精品解析：福建省三明市第二中学2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题（解析版）

三明二中2024届高二下学期第二次月考

数学试题

（考试时间：120分钟，满分：150分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用一元二次不等式的解法、函数定义域的求法以及集合的补集、交集运算进行求解.

【详解】因为，所以，所以或，

因为，所以，

所以，故B，C，D错误.

故选：A.

2. 若随机变量服从正态分布，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由正态分布的对称性求解即可.

【详解】随机变量服从正态分布，

所以正态分布关于对称，

，所以，

所以.

故选：D.

3. 在n次独立重复试验（伯努利试验）中，若每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A发生的次数X服从二项分布，事实上，在伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A首次发生时试验进行的次数Y，显然，，2，3，…，我们称Y服从“几何分布”，经计算得．据此，若随机变量X服从二项分布时，且相应的“几何分布”的数学期望，则n的最小值为（    ）

A. 6 B. 18 C. 36 D. 37

【答案】D

【解析】

【分析】根据二项分布和“几何分布”的定义，列不等式求解.

【详解】由题可知，，，，

因为，所以，解得，

所以n的最小值为37.

故选：D.

4. 如表为今年某商家1月份至6月份的盈利（万元）与时间（月份）的关系，其中，其对应的回归方程为，则下列说法正确的是（    ）

A. 与负相关

B.

C. 回归直线可能不经过点

D. 今年10月份的盈利大约为6.8万元

【答案】D

【解析】

【分析】，与正相关，A错误，计算中心点带入计算得到B错误，回归直线一定经过中心点，C错误，带入数据计算得到D正确，得到答案.

【详解】对选项A：回归方程为，，与正相关，错误；

对选项B：，，故，解得，错误；

对选项C：回归直线一定经过点，错误；

对选项D：，当时，，正确.

故选：D

5. 当时，函数取得最大值，则（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．

【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．

故选：B.

6. 已知函数为上的奇函数，且，当时，，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件及奇函数的性质，利用函数的周期性和单调性即可求解.

【详解】因为为上的奇函数,

所以，解得，

所以当时，

当时，单调递增，

又因为为奇函数，

所以当时，单调递增.

由，即，于，

所以是以周期为的一个周期函数，

所以

把代入可得，，

所以，即.

因为在上单调递增，

所以

所以.

故选：C.

7. 有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（    ）

A. 增加，增加 B. 增加，减小

C. 减小，增加 D. 减小，减小

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲盒子里随机取一球，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性.

【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，.

故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为.

故，

随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小；

，随着的增大，增大.

故选：C.

【点睛】本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题.

8. 设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上．若．则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先构造函数可得在上单调递增，在上单调递减，将不等式等价转化为，利用函数的单调性和奇偶性得到，解之即可.

【详解】因为,所以,

设可得,为偶函数

在上有，，

故在上单调递增，根据偶函数的对称性可知，在上单调递减，

由得

，

即，，

即，,解得.

故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和．为了了解中国人均（单位：万元）和总和生育率以及女性平均受教育年限（单位：年）的关系，采用2012~2022近十年来的数据绘制了散点图，并得到回归方程，，对应的相关系数分别为，，则（    ）

A. 人均和女性平均受教育年限正相关

B. 女性平均受教育年限和总和生育率负相关

C.

D. 未来三年总和生育率将继续降低

【答案】AB

【解析】

【分析】根据回归方程判断A；写出女性平均受教育年限和总和生育率的关系式，从而判断B；根据散点图的拟合效果判断C，由回归方程可预测未来趋势，但实际值不一定会持续降低，从而判断D．

【详解】由回归方程可知，人均和女性平均受教育年限正相关，故A正确；

因为，，所以女性平均受教育年限和总和生育率的关系式为，

所以女性平均受教育年限和总和生育率负相关，故B正确；

由散点图可知，回归方程相对拟合效果更好，所以，故错误；

根据回归方程预测，未来总和生育率预测值有可能降低，但实际值不一定会降低，故D错误．

故选：AB．

10. 现有来自两个社区的核酸检验报告表，分装2袋，第一袋有5名男士和5名女士的报告表，第二袋有6名男士和4名女士的报告表．随机选一袋，然后从中随机抽取2份，则（    ）

A. 在选第一袋的条件下，两份报告表都是男士的概率为

B. 两份报告表都是男士的概率为

C. 在选第二袋的条件下，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为

D. 两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为

【答案】AC

【解析】

【分析】由条件概率和全概率公式依次计算求解即可.

【详解】对于A，在选第一袋的条件下，两份报告表都是男士的概率为，A正确；

对于B，若选第一袋，两份报告表都是男士的概率为；若选第二袋，两份报告表都是男士的概率为；

则两份报告表都是男士的概率为，B错误；

对于C，在选第二袋的条件下，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为，C正确；

对于D，若选第一袋，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为；

若选第二袋，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为；

则两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为，D错误.

故选：AC.

