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第21章 一元二次方程（二） 知识点精讲精练 人教版数学九年级上册件课件PPT
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课题 第二十一章 一元二次方程（二）导入解下列方程：有没有简单的方法解这类方程呢？ 1. 因式分解法通过因式分解把一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解 一元二次方程的方法叫做因式分解法. 知识点一:因式分解法解一元二次方程2. 用因式分解法解一元二次方程的理论依据如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0，即若ab＝0，则a＝0或b＝0. 例1【例1】用因式分解法解下列方程：（1）x2＋2x＝0； （2）(2x＋3)2－2x－3＝0；（3）(2x－1)2－x2＝0； （4）y2－5y＋6＝0. 例1（1）（2）（1）x2＋2x＝0； （2）(2x＋3)2－2x－3＝0； 解：因式分解，得 x(x＋2)＝0. 于是得 x＝0，或x＋2＝0. x1＝0，x2＝－2. 解：因式分解，得(2x＋3)(2x＋3－1)＝0. 于是得 2x＋3＝0，或2x＋3－1＝0. 例1（3）（4）（3）(2x－1)2－x2＝0； （4）y2－5y＋6＝0. 解：因式分解，得 解：因式分解，得 (y－2)(y－3)＝0. 于是得 y－2＝0，或y－3＝0. y1＝2，y2＝3. 解一元二次方程时，要先观察方程结构，看看方程能否转化为一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积形式，若能，则采用因式分解法来解答比较简单. (2x－1＋x)(2x－1－x)＝0. 于是得2x－1＋x＝0，或2x－1－x＝0. 巩固1【巩固】1. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2－8x＋15＝0的一根，则此三角形的周长是（ ）A. 16 B. 12 C. 14 D. 12或16A巩固2（1）（2）【巩固】2. 解下列方程：（2）2(x－3)＝3x(x－3)；巩固2（3）（4）【巩固】2. 解下列方程：（3）16x2－9＝0；（4）y2－17y＋30＝0. (4)因式分解，得(y－2)(y－15)＝0. 于是得y－2＝0，或y－15＝0. y1＝2，y2＝15. 1. 列一元二次方程解实际问题的一般步骤（1）审：（2）设：（3）列：（4）解：（5）验：（6）答：审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系；设未知数，一种是直接设法，另一种是间接设法；用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程；根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值；检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义；写出实际问题的答案. 知识点二:列一元二次方程解常见的实际问题2. 列一元二次方程解常见的实际问题（1）行程问题 路程＝速度×时间. （2）平均增长率（降低率）问题 a为起始量，b为终止量，n为增长（或降低）的次数， 平均增长率公式：a(1＋x)n＝b（x为平均增长率）， 平均降低率公式：a(1－x)n＝b（x为平均降低率）.（3）传播问题 传播的第二轮可以抽象为一元二次方程，设a为传染 源数，x为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染 总个数为a(1＋x)2 .（4）销售利润问题 利润＝售价－进价； ； 售价＝进价×（1＋利润率）； 总利润＝总售价－总成本＝单件利润×总销售量.（5）几何图形问题 几何图形的面积、周长公式和图形之间的等量关系.（6）存款利息问题 本息和＝本金＋利息；利息＝本金×利率×期数.（7）数字问题两位整数＝十位数字×10＋个位数字；三位整数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字.例2（1）【例2】2018年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2 500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2020年，家庭年人均纯收入达到了3 600元. （1）求该贫困户2018年到2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率；a(1＋x)n＝b解：（1）设该贫困户2018年到2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，根据题意，得2 500(1＋x)2＝3 600，解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2（舍去）.答：该贫困户2018年到2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20％.例2（2）【例2】2018年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2 500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2020年，家庭年人均纯收入达到了3 600元. （2）若年平均增长率保持不变，2021年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4 200元？该贫困户2021年的家庭年人均纯收入＝该贫困户2020年的家庭年人均纯收入×（1＋增长率）（2）3 600×（1＋20％）＝4 320（元），∵4 320＞4 200，∴2021年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4 200元.巩固1【巩固】1. 一次同学聚会，每两人都相互握了一次手，小芳统计这次聚会上所有人一共握了21次手，则这次聚会的人数是（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 D巩固2（1）【巩固】2. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气. ”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆. 