2022-2023学年福建省厦门第二中学高二下学期4月月考数学试题含解析

2022-2023学年福建省厦门第二中学高二下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．已知向量分别是直线，的方向向量，若，则（    ）

A．8 B．20 C． D．

【答案】A

【分析】由题设知存在实数使得，应用坐标运算求参数、，即可得结果.

【详解】向量,,,分别是直线，的方向向量，

若，则存在实数使得，

所以,,，解得，，，

所以.

故选：.

2．5个人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是（    ）

A．5 B．10

C．15 D．20

【答案】A

【详解】根据题意，结合题意可得不同的分法有种，最后计算组合数计算即可．

【分析】因为5个人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，

所以只有一人没有分到票，其余4人分到1人1张票，又因为无座票，所以没有顺序，

所以共有种不同的分法．

故选：A

3．如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是（    ）

①在区间上是增函数；

②是的极小值点；

③在区间上是增函数，在区间上是减函数；

④是的极大值点.

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

【分析】由导函数的图象，可判断在对应区间上的单调性与极值，对四个选项逐一判断可得答案．

【详解】解：由导函数的图象可知，当时，

当时，当时，当时，

所以在区间上单调递减，故①错误；

在区间上单调递增，在区间上单调递减，上单调递增，

在和处取得极小值，处取得极大值，故②③正确，④错误；

故选：C．

4．过点作抛物线的弦AB，恰被点Q平分，则弦AB所在直线的方程为 （    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用点差法及中点坐标求出直线AB的斜率，再根据点斜式求解即可.

【详解】解：设，，由题意可知，

则，两式相减，得，

因为是弦AB的中点，所以，，

所以，即，直线AB的斜率为2，

所以弦AB所在直线的方程为，即，

故选：C.

5．在正四棱锥P—ABCD中，，则该四棱锥的体积为（    ）

A．21 B．24 C． D．

【答案】B

【分析】根据正四棱锥的性质，结合空间向量模的坐标公式、棱锥的体积公式进行求解即可.

【详解】如图所示，在正四棱锥P—ABCD中，设顶点在底面的射影为，

为正方形对角线的交点，

，

所以，

，

所以该四棱锥的体积为，

故选：B

6．当时，函数取得最大值，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．

【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．

故选：B.

7．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则=（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】观察图形可得出为首项为，公比为的等比数列，即可求出.

【详解】观察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了其周长的，即，

所以为首项为，公比为的等比数列，

.

故选：B.

8．若过点可以作曲线的两条切线，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；

解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.

【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，

所以，曲线在点处的切线方程为，即，

由题意可知，点在直线上，可得，

令，则.

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以，，

由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，

当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.

【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.

二、多选题

9．已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（    ）

A．当或时，曲线是双曲线

B．当时，曲线是椭圆

C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则

D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则

【答案】AD

【分析】根据双曲线、椭圆标准方程的特征，依次构造不等式求得每种曲线对应的的范围即可.

【详解】对于A，若曲线为双曲线，则，解得：或，A正确；

对于B，若曲线为椭圆，则，解得：或，B错误；

对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得：，C错误；

对于D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得：，D正确.

故选：AD.

10．给出下列命题，其中正确的命题是（    ）

A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线

B．若对空间中任意一点，有，则四点共面

C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

D．已知向量，，则在上的投影向量为

【答案】CD

【分析】选项A，因为，直线的方向向量与平面的法向量垂直，直线可能在平面内，也可能与平面平行；选项B，根据空间向量四点共面条件即可判断B；选项C，根据平面向量基底的定义可判断C；选项D，根据投影向量的公式即可判断D.

【详解】选项A，由已知直线的方向向量为，平面的法向量为，所以，所以，所以直线或，故A错误；

选项B，因为，，根据空间向量四点共面条件可知，四点不共面，故B错误；

选项C，三个不共面的向量可以成为空间的一个基底，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，故C正确；

选项D，由，，

在上的投影向量为，故D正确.

故选：CD.

