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2023年广东省东莞市石竹实验学校中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年广东省东莞市石竹实验学校中考数学二模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省东莞市石竹实验学校中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2023的相反数是( )
A. −12023 B. −2023 C. 12023 D. 2023
2. ChatGPT是一种人工智能技术驱动的自然语言处理工具.Snapchat将推出基于ChatGPT的自有聊天机器人，最终目标让Snapchat的7.5亿月活跃用户都可以使用该机器人.其中7.5亿用科学记数法表示为( )
A. 7.5×108 B. 75×108 C. 7.5×109 D. 0.75×109
3. 如图所示的几何体由5个大小相同的立方块搭成，则该几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列各式计算正确的是( )
A. 6a+2a=8a2 B. (a−b)2=a2−b2
C. a4⋅a6=a10 D. (a3)2=a5
5. 如图，AB//CD，∠D=40°，∠F=30°，则∠B的度数是( )
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
6. 把抛物线y=−x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为( )
A. y=−(x−1)2+3 B. y=−(x+1)2+3
C. y=−(x+1)2−3 D. y=−(x−1)2−3
7. 不等式组4−x≥33x−1>−10的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，点O为菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，点M，N分别为边AB，BC的中点，连接MN，若MN=2，BD=4 3，则菱形的周长为( )
A. 8 3 B. 12 C. 12 3 D. 16
9. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx(k>0)的图象经过点A(2,m)、B(6,n)，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC交BD于点E.若BE=2AE，则k的值为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
10. 在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为(1,0)，每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2023的坐标为( )
A. (−22022,− 3×22022) B. (22022, 3×22022)
C. (22021,− 3×22021) D. (22023, 3×22023)
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 单项式−2x2y3的次数是______ ．
12. 若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为______cm2.(结果保留π)
13. 已知|x+2y|+(3x−2y−8)2=0，则x+y= ______ ．
14. 若x1，x2是一元二次方程x2+x−3=0的两个实数根，则x22−x1+8的值为______ ．
15. 如图，在正方形ABCD中，点E为CD边中点，连接AE，AE与对角线BD交于点F，连接CF，BE，且CF与BE交于点H，连接DH，则下列结论：①BE⊥CF；②FHEH=43；③DH2=CH⋅BH；④△EHD∽△FDC；其中正确的是______.(填序号即可)
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
计算： 16+2sin30°+(12)−1−(54−π)0．
17. (本小题8.0分)
先化简：(1+1x−1)÷x2x2−1，再从−1，0，1， 5中选择一个合适的数代入求值．
18. (本小题8.0分)
国家航天局消息：北京时间2022年12月4日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功.某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：
(1)此次调查中接受调查的人数为______ 人；
(2)补全条形统计图；
(3)该校共有900人，根据调查结果估计该校“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？
(4)该校九年一班非常关注的学生有A、B、C、D四人，随机选取两人去参加学校即将举办的航天知识竞赛，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、B两位同学的概率．
19. (本小题9.0分)
某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠.现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0
(2)若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
20. (本小题9.0分)
如图，AB为⊙O的直径，C是AB延长线上一点，点D为AB上方⊙O上的点，已知∠DAC=∠CDB．
(1)求证：直线CD为⊙O的切线；
(2)若CD=2BC=4，求半径的长．
21. (本小题9.0分)
为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为0.9m.(参考数据：sin22°≈38，tan22°≈25，sin31°≈1325，tan31°≈35)
(1)求BT的长(不考虑其他因素)；
(2)一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离.某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是149m，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求(大灯与前轮前端间水平距离忽略不计)，并说明理由．