据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同. （1）求进馆人次的月平均增长率；解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则根据题意，得128＋128(1＋x)＋128(1＋x)2＝608，化简，得4x2＋12x－7＝0，解得x1＝0.5＝50％，x2＝－3.5（舍去）.答：进馆人次的月平均增长率为50％.巩固2（2）【巩固】2. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气. ”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆. 据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同. （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由. （2）∵进馆人次的月平均增长率为50％，∴第四个月的进馆人次为128×(1＋50％)3＝432（人次）∵432＜500，∴校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.例3【例3】某商店如果将进价为每件8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件. 现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件涨1元，其销售量就会减少20件. 那么，将售价定为多少，才能使每天所赚利润为640元？总利润＝单件利润×销售量解：设每件售价提高x元，则单件利润为（10＋x－8）元，即（x＋2）元，每天的销售量为（200－20x）件.根据题意，得(x＋2)(200－20x)＝640，化简，得x2－8x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝6.当x＝2时，售价为每件12元，每天的销售量为200－20×2＝160（件）；当x＝6时，售价为每件16元，每天的销售量为200－20×6＝80（件）.因为要减少进货量，所以售价应定为每件16元.答：将售价定为每件16元，才能使每天所赚利润为640元.巩固1【巩固】1. 将进价为90元的某种商品按100元出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售数量就减少10个，若想使利润达到9 000元，售价应是多少？设售价为x元，则可列方程（ ）A. (x－100)(500－10x)＝9000 B. (x－90)(500－10x)＝9000C. (x－100)[500－10(x－100)]＝9000 D. (x－90)[500－10(x－100)]＝9000 D巩固2【巩固】2. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元. 为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为 件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1 200元？26（2）设每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1 200元. 根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1 200，解得x1＝10，x2＝20. ∵要求每件盈利不少于25元，∴x2＝20应舍去， ∴x＝10. 答：每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1 200元. 例4【例4】如图，有一块矩形硬纸板，长30 cm，宽20 cm，在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子，当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200 cm2？解：设剪去正方形的边长为x cm，则制成无盖长方体盒子的底面长为（30－2x）cm，宽为（20－2x）cm，高为x cm.根据题意，得2[x(30－2x)＋x(20－2x)]＝200，化简，得2x2－25x＋50＝0，解得x1＝2.5，x2＝10. 当x＝10时，宽为20－2×10＝0，不合题意，舍去.答：当剪去正方形的边长为2.5 cm时，所得长方体盒子的侧面积为200 cm2.巩固1【巩固】如图，在一块长12 m，宽8 m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77 m2，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为__________________. (12－x)(8－x)＝77巩固2（1）【巩固】2. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm ，BC＝7 cm. 点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动. 当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，设运动时间为x s. （1）几秒后，△PBQ的面积等于6 cm2？巩固2（2）【巩固】2. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm ，BC＝7 cm. 点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动. 当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，设运动时间为x s. （2）运动过程中，△PQB的面积能否等于8 cm2？说明理由. 总结1. 解一元二次方程的方法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. 2. 解实际应用题题型（1）增长率问题：a为起始量，b为终止量，n为增长（或降低）的次数， 平均增长率公式：a(1＋x)n＝b（x为平均增长率），平均降低率公式：a(1－x)n＝b（x为平均降低率）；课堂总结总结2. 解实际应用题题型（2）几何图形问题：几何图形的面积、周长公式和图形之间的等量关系；（3）利润问题：单件利润＝售价－成本；总利润＝总售价－总成本＝单件利润×总销售量. 课堂总结
