2023年广东省东莞市新世纪英才学校中考数学二模试卷（含解析）

2023年广东省东莞市新世纪英才学校中考数学二模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月，汶川大地震，土耳其向我国捐赠人民币约万元年月，土耳其工地震，我国首批援助土耳其人民币万元，可谓是“滴水之恩，当涌泉相报”请将“万”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下面四个立体图形中，主视图是三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列与是同类二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  为庆祝中国共产主义青年团成立周年，某校团委组织“青春无悔，展示风采”主题演讲活动，如表是八年一班的得分情况：

数据，，，，的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心若，则这个正多边形的边数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若有意义，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  不等式组的整数解的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点为边上的动点，将沿折叠得到，连接、则下列结论中：当时，四边形为正方形；当时，的面积为；当在运动过程中，的最小值为；当时，其中结论正确的有(    )

 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解： ______ ．

12.  若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是______ ．

13.  如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果，那么的度数是______ ．

14.  如图，是的直径，是弦点不与点，点重合，且点与点位于直径两侧，若，则等于______ ．

15.  如图，在正方形中，对角线的长为，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值：，从，，中选择合适的的值代入求值．

18.  本小题分
如图，在中，，是的角平分线．
作的角平分线，交于点尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
求证：．

19.  本小题分
年月日至月日，第届世界大学生夏季运动会将在成都举行以下简称“成都大运会”，这是成都第一次举办世界性综合运动会某校为了解同学们对“成都大运会”竞赛项目的知晓情况，对部分同学进行了随机抽样调查，结果分为四种类型：
A、非常了解；、比较了解；、基本了解；、不了解并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表：

根据图表信息，解答下列问题：
本次调查总人数为______ 人，表中的值为______ ；
求扇形统计图中“”对应的扇形的圆心角的度数；
“非常了解”的四名同学分别是、两名女生，、两名男生，若从中随机选取两名同学向全校做交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名男生和一名女生的概率．

20.  本小题分
为迎接“五一”国际劳动节，某市政府准备购买紫花风和洋红风两种观花树苗，用来美化某大道沿路两侧景观，在购买时发现，紫花风树苗的单价比洋红风树苗的单价高了，用元购买紫花风树苗的棵数比用元购买洋红风树苗的棵数少棵．
问紫花风、洋红风两种树苗的单价各是多少元？
现需要购买紫花风、洋红风两种树苗共棵，且购买的总费用不超过元，求至少需要购买多少棵洋红风树苗？

21.  本小题分
如图，已知一次函数的图象与反比例函数第一象限内的图象相交于点，与轴相交于点．
求和的值；
如图，以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，双曲线交于点，连接、，求．

22.  本小题分
古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”小明决定研究一下圆，如图，是的直径，点是上的一点，延长至点，连接、、，且，过点作于点．
求证：是的切线；
若，求证：点是的中点；
在的条件下，若点是上一点不与、、重合，求的值．

23.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，为第一象限的抛物线上一点．

求抛物线的函数表达式；
求面积的最大值；
过点作，垂足为点，求线段长的取值范围；
若点为，分别为线段上一点，且四边形是平行四边形，直接写出的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数为．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题主要考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：万即的绝对值大于表示成的形式，
，，
万即表示成．
故选：．
万即用科学记数法表示成的形式，其中，，代入可得结果．
本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中是关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、主视图为长方形，不符合题意；
B、主视图为圆，不符合题意；
C、主视图为三角形，符合题意；
D、主视图为长方形，不符合题意；
故选：．
找到从正面看所得到的图形为三角形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：、与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与是同类二次根式，符合题意；
C、与不是同类二次根式，不符合题意；
D、与不是同类二次根式，不符合题意；
故选：．
先对各选项二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断即可．
本题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
 

5.【答案】 

【解析】解：将数据，，，，按照从小到大排列是：，，，，，
这组数据的中位数是，
故选：．
先将题目中的数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的中位数．
本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的含义，会求一组数据的中位数．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，，

、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，
点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，
，
，
这个正多边形的边数．
故选：．
连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

8.【答案】 

【解析】解：要使式子有意义，
则，
解得：，
故选：．
根据分母不为，二次根式内的式子为非负可求得．
本题考查分母不为零、二次根式有意义的条件，如本题，二次根式做分母，则要求二次根式内的式子为正数．掌握分母不为零、二次根式有意义的条件是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得，
解不等式得．
则不等式组的解集是：．
则整数解是、、，共有个．
故选：．
首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，根据不等式组的解集确定整数解及其个数即可．
此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
．
将沿折叠得到，
，，．
，
．
，
．
四边形是矩形．
，
四边形为正方形；故正确；
过作于，