22. (本小题12.0分)
综合与实践：【问题情境】：通过查看出厂包装袋上的数据，数学活动小组的同学发现A4纸的长与宽分别为297mm和210mm，其比值为297210≈1.414，而 2≈1.414，他们上网查阅资料也发现A4纸的长与宽的比是一个特殊值“ 2”.不妨定义长与宽的比为 2：1的矩形为“标准矩形”.【操作实践】：如图1，数学活动小组的同学在几何画板软件上画了一个正方形ABCD，连接对角线BD，在射线DC上截取了DE=DB，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，令AB=1．
【问题探究】：(1)求证：四边形AFED为“标准矩形”；
(2)如图2，数学活动小组的同学在图1的基础上隐藏了线段BC，在线段EF上取一点P，连接BP，DP．
①当DP平分∠BDE时，求PF的长；
②当△BDP的周长最小时，求∠PBF的正切值．
23. (本小题12.0分)
如图，二次函数的图象交x轴于点A(−2,0)，B(8,0)，交y轴于点C(0,4)，连接AC，BC，点P是线
段OB上一动点，过点P作直线PD//AC，交y轴于点D，交线段BC于点E，交x轴上方二次函数的图象于点F．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当点P为线段DE的三等分点时，求点P的坐标；
(3)在线段OB上是否存在点P，使得四边形AEFC为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：−2023的相反数为2023．
故选：D．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题主要考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】A
【解析】解：7.5亿=750000000=7.5×108．
故选：A．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：A．
根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、原式=8a，不符合题意；
B、原式=a2−2ab+b2，不符合题意；
C、原式=a10，符合题意；
D、原式=a6，不符合题意，
故选C
各项计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵∠CEF=∠D+∠F，∠D=40°，∠F=30°，
∴∠CEF=70°，
∵AB//CD，
∴∠B=∠CEF=70°，
故选：D．
根据三角形内角和定理及平行线的性质求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：抛物线y=−x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为：y=−(x+1)2+3．
故选：B．
根据二次函数图象平移的方法即可得出结论．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：解不等式4−x≥3，得：x≤1，
解不等式3x−1>−10，得：x>−3，
则不等式组的解集为−3
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵M、N是AB和BC的中点，即MN是△ABC的中位线，
∴AC=2MN=4，
∴OA=2，OB=12BD=2 3，
在Rt△ABO中，AB= OA2+OB2= 4+12=4，
所以菱形的周长为16，
故选：D．
根据MN是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理求的AC的长，然后根据菱形的性质求解．
本题考查了三角形的中位线定理和菱形的性质，理解中位线定理求的AC的长是关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k>0)的图象经过点A(2,m)、B(6,n)，
∴m=k2，n=k6，
∴A(2,k2)，B(6,k6)，
∴OC=2，BD=6，AC=k2，OD=k6，
∴DE=OC=2，EC=OD=k6，
∴BE=BD−DE=6−2=4，AE=AC−EC=k2−k6=k3，
∵BE=2AE，
∴4=2×k3，
解得k=6．
故选：C．
把点A和点B的坐标分别代入反比例函数，得到m=k2，n=k6，从而得到OC=2，BD=6，AC=k2，OD=k6，进一步得到DE=OC=2，EC=OD=k6，由BE=2AE，得到4=2×k3，求得k=6．
本题主要考查反比例函数上点的特征，由点的坐标转化为线段的长度是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵A(1,0)，
∴OA=1，
∵每次旋转角度为60°，
∴6次旋转360°，
第一次旋转后，A1在第一象限，OA1=2，
第二次旋转后，A2在第二象限，OA2=22，
第三次旋转后，A3在x轴负半轴，OA3=23，
第四次旋转后，A4在第三象限，OA4=24，
第五次旋转后，A5在第四象限，OA5=25，
第六次旋转后，A6在x轴正半轴，OA6=26，
……
如此循环，每旋转6次，点A的对应点又回到x轴正半轴，
∵2023÷6=337…1，
点A2023在第一象限，且OA2023=22023，
如图，过点A2023作A2023H⊥x轴于H，
在Rt△OHA2023中，∠HOA2023=60°，
∴OH=OA2023⋅cos∠HOA2023=22023×cos60°=22023×12=22022，
A2023H=OA2023⋅sin∠HOA2023=22023× 32= 3×22022，
∴点A2023的坐标为(22022, 3×22022)．
故选：B．
根据旋转角度为60°，可知每旋转6次后点A又回到x轴的正半轴上，故点A2023在第一象限，且OA2023=22023，即可求解．
本题考查图形的旋转，解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质，根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．
11.【答案】5
【解析】解：∵单项式的次数是所有字母的指数的和，
∴−2x2y3的次数是5次．
故答案为：5．
单项式的次数是所有字母的指数的和，根据定义解题即可．
本题主要考查单项式的次数，能够熟练运用定义算出次数是解题关键．
12.【答案】解：底面圆的半径为3cm，
则底面周长=2×π×3=6π(cm)，
圆锥的侧面积=12×6π×4=12π(cm2).
