2022-2023学年江苏省南京师范大学附属实验学校高一下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年江苏省南京师范大学附属实验学校高一下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】逆用两角差的余弦公式求解即可.

【详解】，

故选：B

2．设复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先计算出复数，即得.

【详解】由题得.

故选：C

【点睛】本题主要考查复数的计算和共轭复数的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

3．在中，角的对边分别是，若，则

A．5 B． C．4 D．3

【答案】D

【分析】已知两边及夹角，可利用余弦定理求出．

【详解】由余弦定理可得：，

解得.故选D.

【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根据条件选用合适的定理解决．

4．若，，，则m的值为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【分析】先根据题意求出和的坐标，再由两向量共线列方程可求出m的值.

【详解】因为，，

所以，，

因为，

所以，解得，

故选：A

5．已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据斜二测画法的知识确定正确答案.

【详解】正三角形的高为，

根据斜二测画法的知识可知，

直观图的面积为.

故选：B

6．在正方体中,分别为的中点,则异面直线与所成角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题易得,连接,即可得出为等边三角形,从而得出所求角的大小为60°.

【详解】如下图所示,连接

,

则异面直线与所成角为

,即为等边三角形

.

故选:C.

7．在空间中，、、是三条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）

A．若、，则 B．若、，则

C．若、、，则 D．若、，则

【答案】D

【解析】本题可根据和可能是异面直线判断出A错误，然后根据、无法判断出和之间关系得出B错误，再然后根据和可能异面判断出C错误，最后根据面面平行的性质即可判断出D正确.

【详解】选项A：若、，则和可能是异面直线，故A错误；

选项B：若、，则和不能判定有垂直和平行的关系，故B错误；

选项C：若、、，则和可能异面，故C错误；

选项D：若、，则，D正确，

故选：D.

【点睛】本题考查线线关系以及线面关系的判定，考查面面平行的相关性质，考查推理能力，体现了基础性，是简单题.

8．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用正八面体的面积和减去六个顶点的曲率和可得结果.

【详解】正八面体每个面均为等比三角形，且每个面的面角和为，该正面体共个顶点，

因此，该正八面体的总曲率为.

故选：B.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．圆柱的所有母线长都相等

B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形

C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥

D．棱台的侧棱延长后必交于一点

【答案】ABD

【分析】利用圆柱的性质判断选项A；利用棱柱的性质判断选项B；利用正棱锥的定义判断选项C；利用棱台的性质判断选项D.

【详解】选项A：圆柱的所有母线长都相等.判断正确；

选项B：棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形.判断正确；

选项C：底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥.判断错误；

选项D：棱台的侧棱延长后必交于一点.判断正确.

故选：ABD

10．下列各式中，值为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据诱导公式，结合两角和的正弦公式、正切公式逐一判断即可.

【详解】对于A，，故A正确；

对于B，，故B正确：

对于C，，故C正确；

对于D，

，故D错误；

故选：ABC

11．下列命题正确的是（    ）

A．

B．已知向量与的夹角是钝角，则的取值范围是

C．向量，能作为平面内所有向量的一组基底

D．若，则在上的投影向量为

【答案】AD

【分析】利用向量加法法则即可判断A；利用向量夹角是钝角，则向量数量积小于0，并去掉共线情况判断B；由向量共线的坐标公式计算判断C；根据两向量共线定义及投影向量的定义即可判断D.

【详解】对于A：，正确；

对于B：向量与的夹角是钝角，则，解得，且，错误；

对于C：因为向量，，所以，所以共线，不能构成平面向量的基底，错误；

对于D：因为，则与方向相同或者相反，

当与同向时，成立；

当与反向时，也成立，正确.

故选：AD.

12．如图，已知正方体中，分别是的中点，则下列判断正确的是（    ）

A． B．平面

C．平面 D．

【答案】ABC

【分析】连接，根据正方体的性质得到为的中点，即可得到，从而判断C、D，再证明平面，即可判断A、B；

【详解】解：连接，在正方体中为的中点，

所以为的中点，又为的中点，所以，

因为平面，平面，所以平面，故C正确；

因为，与不平行，故D错误；

又，平面，平面，所以，

，平面，平面，

所以平面，，故A、B正确；

故选：ABC

三、填空题

13．平面向量与的夹角为60°，，，则           .

