2023年广东省东莞市翰林实验学校中考数学二模试卷（含解析）

2023年广东省东莞市翰林实验学校中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，下列不等式不一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若代数式有意义，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 且

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  某小区户家庭的日用电量统计如下表：

这户家庭日用电量的众数、中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.  某种病毒直径是米，数字用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  将抛物线向左平移个单位后，得到新抛物线的解析式是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，是的外接圆，，，则劣弧的长等于(    )

A.
B.
C.
D.

9.  在综合实践课上，某班同学测量校园内一棵树的高度如图，测量仪在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为点、、在同一条水平主线上，已知测量仪的高度米，米，则树的高度是【参考数据：，，】(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

10.  如图，在正方形中，，动点自点出发沿方向以每秒的速度运动，同时动点自点出发沿折线以每秒的速度运动，到达点时运动同时停止，设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中能大致反映与之间函数关系的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  已知，，则 ______ ．

12.  一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ．

13.  如图，菱形的对角线与交于点，，：：，则 ______ ．

14.  如图，在扇形中，，点为的中点，交弧于点，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，若，则阴影部分的面积为______．

15.  如图，已知点在反比例函数上，作，使边在轴上且，点在上且，连并延长交轴于点，若的面积为，的面积为，则______．
 

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
解不等式组：．

18.  本小题分
如图，已知，．
尺规作图：作的高保留作图痕迹，不写作法；
若，，求的长．

19.  本小题分
为了抓住商机，某商店决定购进、两种艺术节纪念品，若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元；若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元．
求购进、两种纪念品每件各需多少元？
若该商店决定购进这两种纪念品件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这件纪念品的资金不超过元，那么该商店最多可购进纪念品多少件？
若销售每件种纪念品可获利润元，每件种纪念品可获利润元，在第问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？

20.  本小题分
劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观、某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图根据题中已有信息，解答下列问题：

______ ， ______ ；
若该校学生有人，试估计劳动时间在范围的学生有多少人？
劳动时间在范围的名学生中有男生名，女生名，学校准备从中任意抽取名交流劳动，求抽取的名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．

21.  本小题分
如图，、分别是的直径和弦，弦与、分别相交于点、，过点的切线与的延长线相交于点，且．
求证：；
若，，求的半径长．

22.  本小题分
如图，在正方形中，点是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连结，，延长交于点．
求证：≌；
如图，延长交于点若，，求线段的长；
将正方形改成矩形，同样沿着折叠，连结，延长，交直线于，两点，若，，求的值用含的代数式表示．

 

23.  本小题分
如图，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，抛物线的顶点为．
求抛物线的解析式；
若点在轴上，且，求点的坐标．
若是直线下方抛物线上任意一点，过点作轴于点，与交于点．
求线段长度的最大值．
在的条件下，若为轴上一动点，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故选D．
直接利用倒数的定义得出答案．
本题主要考查倒数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，故本选项不符合题意；
B.，
，故本选项不符合题意；
C.，
当时，；当时，，故本选项符合题意；
D.，
，故本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：且．
故选：．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于，分母不等于，可以求出的范围．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则和公式法进行因式分解对各个选项进行判断即可．
本题考查的是合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方和因式分解，掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则和利用平方差公式进行因式分解是解题的关键．
【解答】
解：与不是同类项，不能合并，A错误；
，B错误；
，C正确；
，D错误，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：出现了次，出现的次数最多，
众数是；
共有个数，
中位数是第、个数的平均数，
中位数是．
故选：．
根据众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数据，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，即可得出答案．
此题考查了中位数和众数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

6.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值是易错点，由于的第一个不是的数字前面有个，所以可以确定．
此题考查科学记数法表示较小的数的方法，确定的值是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：将抛物线向左平移个单位后，得到新抛物线的解析式是：，
故选：．
按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆周角定理，弧长的计算以及等边三角形的判定与性质．根据圆周角定理得到是解题的关键所在连接、，利用圆周角定理求得，然后利用弧长公式来计算劣弧的长．
【解答】
解：如图，连接、，


，
，
又，
是等边三角形，
，
劣弧的长为：．
故选A．  

9.【答案】 

【解析】解：连接交于点，则，

，．
设米，
在中，，
，
．
在中，，
，
即：，
解得，
即．
米．
树的高度约为米．
故选：．
设米，根据可得到、，然后利用解直角三角形的知识计算求解即可．
本题主要考查了仰角型解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解答本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：点自点出发沿折线以每秒的速度运动，到达点时运动同时停止，
到的时间为：，
分两部分：
当时，如图，此时在上，
；
                  
当时，如图，此时在上，
，
，
，
故选：．
分两部分计算的关系式：当点在上时，易得的关系式为一个一次函数；当点在上时，表示出的关系式，易知的关系式为一个开口向下的二次函数．
本题考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
提公因式法分解因式后，再整体代入求值即可．
本题考查提公因式法分解因式，找出公因式是正确进行因式分解的前提．
 