故答案为：12π．
【解析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和圆锥的侧面积公式求解．
13.【答案】1
【解析】解：∵|x+2y|+(3x−2y−8)2=0，
∴x+2y=03x−2y−8=0
解得x=2y=−1
∴x+y=2−1=1，
故答案为：1．
根据非负数的性质得出x+2y=03x−2y−8=0，解方程组即可求解．
本题考查了非负数的性质，加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．
14.【答案】12
【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x−3=0的两个实数根，
∴x22+x2=3，x1+x2=−1，
∴x22−x1+8=x22+x2−x2−x1+8=3+1+8=12，
故答案为：12．
根据一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的定义，得出x22+x2=3，x1+x2=−1，代入代数式即可求解．
本题考查了一元二次方程根的定义以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
15.【答案】①②③
【解析】解：∵点E为CD边中点，
∴DE=CE，
又∵AD=BC，∠ADE=∠BCE=90°，
∴△ADE≌△BCE(SAS)，
∴∠DAE=∠CBE，
∵AD=CD，∠ADF=∠CDF=45°，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF(SAS)，
∴∠DCF=∠DAF，
∴∠DCF=∠CBE，
∵∠CBE+∠BEC=90°，
∴∠BEC+∠DCF=90°，
∴∠CHE=90°，
∴BE⊥CF，故①正确；
设AB=BC=CD=AD=2a，则DE=CE=a，BD=2 2a，
∴AE=BE= BC2+CE2= 5a，
∵S△BCE=12×BC×CE=12×BE×CH，
∴2a×a= 5a×CH，
∴CH=2 55a，
∵tan∠BEC=BCEC=CHHE，
∴HE=2 55 a×a2a= 55a，
∴BH=4 55a，
∵AB//CD，
∴△ABF∽△EDF，
∴DEAB=EFAF=DFBF，
∴EF=12AF，DF=12BF，
∴EF= 53a，AF=2 53a，DF=2 23a，
∴FH= EF2−HE2= 59a2−15a2=4 515a，
∴FHEH=4 515a 55a=43，故②正确；
过点H作HN//BC，交CD于N，
∴∠DNH=∠BCD=90°，△EHN∽△EBC，
∴EHBE=ENEC=HNBC，
∴ 55a 5 a=ENa=HN2a，
∴EN=15a，HN=25a，
∴DN=65a，
∴DH2=DN2+HN2=3625a2+425a2=85a2，
∵CH⋅BH=2 55a×4 55a=85a2，
∴DH2=CH⋅BH，故③正确；
∵DECF= a4 515a+2 55a=3 510，DHCD= 85a22a= 105，
∴DECF≠DHCD，
∴△EHD与△FDC不相似，故④错误，
故答案为：①②③．
由“SAS”可证△ADE≌△BCE，△ADF≌△CDF，可得∠DCF=∠DAF=∠CBE，由余角的性质可证BE⊥CF，故①正确；设AB=BC=CD=AD=2a，则DE=CE=a，由相似三角形的性质和勾股定理分别求出HE，FH的长，可得FHEH=43，故②正确；由相似三角形的性质分别求出DH2的值，CH⋅BH的值，可得DH2=CH⋅BH，故③正确；分别求出DHCD， DECF的值，可判断△EHD与△FDC不相似，故④错误，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，利用参数表示线段的长度是解题的关键．
16.【答案】解： 16+2sin30°+(12)−1−(54−π)0
=4+2×12+2−1
=4+1+2−1
=6．
【解析】根据求一个数的算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握求一个数的算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂是解题的关键．
17.【答案】解：(1+1x−1)÷x2x2−1
=x−1+1x−1⋅(x+1)(x−1)x2
=xx−1⋅(x+1)(x−1)x2
=x+1x，
∵x2−1≠0，x≠0，
∴x≠±1，x≠0，
∴当x= 5时，原式= 5+1 5=5+ 55．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】50
【解析】解：(1)6÷12%=50(人)，
故答案为：50；
(2)“非常关注”的人数为：50−4−6−24=16(人)，补全条形统计图如下：
(3)由题意可得：900×24+1650=720(人)，
答：估计该校“比较关注”，“非常关注”航天科技的人数共720人；
(4)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A、B两位同学的结果为2种，
所以恰好抽到A、B两位同学的概率为212=16．
(1)由“关注”的人数除以所占百分比得出此次调查中接受调查的人数；
(2)求出“非常关注”的人数，补全条形统计图即可；
(3)由该校共有人数乘以该校“关注”，“比较关注”，“非常关注”航天科技的人数所占的比例即可；
(4)画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A、B两位同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图求概率及条形统计图和扇形统计图等知识，正确画出树状图是解决问题的问题．
19.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
将(2,100)，(5,160)代入y=kx+b得：2k+b=1005k+b=160，
解得：k=20b=60，
∴y与x之间的函数关系式为y=20x+60(0
整理得：x2−17x+60=0，
解得：x1=5，x2=12，
又∵要让顾客获得更大实惠，
∴x=12．
答：这种干果每千克应降价12元．
【解析】(1)观察函数图象，根据图象上点的坐标，利用待定系数法，即可求出y与x之间的函数关系式；
(2)利用总利润=每千克的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再结合要让顾客获得更大实惠，即可得出这种干果每千克应降价7元．
