北京市丰台区2022-2023学年高二数学下学期期中练习试题（A卷）（Word版附解析）

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丰台区2022-2023学年度第二学期期中练习
高二数学（A卷）
考试时间：120分钟
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 若，求（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先对函数求导，再代值计算即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：A.
2. 已知数列的首项，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合等差数列的通项公式，求得，即可求得的值.
【详解】由数列满足，可得数列为等差数列，
因为，可得，所以.
故选：C.
3. 已知某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为.则当时，该运动员的滑雪速度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的几何意义，对求导，再将代入求解即可.
【详解】因为，所以，
故，
所以该运动员的滑雪速度为.
故选：B.
4. 已知数列是等比数列，其前项和为，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设数列的公比为，结合题设根据等比数列的性质可求得，进而根据等比数列的前项和公式求解即可.
【详解】设数列的公比为，
则，
所以，
所以.
故选：C.
5. 若函数，则的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求得，令，即可求解.
【详解】由函数的定义域，可得，
令，解得，即函数的单调递增区间为.
故选：B.
6. 用数学归纳法证明“对任意的，”，由到时，等式左边应当增加的项为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别写出和时，左边的式子，两式作差，即可得出结果.
【详解】由题意可得，当时，等式左边等于，共项求和；
当时，等式左边等于，共项求和；
所以由的假设到证明时,等式左边应添加的式子是.
故选：B
7. 曲线在处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导，得到切线方程的斜率，进而求出切线方程，求出与坐标轴围成的三角形面积.
【详解】由，可得，又，，
故在点处的切线方程为，即.
令得，令得，
所以切线与坐标轴所围成的三角形面积为.
故选：A.
8. 已知函数，其导函数的部分图象如图，则对于函数的描述错误的是（ ）

A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增
C. 为极小值 D. 为极小值点
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象可得的符号，进而可判断的单调性，结合的单调性逐项分析判断.
【详解】由图象可得：当或时，；当或时，；
故的单调递增区间为，单调递减区间为，故A，B正确；
函数在处取得极小值，故C正确，1不是极值点，D错误；
故选：D.
9. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A. 为递减数列 B. 为递增数列
C. 数列有最小项 D. 数列有最大项
【答案】C
【解析】
【分析】由已知，分析等比数列的公比范围，进而可以判断的单调性，判断A，B；由，分，进行讨论，判断C，D．
【详解】设等比数列的公比为，则，
由可得，又，所以即，又，所以，即，
故等比数列首项，公比满足或，
当时，等比数列为正负项交替的摆动数列，故不单调；
当时，，等比数列单调递减，故A，B不正确；
又，且
所以当时，由于，
则，，
此时数列的最小项为，最大项为；
当时，有，
则数列为单调递增数列，有最小项，无最大项，故C正确，D不正确.
故选：C.
10. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如果对于正整数m，经过n步变换，第一次到达1，就称为n步“雹程”.如取，由上述运算法则得出：，共需经过5个步骤变成1，得.则下列说法错误的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则只能是4
C. 随着的增大，不一定增大
D. 若，则的可能值有5个
【答案】D
【解析】
【分析】根据“冰雹猜想”逐项推理，即可判断作答.
【详解】对于A，当时，，，A正确；
对于B，若，逆推：按减1除以3或乘以2，得，因此只能是4，B正确；
对于C，当时，，，
当时，，，因此随着的增大，不一定增大，C正确；
对于D，若，逆推：按减1除以3或乘以2，得，
因此的取值集合是，的值只有4个，D错误.
故选：D
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用简单复合函数求导公式进行计算.
【详解】令，，则，
故.
故答案：
12. 如果成等比数列，那么________.
【答案】
【解析】
【分析】根据等比中项以及等比数列的性质运算求解.
【详解】设该数列的公比为，
则由题意可得，解得，即，
所以.
故答案为：．
【点睛】考点：等比数列的通项公式．
13. 如图，已知函数图象关于直线对称，直线是曲线在点处的切线，则_____．

【答案】
【解析】
【分析】根据导数的定义，几何意义和求导公式即可求解.
【详解】根据二次函数图像可以设其解析式为：
，
所以，
曲线在点处的切线斜率为，
所以，
所以，
所以，
所以，
故答案为：.
14. 我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将，，，，填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数，，，，填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，记此和为，这个正方形叫做阶幻方．如图三阶幻方的．若，则_____.

