (3)
    【解析】
    【分析】(1)利用向量的线性运算的坐标表示求解;
    (2)利用向量的夹角的坐标表示求解;
    (3)利用向量平行的坐标表示求解.
    【小问1详解】
    因为向量,
    所以;
    【小问2详解】
    由题意得,

    故.
    【小问3详解】
    因为向量,
    所以,
    .
    因为,
    所以.
    解得:.
    17. 在平面直角坐标系中,以轴非负半轴为始边的两个锐角,的终边分别与单位圆相交于,两点,,的横坐标分别为,.
    (1)求,的值;
    (2)求的值.
    【答案】(1),
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)由三角函数定义求,再由同角关系求,;
    (2)利用两角和余弦公式求,由此可求.
    【小问1详解】
    由已知得,.
    因为,都是锐角,
    所以, .
    【小问2详解】
    因为,都是锐角,
    所以.
    因为
    所以,
    所以.
    18. 已知函数.
    (1)求的值;
    (2)若,求的值.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)利用二倍角正弦公式结合辅助角公式化简可得,即可求得答案;
    (2)由题意可求得,进而求得,利用,即可求得答案.
    【小问1详解】
    因为



    所以.
    【小问2详解】
    由(1)可知,
    因为,所以,
    整理得:,
    因为,所以,
    所以,
    所以


    .
    19. 在中,.
    (1)求的大小;
    (2)若,再从条件①、条件②中任选一个作为已知,求的值.
    条件①:的面积为;
    条件②:.
    注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)将已知等式化为,由此可得;
    (2)若选①,利用三角形面积公式可直接构造方程求得;若选②,由同角三角函数关系可求得,利用正弦定理可得,根据余弦定理可构造方程求得.
    【小问1详解】
    由得:,即,
    ,.
    【小问2详解】
    若选条件①,,;
    若选条件②,,,,
    由正弦定理得:,
    由余弦定理得:,
    解得:(舍)或,.
    20. 已知函数.
    (1)求的最小正周期;
    (2)求的单调递减区间;
    (3)若在区间上的最大值为,求的最小值.
    【答案】(1)
    (2)
    (3)
    【解析】
    【分析】(1)利用二倍角公式结合辅助角公式化简可得,即可求得答案;
    (2)结合正弦函数的单调性即可求得答案;
    (3)由已知确定,结合正弦函数的最大值可得,即可求得答案.
    【小问1详解】
    因为



    所以的最小正周期为.
    【小问2详解】
    由(1)知,
    因为函数单调递减区间为,(),
    所以令,,
    得,,
    所以单调递减区间为.
    【小问3详解】
    因为, 所以,
    所以,
    又因为,的最大值为2,
    所以,解得,
    所以的最小值为.
    21. 已知函数.用五点法画函数在区间上的图象时,取点列表如下:













    (1)直接写出的解析式;
    (2)在锐角中,若,且向量与共线,求的取值范围.
    【答案】(1);
    (2).
    【解析】
    【分析】(1)根据“五点法”可得函数的解析式;
    (2)由条件结合(1)求,根据向量平行的坐标表示求的解析式,利用三角恒等变换化简函数解析式,结合正弦函数性质求其范围.
    【小问1详解】
    由题可知函数的最小正周期为,
    所以,
    因为函数过点,
    所以,
    ,又,
    即,
    所以函数的解析式为.
    【小问2详解】
    因为,
    所以.
    因为是锐角三角形,
    所以,
    所以,则,
    解得:.
    因为向量与共线,
    所以
    所以.
    因为是锐角三角形,
    所以,,
    解得:,
    所以,
    所以.
    所以的取值范围是.



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