本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)根据图中点的坐标，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式；(2)根据各数量之间的关系，列式计算；(3)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
20.【答案】(1)证明：如图所示，连接OD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAO，
∵∠DAC=∠CDB，
∴∠ODA=∠CDB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ODA+∠ODB=90°．
∴∠CDB+∠ODB=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD⊥DC．
又∵OD是⊙O的半径，
∴直线CD为⊙O的切线．
(2)解：∵∠CDB=∠CAD，∠C=∠C，
∴△CBD∽△CDA，
∴CBCD=CDCA=12
∴CA=8，
∴AB=CA−CB=6．
【解析】(1)如图所示，连接OD，根据切线的证明方法即可求解；
(2)根据题意，证明△CBD∽△CDA，再根据相似三角形的性质即可求解．
本题主要考查圆与三角形的综合，掌握相似三角形的判定与性质，切线的判定定理及其推论是解题的关键．
21.【答案】解：(1)根据题意及图知：∠ACT=31°，∠ABT=22°，
∵AT⊥MN，
∴∠ATC=90°，
在Rt△ACT中，∠ACT=31°，
∴tan31°=ATCT=35，
可设AT=3x米，则CT=5x米，
在Rt△ABT中，∠ABT=22°，
∴tan22°=ATBT=ATBC+CT=25，
即：3x0.9+5x=25，
解得：x=0.36，
∴CT=5×0.36=1.8(m)，
∴BT=BC+CT=0.9+1.8=2.7(m)；
(2)20km/h=509m/s，
509×0.2=109m，
109+149=83<2.7，
∴该车大灯的设计能满足最小安全距离的要求．
【解析】(1)在直角△ACT中，根据三角函数的定义，若AT=3x，则CT=5x，在直角△ABT中利用三角函数即可列方程求解；
(2)求出正常人作出反应过程中电动车行驶的路程，加上刹车距离，然后与BT的长进行比较即可．
本题考查了解直角三角形，正确利用三角函数列出方程进行求解，正确理解方程思想是关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=1，∠A=90°．
∴BD= AB2+AD2= 2．
∴DE=BD= 2．
∴DE：AD= 2：1．
∴四边形AFED为“标准矩形”．
(2)①解：∵DP平分∠BDE，
∴∠BDP=∠EDP．
又∵DB=DE，DP=DP，
∴△BDP≌△EDP(SAS)．
∴∠DBP=∠E=90°，BP=EP．
∵AD=AB，∠A=90°，
∴∠ABD=45°．
∴∠PBF=45°．
∴△PBF是等腰直角三角形．
∴PB= 2PF．
设PF=x，则PB=PE=1−x．
∴1−x= 2x，
解得x= 2−1．
∴PF= 2−1．
②解：延长BF至点B1，使得FB1=FB，连接DB1，交EF于点P，连接PB，如解图所示，则此时△BDP的周长最小．
∵AF=BD= 2，AB=1，
∴FB1=FB= 2−1．
∴AB1= 2+( 2−1)=2 2−1．
由轴对称的性质，得∠PBF=∠PB1F.
∴tan∠PBF=tan∠PB1F=ADAB1=12 2−1=2 2+17．
【解析】(1)由已知得DE=BD= 2，可证得DEAD= 2，得证．
(2)①由DE=DB，∠EDP=∠BDP，DP=DP可得△BDP≌△EDP，得∠PBD=∠E=90°，∠PBF=45°，设PF=x，由PE=PB得1−x= 2x，解出x即可．
②延长BF至点B1，使得FB1=FB，连接DB1，交EF于点P，连接PB，则此时△BDP的周长最小，由轴对称的性质，得∠PBF=∠PB1F，所以tan∠PBF=tan∠PB1F=ADAB1，分别求出AD，AB1长即可．
本题考查了几何变换的综合应用，涉及的知识点有勾股定理，全等三角形的判定和性质，应用轴对称求三角形的周长最短，锐角三角函数值的求法．熟练掌握相关的知识，添加适当的辅助线进行转化是关键．
23.【答案】解：(1)∵二次函数的图象交x轴于点A(−2,0)，B(8,0)，
∴设二次函数的表达式为y=a(x+2)(x−8)．
将点C(0,4)代入y=a(x+2)(x−8)，得a(0+2)(0−8)=4，
解得：a=−14．
∴二次函数的表达式为y=−14(x+2)(x−8)=−14x2+32x+4；
(2)∵A(−2,0)，B(8,0)，C(0,4)，
∴OA=2，OC=4，OB=8．
∴AC= 22+42=2 5，BC= 42+82=4 5．
∵tan∠ACO=AOCO=12，tan∠CBO=COBO=12，
∴tan∠ACO=tan∠CBO．
∴∠ACO=∠CBO．
∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=∠CBO+∠BCO=90°．
∵PD//AC，
∴∠PEB=∠ACB=90°，∠ACO=∠ODP．
∴tan∠ODP=tan∠ACO=OPOD=12．
设OP=m，则OD=2m．
∴PD= 5m，PB=8−m．
∵sin∠CBO=PEPB=OCBC，
∴PE8−m=44 5，
∴PE=8−m 5．
∵点P为线段DE的三等分点，
∴PE=2PD或PD=2PE，
即8−m 5=2× 5m或 5m=2×8−m 5．
∴m=811或m=167．
∴点P的坐标为(811,0)或(167,0)；
(3)不存在，理由：
理由：假设在线段OB上存在点P，使得四边形AEFC为平行四边形，则EF=AC=2 5．
连接FC，FB，OF，如解图2所示．
则S△BCF=12BC⋅FE=12×4 5×2 5=20．
∴S四边形OBFC=S△OBC+S△BCF=12×4×8+20=36．
设F(d,−14d2+32d+4)，
则S四边形OBFC=S△OCF+S△OBF=12×4d+12×8(−14d2+32d+4)=36．
整理，得d2−8d+20=0．
∵Δ=(−8)2−4×1×20=−16<0，
∴该方程无实数解．
∴假设不成立．
∴在线段OB上不存在点P，使得四边形AEFC为平行四边形．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)由点P为线段DE的三等分点，则PE=2PD或PD=2PE，即8−m 5=2× 5m或 5m=2×8−m 5.即可求解；
(3)计算S△BCF=12BC⋅FE=12×4 5×2 5=20，得到S四边形OBFC=S△OBC+S△BCF=12×4×8+20=36，再计算平行四边形的面积，即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、三角形相似、解直角三角形、面积的计算等，其中(2)，要注意分类求解，避免遗漏．