11. 下列命题为真命题的是（    ）

A. 为假命题，则

B. 是关于的方程有两个实数解的充分不必要条件

C. ：若，且满足，则的最小值为

D. ：设函数，如果，且，令，那么的最小值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】将命题等价转化后求函数最值或范围可判断A项，运用及集合包含关系可判断B项，运用“1”的代换及基本不等式可判断C项，由等量代换转化为求在上的最小值即可判断D项.

【详解】对于A项，由题意知，，恒成立，

因为，

所以，故A项正确；

对于B项，因为有两个实数解，

所以且，

所以是关于x的方程有两个实数解的必要不充分条件，故B项错误；

对于C项，因为，，，所以，

所以，

所以，

当且仅当，即：且时取等号，故C项正确；

对于D项，如图所示，

令得：或，

又因为，，

所以，，

所以，，

又因为其对称轴为，

所以由二次函数的单调性可知，当时，t取得最小值为，故D项正确.

故选：ACD.

12. 已知函数有四个零点，则（    ）

A  B.

C.  D. 若，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据函数零点转化为方程的根，令，即方程有两根，根据一元二次方程根与系数的关系，结合函数图象、指数函数与对数函数的性质逐项分析即可得答案.

【详解】由题意知有四个不同的根，显然，即，

令，即，即．

另外，，

令得，故在区间上单调递增，在区间上单调递减，

当时，，如图所示：

根据题意知存在两根，，不妨设，

则满足，．

即有，，

则由图象可知，所以，故A不正确；

由于方程的两根，满足，所以，解得，故B正确；

由，，得，

两边取自然对数得，故C正确；

由，两边取自然底数得

若，则，所以，

令，所以恒成立，所以在上单调递减，又，且，所以，故D正确.

故选：BCD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. _________．

【答案】##

【解析】

【分析】运用指数运算公式计算即可.

【详解】原式.

故答案为：.

14. 已知函数，无论a取何值，曲线均存在一条固定的切线，则该切线方程为________．

【答案】

【解析】

【分析】由题意得，，，此时这两个值均与无关，可得切点为即可得出答案．

【详解】，则，

，，此时这两个值均与无关，

∴无论取何值，曲线均存在一条固定的切线，

此时切点为，切线斜率为1，故切线方程为，即.

故答案为∶

15. 两个分类变量和；其列联表如表，对同一样本，的可能取值集合为．能说明与有关联的可能性最大的的值为_________．

【答案】

【解析】

【分析】给m赋值，依次计算的预测值并比较大小即可.

【详解】由列联表可知，的预测值，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，.

又因为，

所以当时，的预测值最大，说明X与Y有关联的可能性最大.

故答案为：6.

16. 当时，不等式恒成立，则的范围为______.

【答案】

【解析】

【分析】构造，求导判断单调性，分和两种情况讨论，可得所求的范围．

【详解】构造，且

，且

当时，

在上单调递增，成立；

当时，，又在上连续函数，

存在，使时，，即在上单调递减，

此时，不成立，舍去；

则的范围为，

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 某新能源汽车公司对其产品研发投资额（单位：百万元）与其月销售量（单位：千辆）的数据进行统计，得到如下统计表和散点图.

（1）通过分析散点图的特征后，计划用作为月销售量关于产品研发投资额的回归分析模型，根据统计表和参考数据，求出关于的回归方程；

（2）根据回归方程和参考数据，当投资额为11百万元时，预测月销售量是多少？（结果用数字作答，保留两位小数）

参考公式及参考数据：

【答案】（1）   

（2）千辆

【解析】

【分析】令，转化为，分别求得平均值，代入公式求得，即可得到回归直线方程

将代入回归直线方程，求得预测值

【小问1详解】

令

由题意可得

回归直线方程为

【小问2详解】

故当百万元时，预测月销售量是千辆.

18. 已知关于x的不等式的解集为R，记实数a的所有取值构成的集合为M.

（1）求M；

（2）若，对，有，求t的最小值.

【答案】（1）   

（2）1

【解析】

【分析】（1）分类讨论即可求得实数a的所有取值构成的集合M；

（2）先求得的最大值2，再解不等式即可求得t的最小值.

【小问1详解】

当时，满足题意；

当时，要使不等式的解集为R，

必须，解得，

综上可知，所以

【小问2详解】

∵，∴，

∴，（当且仅当时取“=”）

∴，

∵，有，∴，

∴，∴或，

又，∴，∴ t的最小值为1.

19. 为了解某工业园中员工的颈椎疾病与工作性质是否有关，在工业园内随机的对其中50名工作人员是否患有颈椎疾病进行了抽样调查，得到如下的列联表.

已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患有颈椎疾病的人的概率为.

（1）①请完成上表；

②依据小概率值的独立性检验，分析患颈椎疾病与工作性质有关？

（2）已知在患有颈椎疾病的10名蓝领中，有3人工龄在15年以上，现在从患有颈椎疾病的10名蓝领中，选出3人进行工龄的调查，记选出工龄在15年以上的人数为，求的分布列及数学期望.