【答案】
【解析】
【分析】利用等差数列求和公式计算出，从而得到.
详解】由等差数列求和公式可得，
故每行，每列和每条对角线上的数字之和为，
故答案：
15. 函数（）的所有极值点从小到大排列成数列，设是的前n项和，给出下列四个结论：
①数列为等差数列；
②；
③为函数的极小值点；
④.
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】②③④
【解析】
【分析】先对函数求导，结合导数确定极值点，然后结合三角函数的性质分别检验各选项即可判断．
【详解】解：，
令可得或，，
易得函数的极值点为或，，
从小到大为，，不是等差数列，①错误；
，②正确；
因为，，
函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，
所以为函数的极小值点，③正确；
，
，


则根据诱导公式得
，④正确；
故答案为：②③④．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知数列为等差数列，若，.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设的公差为，根据通项公式列方程解得，即可得解；
（2）结合（1）得，再利用分组求和法求解即可．
【小问1详解】
设的公差为，
因为，，所以，；
解得，，
∴.
【小问2详解】
因为，；
所以

．
17. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若在区间上的最小值为，求的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求函数导数，根据导数和单调性的关系，即可求解；
（2）根据（1）的结果，结合函数的最小值，即可确定的取值范围.
【小问1详解】
由题可知，
令，即，解得或，
当变化时，，的变化情况如下表：








0

0


单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为.
【小问2详解】
因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又有，，要使在区间上的最小值为，则.
18. 已知数列满足，且．
（1）设数列满足，证明：是等比数列；
（2）求数列的通项公式．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，表示出与的关系式，计算得，根据等比数列的定义可证明数列是等比数列；（2）根据等比数列的通项公式写出数列的通项，从而可得数列的通项公式.
【小问1详解】
，
，，
，
因为，故，．
是首项，公比的等比数列．
【小问2详解】
由（1）知，，又，
所以，所以．
故数列的通项公式为．
19. 已知函数，且在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）若方程有两个解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）首先求函数的导数，根据，求的值；
（2）利用导数判断函数的性质，再利用数形结合，求实数的范围.
【小问1详解】
由题可知
因为在处取得极值，所以，解得；
经检验，满足题意.
【小问2详解】
由（1）知，，
令，解得或；
当变化时，，的变化情况如下表：








0

0


增
极大值
减
极小值
增
函数的单调递增区间为，；单调递减区间为.
当时，；当时，，

所以的极大值；的极小值.
因为方程有两个解，所以或.
20. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）解法一：由题意得在区间上恒成立，设，然后利用导数求出其最小值，使其大于等于零，从而可求出实数的取值范围；解法二：由题意得在区间上恒成立，则在区间上恒成立，令，利用导数求出其最大值即可,
【小问1详解】
当时，函数．
令，得，即切点坐标为．
，
令，得，即切线斜率，
故切线方程为，即．
【小问2详解】
解法一：
已知，可得，
因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，
设，可得，令，；
①当时，，，，单调递减，
，不满足题意；
②当时，，时，，单调递增；
时，，单调递减，
由，，，得；
③当时，，，，单调递增，
由，得，所以；
综上，.经检验，满足题意.
所以实数的取值范围为.
解法二：
．
由题意，在区间上恒成立，
因为，所以，
所以在区间上恒成立．
令，
则，
所以在区间上单调递增，
所以的最大值为，
所以．经检验，满足题意.
所以实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数解决函数单调性问题，解题的关键是将问题转化为在区间上恒成立，然后分离参数，再构造函数，利用导数求其最值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
21. 定义“三角形数”：对于给定的正整数，若存在正整数，使得，则称是“三角形数”；否则，不是“三角形数”．
已知数列满足，且．
（1）写出的值；
（2）证明：当且仅当是“三角形数”时，是正整数；
（3）证明：数列的通项公式为，其中表示不超过的最大整数，如，，．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分别代入计算即可；
（2）根据三角形数界定范围求解计算可得；
（3）分类讨论是否是三角形数分别证明即可.
【小问1详解】
．
【小问2详解】
若是“三角形数”，则存在，使得，
故是正整数．
若不是“三角形数”，则介于两个相邻“三角形数”之间，
即存在，使得，
由之前的计算可知，，即不是正整数．
综上，命题得证．
【小问3详解】
只要做验证性证明即可，即若通项公式可推导出递推公式，则通项公式正确．
当时，，满足初值条件．
又
．
而
．
设，，其中．
当是“三角形数”时，，．
当不是“三角形数”时，由（2）知存在，使得
，且，
故．
又，，
故．
因此，当是“三角形数”时，；
当不是“三角形数”时，．
综上所述，数列的通项公式为．