2023年广东省东莞市石竹实验学校中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2023的相反数是( )
A. −12023 B. −2023 C. 12023 D. 2023
2. ChatGPT是一种人工智能技术驱动的自然语言处理工具.Snapchat将推出基于ChatGPT的自有聊天机器人，最终目标让Snapchat的7.5亿月活跃用户都可以使用该机器人.其中7.5亿用科学记数法表示为( )
A. 7.5×108 B. 75×108 C. 7.5×109 D. 0.75×109
3. 如图所示的几何体由5个大小相同的立方块搭成，则该几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列各式计算正确的是( )
A. 6a+2a=8a2 B. (a−b)2=a2−b2
C. a4⋅a6=a10 D. (a3)2=a5
5. 如图，AB//CD，∠D=40°，∠F=30°，则∠B的度数是( )
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
6. 把抛物线y=−x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为( )
A. y=−(x−1)2+3 B. y=−(x+1)2+3
C. y=−(x+1)2−3 D. y=−(x−1)2−3
7. 不等式组4−x≥33x−1>−10的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，点O为菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，点M，N分别为边AB，BC的中点，连接MN，若MN=2，BD=4 3，则菱形的周长为( )
A. 8 3 B. 12 C. 12 3 D. 16
9. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx(k>0)的图象经过点A(2,m)、B(6,n)，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC交BD于点E.若BE=2AE，则k的值为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
10. 在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为(1,0)，每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2023的坐标为( )
A. (−22022,− 3×22022) B. (22022, 3×22022)
C. (22021,− 3×22021) D. (22023, 3×22023)
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 单项式−2x2y3的次数是______ ．
12. 若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为______cm2.(结果保留π)
13. 已知|x+2y|+(3x−2y−8)2=0，则x+y= ______ ．
14. 若x1，x2是一元二次方程x2+x−3=0的两个实数根，则x22−x1+8的值为______ ．
15. 如图，在正方形ABCD中，点E为CD边中点，连接AE，AE与对角线BD交于点F，连接CF，BE，且CF与BE交于点H，连接DH，则下列结论：①BE⊥CF；②FHEH=43；③DH2=CH⋅BH；④△EHD∽△FDC；其中正确的是______.(填序号即可)
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
计算： 16+2sin30°+(12)−1−(54−π)0．
17. (本小题8.0分)
先化简：(1+1x−1)÷x2x2−1，再从−1，0，1， 5中选择一个合适的数代入求值．
18. (本小题8.0分)
国家航天局消息：北京时间2022年12月4日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功.某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：
(1)此次调查中接受调查的人数为______ 人；
(2)补全条形统计图；
(3)该校共有900人，根据调查结果估计该校“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？
(4)该校九年一班非常关注的学生有A、B、C、D四人，随机选取两人去参加学校即将举办的航天知识竞赛，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、B两位同学的概率．
19. (本小题9.0分)
某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠.现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0
(2)若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
20. (本小题9.0分)
如图，AB为⊙O的直径，C是AB延长线上一点，点D为AB上方⊙O上的点，已知∠DAC=∠CDB．
(1)求证：直线CD为⊙O的切线；
(2)若CD=2BC=4，求半径的长．
21. (本小题9.0分)
为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为0.9m.(参考数据：sin22°≈38，tan22°≈25，sin31°≈1325，tan31°≈35)
(1)求BT的长(不考虑其他因素)；
(2)一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离.某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是149m，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求(大灯与前轮前端间水平距离忽略不计)，并说明理由．
22. (本小题12.0分)