点，点，
，．
，．
．
．
的面积为，故正确；
连接，
则，
即当时，取最小值．
，，
．
，
即的最小值为；故正确；
，
．
，
．
，，三点共线．
，
．
，
．
．
，
，
，故正确；
即结论正确的有个．
故选：．
由矩形的性质得到，根据折叠的性质得到，，；接着先推出四边形是矩形，然后根据正方形的判定定理即可得到四边形为正方形；故正确；
过作于，得到，，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到的面积为，故正确；
连接，于是得到，即当时，取最小值，根据勾股定理得到的最小值为；故正确；
根据已知条件推出，，三点共线，根据平行线的性质得到，等量代换得到，求得，根据勾股定理得到，故正确．
本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提取公因式，再用公式法因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：关于的方程有实数根，
，
解得．
故答案为：．
根据一元二次方程有实数根可得，直接求解即可．
此题考查一元二次方程根的判别式，解题关键是一元二次方程有实数根即．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
故答案为：．
根据平行线的性质求出，即可求出答案．
本题考查了平行线的性质，能求出的度数是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
首先可求得的度数，再根据圆周角定理，即可求解．
本题考查了圆周角定理以及圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握和运用圆周角定理是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，，
，
，

故答案为：
根据，求解即可．
本题考查了扇形的面积的计算及正方形的性质，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分面积．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、立方根的性质分别化简，再计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

17.【答案】解：原式

，
由分式有意义的条件可知：不能取，，
故，
原式
． 

【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

18.【答案】解：如图所示．

证明：，
，
是的角平分线，是的角平分线，
，
在和中，

≌，
． 

【解析】按照角平分线的作图步骤作图即可．
证明≌，即可得出．
本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图步骤以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：本次调查的总人数为人．
．
故答案为：，；
扇形统计图中“”对应的扇形圆心角的度数．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好选到一名男生和一名女生的结果有：，，，，，，，，共种，
恰好选到一名男生和一名女生的概率为．
用的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的总人数；用本次调查的总人数分别减去选择，，的学生人数，即可得的值．
用乘以本次调查中的学生人数所占的百分比，即可得出答案．
画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选到一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、统计表、扇形统计图，能够理解统计表和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：设洋红风树苗的单价是元，则紫花风树苗的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：紫花风树苗的单价是元，洋红风树苗的单价是元；
设需要购买棵洋红风树苗，则购买棵紫花风树苗，
由题意得：，
解得：，
答：至少需要购买棵洋红风树苗． 

【解析】设洋红风树苗的单价是元，则紫花风树苗的单价是元，由题意：用元购买紫花风树苗的棵数比用元购买洋红风树苗的棵数少棵．列出分式方程，解方程即可；
设需要购买棵洋红风树苗，则购买棵紫花风树苗，由题意：购买的总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

21.【答案】解：把点坐标代入一次函数解析式可得：
，
，
点在反比例函数图象上，
；

过点作垂足为，连接，

一次函数的图象与轴相交于点，
点的坐标为，
，
四边形是菱形，
，，
． 

【解析】把点坐标代入一次函数解析式可求得，则可求得点坐标，代入反比例函数解析式则可求得的值；
根据自变量与函数值的对应关系，可得点坐标，根据两点间距离公式，可得，根据菱形的性质，可得的长，根据平行线间的距离相等，可得．
本题考查了反比例函数综合题，解的关键是待定系数法，解的关键是利用平行线间的距离都相等得出是解题关键．
 

22.【答案】证明：连接，

是的直径，
，
，
，
，
，
，即，
，
是的半径，
是的切线；
证明：，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
点是的中点；
解：连接，

则，而，，
，，
，
，
∽，
，
即的值为． 

【解析】要证明是的切线，只需证明，即即可；
利用直角三角形斜边中线的性质证明是等边三角形，利用等边三角形的性质即可得到结论；
连接，由，，证明∽，即可得到答案．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
 

23.【答案】解：抛物线交轴于点，
令，，
点的坐标为；
抛物线与轴交于点，，
设，将点代入，
得：，
解得：，

；
该抛物线的函数表达式为；

如图所示，过点作轴于点，交于点，

设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
设点，则点，
，
，
当时，面积的最大值为；

如图，过点作轴于点，交于点，

设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
设点，则点，
，
在中，，
，轴，
，
，
，
又，
∽，
，
即，
，
当时，取得最大值为，
；

如图，点为，分别为线段上一点，且四边形是平行四边形，

设，，
，，
，
解得：或舍去，
． 

【解析】设，将点代入，待定系数法求解析式即可求解；
直线的解析式为，设点，则点，得出，进而根据三角形的面积公式，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解；
同得出，证明∽，得出，根据二次函数的性质即可求解；
设，，表示出、、、，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解．
本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，菱形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．