11．已知数列的前项和为，下列说法正确的（　　）

A．若，则是等差数列

B．若，则是等比数列

C．若是等差数列，则

D．若是等比数列，且，则

【答案】BC

【分析】对于A，求出，, 即可判断；

对于B，利用求出通项公式，再验证是否满足2，即可判断；

对于C，根据等差数列的求和公式即可判断；

对于D，当时，可得，即可判断．

【详解】解：对于A，若，则，，，则不是等差数列，A错误；

对于B，若，则，当时，，满足2，

所以，则是等比数列，B正确；

对于C，是等差数列，则，C正确；

对于D，若是等比数列，当时，则，D错误.

故选：BC．

12．已知函数在上可导且，当时，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（    ）

A．函数在上为增函数 B．是函数的极大值点

C． D．函数有2个零点

【答案】AC

【分析】由条件判断的单调性后对选项逐一判断

【详解】由题意得，而

当时，，当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

是函数的极小值点，故A正确，B错误，

对于C，由单调性可知，则，故C正确，

对于D，，若，则函数无零点，故D错误，

故选：AC

三、填空题

13．曲线在点处的切线方程为______．

【答案】

【分析】求导得到，计算，，得到切线方程.

【详解】，则，

，，共有切线方程为.

故答案为：

14．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．

【答案】

【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.

【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，

数列是以1首项，以3为公差的等差数列，

所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，

所以的前项和为，

故答案为：.

【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.

15．一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为___________.

【答案】

【详解】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.

【解析】椭圆的几何性质；圆的标准方程

16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______．

【答案】

【详解】如下图，连接DO交BC于点G，设D，E，F重合于S点，正三角形的边长为x(x>0)，则.

，

，

三棱锥的体积.

设，x>0，则，

令，即，得，易知在处取得最大值.

∴.

点睛:对于三棱锥最值问题，需要用到函数思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决.

四、解答题

17．已知圆的圆心为，且经过点.

(1)求圆的标准方程；

(2)已知直线与圆相交于两点，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据条件求出圆的半径,再结合圆心坐标求出标准方程即可;

（2）求出圆心到直线的距离,再由垂径定理求出.

【详解】（1）因为圆的圆心为,且经过点,

所以圆的半径,

所以圆的标准方程为.

（2）由（1）知，圆的圆心为，半径，

所以圆心到直线的距离,

所以由垂径定理，得.

18．已知函数在处有极值.

（1）求实数、的值；

（2）判断函数的单调区间，并求极值.

【答案】（1），；（2）单调递减区间是，单调递增区间是，极小值，无极大值.

【分析】（1）由题设有，结合在处有极值，列方程组求、的值；

（2）由（1）得且的定义域为，即可确定的区间单调性，进而确定单调区间和极值.

【详解】（1）由，知.

又∵在处有极值，则，即，

∴，.

（2）由（1）可知，定义域为，

∴.

令，则（舍去）或；当变化时，，的变化情况如表：

∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是，且函数在定义域上有极小值，而无极大值.

【点睛】关键点点睛：

（1）利用极值点处导数值为0，求参数值即可.

（2）写出函数的导函数，并讨论定义域上各区间的单调性，进而确定极值.

19．如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.

（1）证明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）利用长方体的性质，可以知道侧面，利用线面垂直的性质可以证明出，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出平面；

（2）以点坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，，求出相应点的坐标，利用，可以求出之间的关系，分别求出平面、平面的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角的正弦值.