综合与实践：【问题情境】：通过查看出厂包装袋上的数据，数学活动小组的同学发现A4纸的长与宽分别为297mm和210mm，其比值为297210≈1.414，而 2≈1.414，他们上网查阅资料也发现A4纸的长与宽的比是一个特殊值“ 2”.不妨定义长与宽的比为 2：1的矩形为“标准矩形”.【操作实践】：如图1，数学活动小组的同学在几何画板软件上画了一个正方形ABCD，连接对角线BD，在射线DC上截取了DE=DB，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，令AB=1．
【问题探究】：(1)求证：四边形AFED为“标准矩形”；
(2)如图2，数学活动小组的同学在图1的基础上隐藏了线段BC，在线段EF上取一点P，连接BP，DP．
①当DP平分∠BDE时，求PF的长；
②当△BDP的周长最小时，求∠PBF的正切值．
23. (本小题12.0分)
如图，二次函数的图象交x轴于点A(−2,0)，B(8,0)，交y轴于点C(0,4)，连接AC，BC，点P是线
段OB上一动点，过点P作直线PD//AC，交y轴于点D，交线段BC于点E，交x轴上方二次函数的图象于点F．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当点P为线段DE的三等分点时，求点P的坐标；
(3)在线段OB上是否存在点P，使得四边形AEFC为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：−2023的相反数为2023．
故选：D．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题主要考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】A
【解析】解：7.5亿=750000000=7.5×108．
故选：A．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：A．
根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、原式=8a，不符合题意；
B、原式=a2−2ab+b2，不符合题意；
C、原式=a10，符合题意；
D、原式=a6，不符合题意，
故选C
各项计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵∠CEF=∠D+∠F，∠D=40°，∠F=30°，
∴∠CEF=70°，
∵AB//CD，
∴∠B=∠CEF=70°，
故选：D．
根据三角形内角和定理及平行线的性质求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：抛物线y=−x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为：y=−(x+1)2+3．
故选：B．
根据二次函数图象平移的方法即可得出结论．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：解不等式4−x≥3，得：x≤1，
解不等式3x−1>−10，得：x>−3，
则不等式组的解集为−3
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵M、N是AB和BC的中点，即MN是△ABC的中位线，
∴AC=2MN=4，
∴OA=2，OB=12BD=2 3，
在Rt△ABO中，AB= OA2+OB2= 4+12=4，
所以菱形的周长为16，
故选：D．
根据MN是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理求的AC的长，然后根据菱形的性质求解．
本题考查了三角形的中位线定理和菱形的性质，理解中位线定理求的AC的长是关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k>0)的图象经过点A(2,m)、B(6,n)，
∴m=k2，n=k6，
∴A(2,k2)，B(6,k6)，
∴OC=2，BD=6，AC=k2，OD=k6，
∴DE=OC=2，EC=OD=k6，
∴BE=BD−DE=6−2=4，AE=AC−EC=k2−k6=k3，
∵BE=2AE，
∴4=2×k3，
解得k=6．
故选：C．
把点A和点B的坐标分别代入反比例函数，得到m=k2，n=k6，从而得到OC=2，BD=6，AC=k2，OD=k6，进一步得到DE=OC=2，EC=OD=k6，由BE=2AE，得到4=2×k3，求得k=6．
本题主要考查反比例函数上点的特征，由点的坐标转化为线段的长度是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵A(1,0)，
∴OA=1，
∵每次旋转角度为60°，
∴6次旋转360°，
第一次旋转后，A1在第一象限，OA1=2，
第二次旋转后，A2在第二象限，OA2=22，
第三次旋转后，A3在x轴负半轴，OA3=23，
第四次旋转后，A4在第三象限，OA4=24，
第五次旋转后，A5在第四象限，OA5=25，
第六次旋转后，A6在x轴正半轴，OA6=26，
……
如此循环，每旋转6次，点A的对应点又回到x轴正半轴，
∵2023÷6=337…1，
点A2023在第一象限，且OA2023=22023，
如图，过点A2023作A2023H⊥x轴于H，
在Rt△OHA2023中，∠HOA2023=60°，
∴OH=OA2023⋅cos∠HOA2023=22023×cos60°=22023×12=22022，
A2023H=OA2023⋅sin∠HOA2023=22023× 32= 3×22022，
∴点A2023的坐标为(22022, 3×22022)．
故选：B．
根据旋转角度为60°，可知每旋转6次后点A又回到x轴的正半轴上，故点A2023在第一象限，且OA2023=22023，即可求解．
本题考查图形的旋转，解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质，根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．
11.【答案】5
【解析】解：∵单项式的次数是所有字母的指数的和，
∴−2x2y3的次数是5次．
故答案为：5．
单项式的次数是所有字母的指数的和，根据定义解题即可．
本题主要考查单项式的次数，能够熟练运用定义算出次数是解题关键．
12.【答案】解：底面圆的半径为3cm，
则底面周长=2×π×3=6π(cm)，
圆锥的侧面积=12×6π×4=12π(cm2).
故答案为：12π．
【解析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和圆锥的侧面积公式求解．
13.【答案】1
【解析】解：∵|x+2y|+(3x−2y−8)2=0，
