2022-2023学年江苏省南京师范大学附属中学高一下学期5月月考数学试题含答案

  2022-2023学年南京师范大学附属中学

高一下五月月考试卷

一､选择题（共8小题，每题5分，共40分）

1.设复数，则的虚部是（    ）

A.    B.    C.1    D.

2.在中，内角､满足，则的形状是（    ）

A.等腰三角形    B.直角三角形

C.等腰直角三角形    D.等腰或直角三角形

3.在中，角，，所对的边分别为，，.若，，，则等于（    ）

A.    B.    C.    D.

4.已知向量，且，则（    ）

A.    B.    C.    D.

5.下列说法正确的是（    ）

A.若与共线，则或者

B.若，则

C.若中，点满足，则点为中点

D.若，为单位向量，则

6.已知直线､是两条不重合的直线，､是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（    ）

A.若，，则

B.若，，，则

C.若，，，则

D.若，与所成角和与所成角相等，则

7.设，，，则，，的大小关系为（    ）

A.    B.

C.    D.

8.如图，直三棱柱中，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题（共4小题，每题5分，共20分）

9.设，，为复数，，下列命题正确的是（    ）

A.若，则

B.

C.若，则

D.

10.已知向量，，则下列命题正确的是（    ）

A.的最大值为

B.若，则

C.若是与共线的单位向量，则

D.当取得最大值时，

11.的内角､､的对边分别为､､，则下列说法正确的是（    ）

A.斜三角形中，

B.若，，，则有两解

C.若，则一定为直角三角形

D.若，，，则外接圆半径为

12.如图，在正方体中，点在线段上运动，则（    ）

A.直线平面

B.三棱锥的体积为定值

C.异面直线与所成角的取值范围是

D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为

三､填空题（共4小题，每题5分，共20分）

13.已知复数满足（为虚数单位），则__________.

14.正方体中，直线与平面所成角的正弦值为__________.

15.等边中，已知，点在线段上，且满足，为线段的中点，与相交于点，则__________.

16.已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则___________，的最小值为__________.

四､解答题（共6小题，共70分）

17.（1）若复数是纯虚数，求实数的值；

（2）若复数满足，求复数.

18.如图所示，矩形所在的平面，､分别是､的中点.

（1）求证：平面.

（2）求证：.

19.在①，②，③，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题.

在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足_____.

（1）求的值；

（2）若点在上，且，，，求.

20.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点.

（1）若，求证：平面；

（2）若平面平面，且，点在线段上，且，求三棱锥的体积.

21.某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圈上一点（异于，，点在线段上，且满足.已知，，设.

（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大.当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；

（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值.

22.在中，角，，所对的边分别为，，，.

（1）求的值；

（2）若，求.

2022-2023学年南京师范大学附属中学秦淮科技高中高一下五月月考试卷

参考答案与试题解析

一､选择题（共8小题）

1.解答：解：，

故，其的虚部是，

故选：.

2.解答：解：法，

，

或，

或，

则一定是直角三角形或等腰三角形.

法，且和为三角形的内角，

或，即或，

则一定是等腰或直角三角形.

故选：.

3.解答：解：，，，

由正弦定理，可得：.

故选：.

4.解答：解：，

，

可得，

则，

故选：.

5.解答：解：对于，根据共线向量的定义显然不成立，

对于，令，显然不成立，

对于，根据向量的运算性质，成立，

对于，根据单位向量的定义，显然不成立，

故选：.

6.解答：解：若，，由直线与平面垂直的性质可得，故正确；

若，，，则或与相交或与异面，故错误；

若，，则或，又，则或与相交，故错误；

若，与所成的角和与所成的角相等，可得与所成的角和与所成的角相等，

则与的位置关系可能平行､可能相交､也可能异面，故错误.

故选：.

7.解答：解：对于，

所以，

故：，

由于，

，故，

故：.

故选：.

8.解答：解：取上靠近的四等分点为，连接，当点在上时，平面.

证明如下：

直三棱柱中，侧棱长为2，，，

点是的中点，平面，，

以为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

，0，，，1，，，，，1，，

，1，，，

此时，，平面，

由题意得当，为重合时，线段最大，此时.

故选：.

二､多选题（共4小题）

9.解答：解：对于，知，，又，，故不正确；

对于：由复数模的定义可知，故正确；

对于，，，，

，，故正确；

对于：设，，，，，，，，

，，，故.故正确.

故选：.

10.解答：解：对选项，

，其中，，

当时，取得最大值，

选项正确；

对选项，若，等式两边平方整理得，

，，选项错误；

对选项，与共线的单位向量

或，选项错误；

对选项，，其中，，

当，时，，取得最大值，

此时，，其中，

，选项正确.

故选：.

11.解答：解：对于，在斜中，

，选项正确；

对于，由于为锐角，且，则有两解，选项正确；

对于，由于，则，即，

，

又，为内角，则，即，选项正确；

对于，由余弦定理可得，，

在中，有，

外接圆半径为，选项错误.

故选：.

12.【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，如图，

，1，，，0，，，0，，，1，，

，0，，，1，，，1，，，1，，

设，，，设，，，0，，，，

解得，，1，，

对于，，，，，0，，，1，，

，

，，

，直线平面，故正确；

对于，侧面的对角线交于点，，，

平面，平面，，

，平面，

为定值，故正确；

对于，，1，，，0，，

设异面直线与所成角为，

则，

当时，，解得，

当时，，

，，，

，，

，

，

综上，，故错误；

对于，设平面的法向量为，，，，0，，

，，解得，，，

线与平面所成角的正弦值为：

，

，，时，有最小值为，

直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故错误.

故选：.

三､填空题（共4小题）

13.解答：解：由得，，

故，

故答案为：.

14.解答：解：连接，则

在正方体中，面，

是直线与平面所成角

设棱长为1，则，

直线与平面所成角的正弦值为.

故答案为：.

15.解答：解：以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立如图所示的坐标系，

，，，，，，

点在线段上，且满足，为线段的中点，

，，，，

，，，，

，

故答案为：.

16.解答：解：因为，

所以，

即，，

又因为，

所以，

所以

（当且仅当，即，取“”.

故答案为：2；.

四､解答题（共6小题）

17.解答：解：（1）是纯虚数，

，解得.

（2）设，，，

，

，

，解得，或，，

故或.

18.解答：证明：（1）取的中点，连接，.

，分别是，中点，，

又，是中点，

，，

四边形是平行四边形，.

平面，平面，

平面.

（2）平面，，又，

平面，，

又，.

19.解答：解：（1）若选①：

因为，由正弦定理可得，

因为，所以，

联立，解得，，

故.

若选②：

因为，所以，

即，联立，

可得.

若选③：

因为，由正弦定理可得，

所以，

因为，所以.

（2）由余弦定理可得

，

因为，

所以，即，

则，①

同时，即，②

联立①②可得，解得，

则，

故，则.

20.解答：证明：（1），

，

又底面为菱形，，

，，

平面

解：（2）平面平面，平面平面，，

平面，平面，

，

又，，

平面，

又，

.

21.解答：解：由，在直角中，，；

在直角中，，；

（1），

所以当，即时，的最大值为；

即时，工艺礼品达到最佳观赏效果；

（2）在直角中，由，

可得；

在直角中，，

所以，，

所以，

所以当时，取得最大值，且最大值为.

22.解答：解：（1）中，因为，

结合余弦定理，得，化简可得，

所以.

（2）由，

可得，即，

即，又，

所以，，

所以.