【详解】（1）证明：因为是长方体，所以侧面，而平面，所以

又，，平面，因此平面；

(2)[方法一]【三垂线定理】

由（1）知，，又E为的中点，所以，为等腰直角三角形，所以．

如图2，联结，与相交于点O，因为平面，所以．

又，所以平面．

作，垂足为H，联结，由三垂线定理可知，则为二面角平面角的补角．

设，则，由，得．

在中，，所以，

即二面角的正弦值为．

[方法二]【利用平面的法向量】

设底面边长为1，高为，所以．

因为平面，所以，即，

所以，解得．

因为平面，所以，又，所以平面，

故为平面的一个法向量．

因为平面与平面为同一平面，故为平面的一个法向量，

在中，因为，故与成角，

所以二面角，的正弦值为．

[方法三]【利用体积公式结合二面角的定义】

设底面边长为1，高为，所以．

因为平面，所以，即，

所以，解得．

因为，所以是直角三角形，．

因为平面，所以到平面的距离相等设为．

同理，A，E到平面的距离相等，都为1，所以，

即，解得．

设点B到直线的距离为，在中，由面积相等解得．

设为二面角的平面角，，

所以二面角的正弦值为．

[方法四]【等价转化后利用射影面积计算】

由（1）的结论知，又，易证，所以，所以，

即二面角的正弦值与二面角的正弦值相等．

设的中点分别为F，G，H，显然为正方体，所求问题转化为如图3所示，

在正方体中求二面角的正弦值．

设相交于点O，易证平面，

所以是在平面上的射影．

令正方体的棱长，

则，，，．

设二面角为，由，则，

所以．

即二面角的正弦值为．

[方法五]【结合（1）的结论找到二面角的平面角进行计算】

如图4，分别取中点F，G，H，联结．

过G作，垂足为P，联结．

易得E，F，G，H共面且平行于面．

由（1）可得面．因为面，所以．

又因为E为中点，所以，且均为等腰三角形．

设，则，四棱柱为正方体．

在及中有．

所以与均为直角三角形且全等．

又因为，所以为二面角（即）的一个平面角．

在中，．

所以，

所以．

故二面角的正弦值为．

[方法六]【最优解：空间向量法】

以点坐标原点，以分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，

，

因为，

所以，

所以，，

设是平面的法向量，

所以，

设是平面的法向量，

所以，

二面角的余弦值的绝对值为，

所以二面角的正弦值为.

【整体点评】(2)方法一：三垂线定理是立体几何中寻找垂直关系的核心定理；

方法二：利用平面的法向量进行计算体现了等价转化的数学思想，是垂直关系的进一步应用；

方法三：体积公式可以计算点面距离，结合点面距离可进一步计算二面角的三角函数值；

方法四：射影面积法体现等价转化的数学思想，是将角度问题转化为面积问题的一种方法；

方法五：利用第一问的结论找到二面角，然后计算其三角函数值是一种常规的思想；

方法六：空间向量是处理立体几何的常规方法，在二面角不好寻找的时候利用空间向量是一种更好的方法.

20．已知正项等比数列前项和为，当时，.

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合与的关系式即可求得与，从而得解；

（2）结合（1）中结论，求得的通项公式，再利用裂项相消法即可求得.

【详解】（1）设正项等比数列的公比为，

，

由得，解得，

当时，，

，则，即，

，

.

（2）由（1）得，

，

，

，

.

21．已知椭圆：（）的离心率为，其左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）依题意可得，即可求出、、，即可得解；

（2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由直线、的方程，得到、的坐标，即可得到以为直径的圆的方程，再令，得到，即可得解；

【详解】（1）解：因为椭圆的离心率为，所以.

又当位于上顶点或者下顶点时，面积最大，即.

又，所以，.

所以椭圆的标准方程为.

（2）解：由题知，直线的斜率存在，所以设直线的方程为，设，，

将直线代入椭圆的方程得：，

由韦达定理得：，，

直线的方程为，直线的方程为，

所以，，

所以以为直径的圆为，

整理得：.①

因为，

令①中的，可得，所以，以为直径的圆过定点.

22．已知函数f(x)=-ln(x+m).

(1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；

（2）当m≤2时，证明f(x)>0.

【答案】(1)在上是减函数；在上是增函数（2）见解析

【详解】(1)．

由x=0是f(x)的极值点得f '(0)=0，所以m=1．

于是f(x)=ex－ln(x+1)，定义域为(－1，+∞)，．

函数在(－1，+∞)上单调递增，且f '(0)=0，因此当x∈(－1，0)时， f '(x)<0;当x∈(0，+∞)时， f '(x)>0．

所以f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增．

(2)当m≤2，x∈(－m，+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当m=2时， f(x)>0．

当m=2时，函数在(－2，+∞)上单调递增．

又f '(－1)<0， f '(0)>0，故f '(x)=0在(－2，+∞)上有唯一实根，且．

当时， f '(x)<0;当时， f '(x)>0，从而当时，f(x)取得最小值．

由f '(x0)=0得=，，

故．

综上，当m≤2时， f(x)>0．