∴x+2y=03x−2y−8=0
解得x=2y=−1
∴x+y=2−1=1，
故答案为：1．
根据非负数的性质得出x+2y=03x−2y−8=0，解方程组即可求解．
本题考查了非负数的性质，加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．
14.【答案】12
【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x−3=0的两个实数根，
∴x22+x2=3，x1+x2=−1，
∴x22−x1+8=x22+x2−x2−x1+8=3+1+8=12，
故答案为：12．
根据一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的定义，得出x22+x2=3，x1+x2=−1，代入代数式即可求解．
本题考查了一元二次方程根的定义以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
15.【答案】①②③
【解析】解：∵点E为CD边中点，
∴DE=CE，
又∵AD=BC，∠ADE=∠BCE=90°，
∴△ADE≌△BCE(SAS)，
∴∠DAE=∠CBE，
∵AD=CD，∠ADF=∠CDF=45°，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF(SAS)，
∴∠DCF=∠DAF，
∴∠DCF=∠CBE，
∵∠CBE+∠BEC=90°，
∴∠BEC+∠DCF=90°，
∴∠CHE=90°，
∴BE⊥CF，故①正确；
设AB=BC=CD=AD=2a，则DE=CE=a，BD=2 2a，
∴AE=BE= BC2+CE2= 5a，
∵S△BCE=12×BC×CE=12×BE×CH，
∴2a×a= 5a×CH，
∴CH=2 55a，
∵tan∠BEC=BCEC=CHHE，
∴HE=2 55 a×a2a= 55a，
∴BH=4 55a，
∵AB//CD，
∴△ABF∽△EDF，
∴DEAB=EFAF=DFBF，
∴EF=12AF，DF=12BF，
∴EF= 53a，AF=2 53a，DF=2 23a，
∴FH= EF2−HE2= 59a2−15a2=4 515a，
∴FHEH=4 515a 55a=43，故②正确；
过点H作HN//BC，交CD于N，
∴∠DNH=∠BCD=90°，△EHN∽△EBC，
∴EHBE=ENEC=HNBC，
∴ 55a 5 a=ENa=HN2a，
∴EN=15a，HN=25a，
∴DN=65a，
∴DH2=DN2+HN2=3625a2+425a2=85a2，
∵CH⋅BH=2 55a×4 55a=85a2，
∴DH2=CH⋅BH，故③正确；
∵DECF= a4 515a+2 55a=3 510，DHCD= 85a22a= 105，
∴DECF≠DHCD，
∴△EHD与△FDC不相似，故④错误，
故答案为：①②③．
由“SAS”可证△ADE≌△BCE，△ADF≌△CDF，可得∠DCF=∠DAF=∠CBE，由余角的性质可证BE⊥CF，故①正确；设AB=BC=CD=AD=2a，则DE=CE=a，由相似三角形的性质和勾股定理分别求出HE，FH的长，可得FHEH=43，故②正确；由相似三角形的性质分别求出DH2的值，CH⋅BH的值，可得DH2=CH⋅BH，故③正确；分别求出DHCD， DECF的值，可判断△EHD与△FDC不相似，故④错误，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，利用参数表示线段的长度是解题的关键．
16.【答案】解： 16+2sin30°+(12)−1−(54−π)0
=4+2×12+2−1
=4+1+2−1
=6．
【解析】根据求一个数的算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握求一个数的算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂是解题的关键．
17.【答案】解：(1+1x−1)÷x2x2−1
=x−1+1x−1⋅(x+1)(x−1)x2
=xx−1⋅(x+1)(x−1)x2
=x+1x，
∵x2−1≠0，x≠0，
∴x≠±1，x≠0，
∴当x= 5时，原式= 5+1 5=5+ 55．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】50
【解析】解：(1)6÷12%=50(人)，
故答案为：50；
(2)“非常关注”的人数为：50−4−6−24=16(人)，补全条形统计图如下：
(3)由题意可得：900×24+1650=720(人)，
答：估计该校“比较关注”，“非常关注”航天科技的人数共720人；
(4)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A、B两位同学的结果为2种，
所以恰好抽到A、B两位同学的概率为212=16．
(1)由“关注”的人数除以所占百分比得出此次调查中接受调查的人数；
(2)求出“非常关注”的人数，补全条形统计图即可；
(3)由该校共有人数乘以该校“关注”，“比较关注”，“非常关注”航天科技的人数所占的比例即可；
(4)画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A、B两位同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图求概率及条形统计图和扇形统计图等知识，正确画出树状图是解决问题的问题．
19.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
将(2,100)，(5,160)代入y=kx+b得：2k+b=1005k+b=160，
解得：k=20b=60，
∴y与x之间的函数关系式为y=20x+60(0
整理得：x2−17x+60=0，
解得：x1=5，x2=12，
又∵要让顾客获得更大实惠，
∴x=12．
答：这种干果每千克应降价12元．
【解析】(1)观察函数图象，根据图象上点的坐标，利用待定系数法，即可求出y与x之间的函数关系式；
(2)利用总利润=每千克的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再结合要让顾客获得更大实惠，即可得出这种干果每千克应降价7元．
本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)根据图中点的坐标，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式；(2)根据各数量之间的关系，列式计算；(3)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