12.【答案】且 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，即，
解得，
的取值范围为且．
故答案为：且
根据一元二次方程的定义和的意义得到且，即，然后解不等式即可得到的取值范围．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
 

13.【答案】 

【解析】解：菱形的对角线与交于点，
，，，
：：，
，则，
，
．
故答案为：．
由菱形的性质可得、、，再根据：：可得，即；再运用勾股定理可得，进而求得即可．
本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用菱形的性质是解答本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接、，
点为的中点，
，，
为等边三角形，
，



．
故答案为：．
连接、，根据点为的中点可得，继而可得为等边三角形，求出扇形的面积，最后用扇形的面积减去扇形的面积，再减去即可求出阴影部分的面积．
本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接、，

，的面积为，
，，
的面积为，
，
，，．
反比例函数图象在第二象限，．
．
故答案为：．
本题考查反比例函数系数的几何意义．反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．
先根据题意确定三角形的面积，然后根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，再由函数所在的象限确定的值．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

17.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：如图，线段即为所求作．


在中，，
，
，
，
，，
，
∽，
，
．
解法二：此题解法复杂了，，通过计算更快． 

【解析】根据要求作出图形即可．
利用相似三角形的性质解决问题即可．
本题考查作图基本作图，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：设购进每件种纪念品需元，每件种纪念品需元，
依题意得：，
解得：．
答：购进每件种纪念品需元，每件种纪念品需元．
设可购进种纪念品件，则购进种纪念品件，
依题意得：，
解得：．
答：该商店最多可购进纪念品件．
设获得的总利润为元，则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值．
答：当购进种纪念品件，种纪念品件时，获利最大，最大利润是元． 

【解析】设购进每件种纪念品需元，每件种纪念品需元，根据“若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元；若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设可购进种纪念品件，则购进种纪念品件，根据总价单价数量，结合于购买这件纪念品的资金不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
设获得的总利润为元，根据总利润每件的利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

20.【答案】   

【解析】解：，
；
故答案为：，；
人，
所以估计劳动时间在范围的学生有人；
画树状图为：

共有种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
用组人数除以它所占的百分比得到的值，然后分别减去、、、组的人数得到的值；
用乘以、组的人数所占的百分比的和即可；
画树状图展示所有种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．
 

21.【答案】证明：如图，连接，
是的切线，
．
即．
，．
，．
，．
．
．
．

解：如图，连接，
、分别是的直径和弦，
．
即．
．
在中，．
的半径长为． 

【解析】根据切线的性质以及等腰三角形的性质首先求出，进而得出即可得出；
连接，首先得出，利用锐角三角函数得出即可得出半径．
此题主要考查了圆的综合应用以及切线的判定与性质和锐角三角函数应用，根据已知得出是解题关键．
 

22.【答案】证明：如图中，

是由折叠得到，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
≌．

如图中，连接．

≌，
，
由折叠可知，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
或舍弃，
．

如图中，连接．

由题意，可以假设，，设．
当点在点的左侧时，
，
，
由折叠可知，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，

，
，
或舍弃，
．
当点在点的右侧时，如图中，

同理，∽，
，，
，
，
，
或舍弃，
．
综上所述，或． 

【解析】根据证明三角形全等即可；
如图中，连接根据，求出即可解决问题；
如图中，连接由题意，可以假设，，设分两种情形：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，如图中，分别利用勾股定理构建方程求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 

23.【答案】解：把，点代入抛物线中得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；


顶点，
当时，，
，
或，
；
如图，连接，

设所在直线的解析式为：，将点坐标代入函数解析式，得
，
解得，
故BD所在直线的解析式为：，
，
，
设所在直线的解析式为：，将点坐标代入函数解析式，得，
故CE所在直线的解析式为：，
当时，．
点坐标；

如图，

，，
设的解析式为：，
则，解得：，
的解析式为：，
设，则，
，
当时，有最大值为；
当有最大值，，
在轴的负半轴了取一点，使，过作于，
，
当、、三点共线时，最小，即的值最小，
中，，
，
，
，
中，，
，
，
的最小值是． 

【解析】将、代入，待定系数法即可求得抛物线的解析式；
根据待定系数法，可得的解析式，根据平行线的判定和两平行直线的函数解析式的关系，根据待定系数法，可得的解析式，进一步可得答案；
根据的解析式和抛物线的解析式，设，则，表示的长，根据二次函数的最值可得：当时，的最大值；
当的最大值时，，确定的位置：在轴的负半轴了取一点，使，过作于，当、、三点共线时，如图，最小，即的值最小，根据度的直角三角形的性质可得结论．
本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，正确画图是关键，此题题型较好，综合性比较强．用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想．