课题 第二十一章 一元二次方程（二）导入解下列方程：有没有简单的方法解这类方程呢？ 1. 因式分解法通过因式分解把一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解 一元二次方程的方法叫做因式分解法. 知识点一:因式分解法解一元二次方程2. 用因式分解法解一元二次方程的理论依据如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0，即若ab＝0，则a＝0或b＝0. 例1【例1】用因式分解法解下列方程：（1）x2＋2x＝0； （2）(2x＋3)2－2x－3＝0；（3）(2x－1)2－x2＝0； （4）y2－5y＋6＝0. 例1（1）（2）（1）x2＋2x＝0； （2）(2x＋3)2－2x－3＝0； 解：因式分解，得 x(x＋2)＝0. 于是得 x＝0，或x＋2＝0. x1＝0，x2＝－2. 解：因式分解，得(2x＋3)(2x＋3－1)＝0. 于是得 2x＋3＝0，或2x＋3－1＝0. 例1（3）（4）（3）(2x－1)2－x2＝0； （4）y2－5y＋6＝0. 解：因式分解，得 解：因式分解，得 (y－2)(y－3)＝0. 于是得 y－2＝0，或y－3＝0. y1＝2，y2＝3. 解一元二次方程时，要先观察方程结构，看看方程能否转化为一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积形式，若能，则采用因式分解法来解答比较简单. (2x－1＋x)(2x－1－x)＝0. 于是得2x－1＋x＝0，或2x－1－x＝0. 巩固1【巩固】1. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2－8x＋15＝0的一根，则此三角形的周长是（ ）A. 16 B. 12 C. 14 D. 12或16A巩固2（1）（2）【巩固】2. 解下列方程：（2）2(x－3)＝3x(x－3)；巩固2（3）（4）【巩固】2. 解下列方程：（3）16x2－9＝0；（4）y2－17y＋30＝0. (4)因式分解，得(y－2)(y－15)＝0. 于是得y－2＝0，或y－15＝0. y1＝2，y2＝15. 1. 列一元二次方程解实际问题的一般步骤（1）审：（2）设：（3）列：（4）解：（5）验：（6）答：审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系；设未知数，一种是直接设法，另一种是间接设法；用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程；根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值；检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义；写出实际问题的答案. 知识点二:列一元二次方程解常见的实际问题2. 列一元二次方程解常见的实际问题（1）行程问题 路程＝速度×时间. （2）平均增长率（降低率）问题 a为起始量，b为终止量，n为增长（或降低）的次数， 平均增长率公式：a(1＋x)n＝b（x为平均增长率）， 平均降低率公式：a(1－x)n＝b（x为平均降低率）.（3）传播问题 传播的第二轮可以抽象为一元二次方程，设a为传染 源数，x为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染 总个数为a(1＋x)2 .（4）销售利润问题 利润＝售价－进价； ； 售价＝进价×（1＋利润率）； 总利润＝总售价－总成本＝单件利润×总销售量.（5）几何图形问题 几何图形的面积、周长公式和图形之间的等量关系.（6）存款利息问题 本息和＝本金＋利息；利息＝本金×利率×期数.（7）数字问题两位整数＝十位数字×10＋个位数字；三位整数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字.例2（1）【例2】2018年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2 500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2020年，家庭年人均纯收入达到了3 600元. （1）求该贫困户2018年到2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率；a(1＋x)n＝b解：（1）设该贫困户2018年到2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，根据题意，得2 500(1＋x)2＝3 600，解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2（舍去）.答：该贫困户2018年到2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20％.例2（2）【例2】2018年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2 500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2020年，家庭年人均纯收入达到了3 600元. （2）若年平均增长率保持不变，2021年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4 200元？该贫困户2021年的家庭年人均纯收入＝该贫困户2020年的家庭年人均纯收入×（1＋增长率）（2）3 600×（1＋20％）＝4 320（元），∵4 320＞4 200，∴2021年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4 200元.巩固1【巩固】1. 一次同学聚会，每两人都相互握了一次手，小芳统计这次聚会上所有人一共握了21次手，则这次聚会的人数是（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 D巩固2（1）【巩固】2. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气. ”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆. 