20.【答案】(1)证明：如图所示，连接OD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAO，
∵∠DAC=∠CDB，
∴∠ODA=∠CDB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ODA+∠ODB=90°．
∴∠CDB+∠ODB=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD⊥DC．
又∵OD是⊙O的半径，
∴直线CD为⊙O的切线．
(2)解：∵∠CDB=∠CAD，∠C=∠C，
∴△CBD∽△CDA，
∴CBCD=CDCA=12
∴CA=8，
∴AB=CA−CB=6．
【解析】(1)如图所示，连接OD，根据切线的证明方法即可求解；
(2)根据题意，证明△CBD∽△CDA，再根据相似三角形的性质即可求解．
本题主要考查圆与三角形的综合，掌握相似三角形的判定与性质，切线的判定定理及其推论是解题的关键．
21.【答案】解：(1)根据题意及图知：∠ACT=31°，∠ABT=22°，
∵AT⊥MN，
∴∠ATC=90°，
在Rt△ACT中，∠ACT=31°，
∴tan31°=ATCT=35，
可设AT=3x米，则CT=5x米，
在Rt△ABT中，∠ABT=22°，
∴tan22°=ATBT=ATBC+CT=25，
即：3x0.9+5x=25，
解得：x=0.36，
∴CT=5×0.36=1.8(m)，
∴BT=BC+CT=0.9+1.8=2.7(m)；
(2)20km/h=509m/s，
509×0.2=109m，
109+149=83<2.7，
∴该车大灯的设计能满足最小安全距离的要求．
【解析】(1)在直角△ACT中，根据三角函数的定义，若AT=3x，则CT=5x，在直角△ABT中利用三角函数即可列方程求解；
(2)求出正常人作出反应过程中电动车行驶的路程，加上刹车距离，然后与BT的长进行比较即可．
本题考查了解直角三角形，正确利用三角函数列出方程进行求解，正确理解方程思想是关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=1，∠A=90°．
∴BD= AB2+AD2= 2．
∴DE=BD= 2．
∴DE：AD= 2：1．
∴四边形AFED为“标准矩形”．
(2)①解：∵DP平分∠BDE，
∴∠BDP=∠EDP．
又∵DB=DE，DP=DP，
∴△BDP≌△EDP(SAS)．
∴∠DBP=∠E=90°，BP=EP．
∵AD=AB，∠A=90°，
∴∠ABD=45°．
∴∠PBF=45°．
∴△PBF是等腰直角三角形．
∴PB= 2PF．
设PF=x，则PB=PE=1−x．
∴1−x= 2x，
解得x= 2−1．
∴PF= 2−1．
②解：延长BF至点B1，使得FB1=FB，连接DB1，交EF于点P，连接PB，如解图所示，则此时△BDP的周长最小．
∵AF=BD= 2，AB=1，
∴FB1=FB= 2−1．
∴AB1= 2+( 2−1)=2 2−1．
由轴对称的性质，得∠PBF=∠PB1F.
∴tan∠PBF=tan∠PB1F=ADAB1=12 2−1=2 2+17．
【解析】(1)由已知得DE=BD= 2，可证得DEAD= 2，得证．
(2)①由DE=DB，∠EDP=∠BDP，DP=DP可得△BDP≌△EDP，得∠PBD=∠E=90°，∠PBF=45°，设PF=x，由PE=PB得1−x= 2x，解出x即可．
②延长BF至点B1，使得FB1=FB，连接DB1，交EF于点P，连接PB，则此时△BDP的周长最小，由轴对称的性质，得∠PBF=∠PB1F，所以tan∠PBF=tan∠PB1F=ADAB1，分别求出AD，AB1长即可．
本题考查了几何变换的综合应用，涉及的知识点有勾股定理，全等三角形的判定和性质，应用轴对称求三角形的周长最短，锐角三角函数值的求法．熟练掌握相关的知识，添加适当的辅助线进行转化是关键．
23.【答案】解：(1)∵二次函数的图象交x轴于点A(−2,0)，B(8,0)，
∴设二次函数的表达式为y=a(x+2)(x−8)．
将点C(0,4)代入y=a(x+2)(x−8)，得a(0+2)(0−8)=4，
解得：a=−14．
∴二次函数的表达式为y=−14(x+2)(x−8)=−14x2+32x+4；
(2)∵A(−2,0)，B(8,0)，C(0,4)，
∴OA=2，OC=4，OB=8．
∴AC= 22+42=2 5，BC= 42+82=4 5．
∵tan∠ACO=AOCO=12，tan∠CBO=COBO=12，
∴tan∠ACO=tan∠CBO．
∴∠ACO=∠CBO．
∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=∠CBO+∠BCO=90°．
∵PD//AC，
∴∠PEB=∠ACB=90°，∠ACO=∠ODP．
∴tan∠ODP=tan∠ACO=OPOD=12．
设OP=m，则OD=2m．
∴PD= 5m，PB=8−m．
∵sin∠CBO=PEPB=OCBC，
∴PE8−m=44 5，
∴PE=8−m 5．
∵点P为线段DE的三等分点，
∴PE=2PD或PD=2PE，
即8−m 5=2× 5m或 5m=2×8−m 5．
∴m=811或m=167．
∴点P的坐标为(811,0)或(167,0)；
(3)不存在，理由：
理由：假设在线段OB上存在点P，使得四边形AEFC为平行四边形，则EF=AC=2 5．
连接FC，FB，OF，如解图2所示．
则S△BCF=12BC⋅FE=12×4 5×2 5=20．
∴S四边形OBFC=S△OBC+S△BCF=12×4×8+20=36．
设F(d,−14d2+32d+4)，
则S四边形OBFC=S△OCF+S△OBF=12×4d+12×8(−14d2+32d+4)=36．
整理，得d2−8d+20=0．
∵Δ=(−8)2−4×1×20=−16<0，
∴该方程无实数解．
∴假设不成立．
∴在线段OB上不存在点P，使得四边形AEFC为平行四边形．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)由点P为线段DE的三等分点，则PE=2PD或PD=2PE，即8−m 5=2× 5m或 5m=2×8−m 5.即可求解；
(3)计算S△BCF=12BC⋅FE=12×4 5×2 5=20，得到S四边形OBFC=S△OBC+S△BCF=12×4×8+20=36，再计算平行四边形的面积，即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、三角形相似、解直角三角形、面积的计算等，其中(2)，要注意分类求解，避免遗漏．
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