附：，其中，

【答案】（1）①列联表见解析；②依据小概率值的独立性检验认为患颈椎疾病是与工作性质有关系的；   

（2）0.9

【解析】

【分析】（1）通过计算出相关数据，填写列联表，利用卡方公式计算其值，再与临界值表对照即可判断；

（2）通过分析得服从超几何分布，计算出分布列与期望即可.

【小问1详解】

根据在全部50人中随机抽取1人患颈椎疾病的概率为，

可得患颈椎疾病的为30人，则白领中患有颈椎病的人数为人，

未患颈椎病的总人数为20人，则未患颈椎病得蓝领为15人，

故可得列联表如下：

因为，

即，

所以，

又，

所以，依据小概率值的独立性检验认为患颈椎疾病是与工作性质有关系的．

【小问2详解】

现在从患颈椎疾病的10名蓝领中，选出3名进行工龄的调查，

记选出工龄在15年以上的人数为，则．

故，，，，

则的分布列为：

则．

20. 已知函数是定义域为的奇函数．

（1）求实数的值；

（2）若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）若，且函数在上最小值为，求实数的值．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）由奇函数的定义和性质，可得所求值；

（2）求得的单调性，参变分离转化为函数最值问题，即可得实数的取值范围；；

（3）求得，应用指数函数的单调性和换元法，可得所求值．

【小问1详解】

因为是定义域为的奇函数，所以，

所以，所以，经检验，当时，为上的奇函数；

【小问2详解】

由（1）知：，

因为，所以，又且，所以，

所以是上的单调递减函数，

又是定义域为的奇函数，

所以，

对于，令又在区间上单调递减，所以最大值为，∴

【小问3详解】

因为，所以，解得或（舍去）

所以

令，则，

因为在上为增函数，且，所以，

因为在上最小值为，

所以在上的最小值为，

因为的对称轴为，

所以当时，，解得或（舍去）

当时，，解得，

综上可知：．

21. 三年多的“新冠之战”在全国人民的共同努力下刚刚取得完胜，这给我们的个人卫生和公共卫生都提出更高的要求！某机构欲组建一个有关“垃圾分类”相关事宜的项目组，对各个地区“垃圾分类”的处理模式进行相关报道，该机构从名员工中进行筛选，筛选方法如下：每位员工测试，，三项工作，项测试中至少项测试“不合格”的员工，将被认定为“暂定”，有且只有一项测试“不合格”的员工将再测试，两项，如果这两项中有项以上（含项）测试“不合格”，将也被认定为“暂定”，每位员工测试，，三项工作相互独立，每一项测试“不合格”的概率均为．

（1）若，求每位员工被认定为“暂定”的概率；

（2）每位员工不需要重新测试的费用为元，需要重新测试的前后两轮测试的总费用为元，所有员工除测试费用外，其他费用总计为万元，若该机构的预算为万元，且名员工全部参与测试，试估计上述方案是否会超出预算，并说明理由．

【答案】（1）   

（2）此方案实施估计不会超过预算，理由见解析

【解析】

【分析】（1）利用互斥事件的概率加法计算公式和次独立重复实验的概率计算公式进行求解即可.

（2）设每位员工测试的费用为元，则的可能取值为，，利用次独立重复实验的概率计算公式和离散型随机变量的数学期望公式求出数学期望的表达式，通过构造函数，利用导数判断函数的单调性求最值即可.

【小问1详解】

由题意知，

每位员工首轮测试被认定为“暂定”的概率为，

每位员工再次测试被认定为“暂定”的概率为，

综上可知，每位员工被认定为“暂定”的概率为：

，

当时，概率为．

【小问2详解】

设每位员工测试的费用为元，

则的可能取值为，，

由题意知，，

，

所以随机变量的数学期望为：

（元），，

令，，

则，

所以当时，；当时，；

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，

即（元）．

所以此方案的最高费用为（万元），

综上可知，若以此方案实施估计不会超过预算．

22. 设函数.

（1）求的极值；

（2）已知，有最小值，求的取值范围.

【答案】（1）极大值为，无极小值   

（2）

【解析】

【分析】（1）求导后，根据正负可得单调性，结合极值定义可求得结果；

（2）由可得，令，可将表示为；构造函数，求导后，分别在和的情况下，讨论得到单调性，进而确定符合题意的的取值范围.

【小问1详解】

由题意知：定义域为，，

，，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减；

的极大值为，无极小值.

【小问2详解】

可化为，

为单调递增函数，

由可得：，即，

令，则，，，，

，

令，

，

令，

；

①当时，恒成立，在上单调递增，

，即，在上单调递增，

此时在上不存在最小值，即不存在最小值，不合题意；

②当时，若，则；若，则；

在上单调递减，在上单调递增，

又，，又，

存在，使得，且当时，，即；当时，，即；

在上单调递减，在上单调递增，

，即有最小值；

综上所述：实数的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数极值、多变量问题的求解；求解多变量问题的关键是能够通过引入第三变量，将利用来表示，从而减少变量个数，将问题转化为关于的函数的单调性的讨论问题.