据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同. （1）求进馆人次的月平均增长率；解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则根据题意，得128＋128(1＋x)＋128(1＋x)2＝608，化简，得4x2＋12x－7＝0，解得x1＝0.5＝50％，x2＝－3.5（舍去）.答：进馆人次的月平均增长率为50％.巩固2（2）【巩固】2. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气. ”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆. 据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同. （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由. （2）∵进馆人次的月平均增长率为50％，∴第四个月的进馆人次为128×(1＋50％)3＝432（人次）∵432＜500，∴校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.例3【例3】某商店如果将进价为每件8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件. 现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件涨1元，其销售量就会减少20件. 那么，将售价定为多少，才能使每天所赚利润为640元？总利润＝单件利润×销售量解：设每件售价提高x元，则单件利润为（10＋x－8）元，即（x＋2）元，每天的销售量为（200－20x）件.根据题意，得(x＋2)(200－20x)＝640，化简，得x2－8x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝6.当x＝2时，售价为每件12元，每天的销售量为200－20×2＝160（件）；当x＝6时，售价为每件16元，每天的销售量为200－20×6＝80（件）.因为要减少进货量，所以售价应定为每件16元.答：将售价定为每件16元，才能使每天所赚利润为640元.巩固1【巩固】1. 将进价为90元的某种商品按100元出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售数量就减少10个，若想使利润达到9 000元，售价应是多少？设售价为x元，则可列方程（ ）A. (x－100)(500－10x)＝9000 B. (x－90)(500－10x)＝9000C. (x－100)[500－10(x－100)]＝9000 D. (x－90)[500－10(x－100)]＝9000 D巩固2【巩固】2. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元. 为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为 件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1 200元？26（2）设每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1 200元. 根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1 200，解得x1＝10，x2＝20. ∵要求每件盈利不少于25元，∴x2＝20应舍去， ∴x＝10. 答：每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1 200元. 例4【例4】如图，有一块矩形硬纸板，长30 cm，宽20 cm，在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子，当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200 cm2？解：设剪去正方形的边长为x cm，则制成无盖长方体盒子的底面长为（30－2x）cm，宽为（20－2x）cm，高为x cm.根据题意，得2[x(30－2x)＋x(20－2x)]＝200，化简，得2x2－25x＋50＝0，解得x1＝2.5，x2＝10. 当x＝10时，宽为20－2×10＝0，不合题意，舍去.答：当剪去正方形的边长为2.5 cm时，所得长方体盒子的侧面积为200 cm2.巩固1【巩固】如图，在一块长12 m，宽8 m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77 m2，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为__________________. (12－x)(8－x)＝77巩固2（1）【巩固】2. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm ，BC＝7 cm. 点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动. 当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，设运动时间为x s. （1）几秒后，△PBQ的面积等于6 cm2？巩固2（2）【巩固】2. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm ，BC＝7 cm. 点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动. 当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，设运动时间为x s. （2）运动过程中，△PQB的面积能否等于8 cm2？说明理由. 总结1. 解一元二次方程的方法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. 2. 解实际应用题题型（1）增长率问题：a为起始量，b为终止量，n为增长（或降低）的次数， 平均增长率公式：a(1＋x)n＝b（x为平均增长率），平均降低率公式：a(1－x)n＝b（x为平均降低率）；课堂总结总结2. 解实际应用题题型（2）几何图形问题：几何图形的面积、周长公式和图形之间的等量关系；（3）利润问题：单件利润＝售价－成本；总利润＝总售价－总成本＝单件利润×总销售量. 课堂总结
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