【答案】

【分析】直接利用数量积的运算性质即可求解.

【详解】因为，所以.

因为与的夹角为60°，，所以.

所以.

故答案为：

14．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正切值为      ．

【答案】

【详解】试题分析：取中点F，连接，，分别为

的中点，，平面，为直线与平面所成角，，=，则

【解析】直线与平面所成的角；

15．设平面平面 ， 、，、， 直线与CD交于点， 且点位于平面，之间，，，， 则          ．

【答案】9

【详解】根据题意做出如下图形：

∵AB，CD交于S点 

∴三点确定一平面，所以设ASC平面为n，于是有n交α于AC，交β于DB，

∵α，β平行，∴AC∥DB，∴△ASC∽△DSB，

∴= ，

∵AS=8，BS=6，CS=12，∴解得SD=9．

故答案为9

16．已知，则的值是          .

【答案】/

【分析】利用余弦函数的和差公式求得，再利用三角函数的诱导公式即可得解.

【详解】由题意得，，

则，

所以.

故答案为：.

四、解答题

17．为何实数时，复数是：

（1）实数；

（2）虚数；

（3）纯虚数．

【答案】（1）或2；（2）且；（3）

【分析】首先化简所给的复数，然后得到关于m的方程或不等式，据此即可确定z为实数、虚数、纯虚数时m的值或取值范围.

【详解】复数，

（1）复数为实数可得，解得或2．

（2）复数为虚数可得，解得且．

（3）复数为纯虚数可得：并且，解得．

【点睛】本题主要考查复数的运算法则，已知复数的类型求参数的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

18．在中，角、、的对边分别为、、，已知．

（1）求角；

（2）若，，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想结合两角和的正弦公式化简可得的值，再结合角的取值范围可求得角的值；

（2）利用余弦定理求得的值，然后利用正弦定理可求得的值.

【详解】（1）中，由已知及正弦定理得：，

整理得：，

，，，

又，；

（2）因为，所以，即，化简得，

，，

因为，，

在中，．

【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.

19．已知向量的夹角为, 且

(1) 求在上的投影; (2) 求.

【答案】（1）-1；（2）.

【分析】（1）由向量投影的几何意义，计算即可得到；

（2）由向量的平方即为模的平方，计算可得到所求值．

【详解】解：（1）由＝2，＝1，，的夹角为120°，

则在上的投影为cos120°＝2×（﹣）＝﹣1．

（2）＝

=.

【点睛】本题考查向量投影的计算，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．

20．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是的中点．

(1)求证：平面；

(2)求证：面面．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）连结交于，易知，由线面平行的判定证结论；

（2）由等腰三角形、线面垂直性质得、，再由线面垂直、面面垂直的判定定理证结论.

【详解】（1）连结交于，则是的中点，

连结，是的中点，则，

面，面，

面．

（2），是的中点，，

面，面，，

又，面，

面，面，

所以面面．

21．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面.

（1）证明：；

（2）设，求点到面的距离.

【答案】（1）见解析（2）

【详解】试题分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，一般用到线面垂直的性质定理，即先要证线面垂直，首先由已知底面.知，因此要证平面，从而只要证，这在中可证；（Ⅱ）要求点到平面的距离，可过点作平面的垂线，由（Ⅰ）的证明，可得平面，从而有平面，因此平面平面，因此只要过作于，则就是的要作的垂线，线段的长就是所要求的距离．

试题解析：（Ⅰ）证明：因为，，

由余弦定理得.

从而，∴，

又由底面，面，可得.

所以平面.故.

（Ⅱ）解：作，垂足为.

已知底面，则，

由（Ⅰ）知，又，所以.

故平面，.

则平面.

由题设知，，则，，

根据，得，

即点到面的距离为.

【解析】线面垂直的判定与性质．点到平面的距离．

22．如图，在四棱锥中，底面，且是直角梯形，，，点是的中点.

(1)证明：直线平面；

(2)者直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意证得，，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面；

（2）根据线面角的定义，得到即为直线与平面所成角，在直角中，求得，得到，结合，即可求解.

【详解】（1）证明：因为平而，平面，所以，

又因为，且，可得，

所以，所以

又由且平面，所以平面.

（2）解：由（1）知平面，所以即为直线与平面所成角，

在直角中，可得，可得，

在直角中，可得，

所以三棱锥的体积为.