2023年湖北省黄冈市中考数学适应性试卷（一）（含解析）

2023年湖北省黄冈市中考数学适应性试卷（一）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  “学习强国”平台上线的某天，全国约有人在平台上学习，将这个数据用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，是一个底面为等边三角形的正三棱柱，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图，两块直角三角板的直角顶点重合在一起，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  中国的射击项目在世界上居于领先地位某射击队计划从甲、乙、丙、丁四名运动员中选拔一人参加国际射击比赛，在选拔过程中，每人射击次，计算他们的平均成绩及方差如下表所示，射击队决定依据他们的平均成绩及稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

6.  如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形、、的面积依次为、、，则正方形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，内接于，是的直径若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：；；；若点、点、点在该函数图象上，则；，为常数其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  要使二次根式有意义，则实数的取值范围为        ．

10.  计算：            ．

11.  一个正多边形的内角和比它的外角和多，则这个正多边形的每一个内角等于            ．

12.  设，是方程的两根，则的值为______ ．

13.  如图，在矩形纸片中，点在边上，将沿翻折得到，点落在上．若，，则______．

14. 
如图，为测量旗杆的高度，在教学楼一楼点处测得旗杆顶部的仰角为，在四楼点处测得旗杆顶部的仰角为，点与点在同一水平线上．已知，则旗杆的高度为______

15.  如图，已知点，，，，连接，，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合点与点重合，点与点重合，则这个旋转中心的坐标为______．

16.  两张宽为的纸条交叉重叠成四边形，如图所示若，则对角线上的动点到，，三点距离之和的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简再求值：，其中取，，，中你认为合理的数．

18.  本小题分
某学校为开展“阳光体育”活动，计划拿出不超过元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为：：，且其单价和为元．
请问篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元？
若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是个副，羽毛球拍的数量是篮球数量的倍，且购买乒乓球拍的数量不超过副，请问有几种购买方案？

19.  本小题分
某中学持续开展了“：青年大学习；：青年学党史；中国梦宣传教育；：社会主义核心价值观培有践行”等一系列活动，学生可以任选项参加，为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
补全条形统计图；
若该校共有学生名，请估计参加项活动的学生数；
小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．

 

20.  本小题分
如图，的弦，交于点，连接，，延长到点，连结，与相切，且．
求证：点是的中点；
若，，求的长．

21.  本小题分
如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．

求反比例函数和一次函数的解析式；
设直线交轴于点，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，若，求的取值范围．

22.  本小题分
李丽大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理品牌服装的销售已知该品牌服装进价每件元，日销售件与销售价元件之间的关系如图所示实线，每天付员工的工资每人元，每天应支付其他费用元．
直接写出日销售件与销售价元件之间的函数关系式；
当某天的销售价为元件时，收支恰好平衡收入支出，求该店员工人数；
若该店只有名员工，则每天能获得的最大利润是多少元？此时，每件服装的价格应定为多少元？

23.  本小题分
在等腰中，，是直角三角形，，，连接、，点是的中点，连接．
当，点在边上时，如图所示，求证：；
当，把绕点逆时针旋转，顶点落在边上时，如图所示，此时中的结论成立吗？请说明理由；
当，点在边上时，如图所示，猜想图中线段和有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

 

24.  本小题分
如图，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，对称轴交轴于点直线经过，两点．
求抛物线及直线的函数表达式；
点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值；
连接，若点是抛物线上对称轴右侧一点，点是直线上一点，试探究是否存在以点为直角顶点的，且满足若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的倒数是，
故选：．
先化简绝对值，根据倒数的定义求解即可．
本题考查了绝对值的定义和倒数的定义，互为倒数的两个数乘积为．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图所示的正三棱柱，其主视图是矩形，矩形中间有一条纵向的虚线．
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
利用互余，的度数，然后求出的度数．
本题考查的是余角和补角，解题的关键是求出角的度数或者求出．
 

5.【答案】 

【解析】解：从平均成绩看甲、丁最好，但是丁的方差更小，
所以选拔丁，
故选：．
根据射击比赛时，平均成绩代表平均水平，越大成绩越好；方差代表稳定性，越小越稳定．
本题考查了运用平均数和方差做决策；解题的关键是理解平均数和方差的意义．
 

6.【答案】 

【解析】解：设正方形的面积为，
正方形、、的面积依次为、、，
根据图形得：，
解得：，
故选：．
设正方形的面积为，根据图形得出方程，求出即可．
本题考查了勾股定理的应用，解此题的关键是能根据题意得出方程．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，如图：

是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故选：．
连接，由是的直径，得，又，可得，而，故是等腰直角三角形，即可求出答案．
本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握圆周角定理和等腰直角三角形三边的关系．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线交轴的正半轴，
，
，所以正确；
对称轴为直线，
，
，
，
经过点，
，
，
，
，
，
，故不正确；
，故正确；
，，，
，故不正确；
当时，函数有最大值，
，
，为常数，故正确；
综上所述：正确的结论有，共个，
故选：．
根据抛物线的对称轴方程和开口方向以及与轴的交点，可得，，，由对称轴为直线，可得，当时，函数有最大值；由经过点，可得，；再由，可知图象上的点离对称轴越近对应的函数值越大；再结合所给选项进行判断即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
．
故答案为：．
根据二次根式，进行计算即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了零指数幂和负整指数幂，解题的关键是掌握负指数幂的公式，．
先计算零指数幂和负整指数幂，再相加．
【解答】
解：，
故答案为：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了正多边形内角和和外角和，熟知正多边形内角和公式和正多边形外角和为是解题的关键．
设这个正多边形的边数为，根据正多边形的内角和公式结合正多边形外角和为列出方程求解即可．
【解答】
解：设这个正多边形的边数为，
由题意得，，
，，
这个正多边形的每一个内角等于，
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：，是方程的两根，
，，
．
故答案为：．
由根与系数的关系求得，，然后将其代入变形后的代数式进行求值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

13.【答案】 

【解析】解：将沿翻折得到，点落在上，
，，，，
，
，，
四边形是矩形，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
根据将沿翻折得到，点落在上，可得，，，，而，即得，，由四边形是矩形，可得，，从而，在中，用勾股定理得，从而．
本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理列方程解决问题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解直角三角形的应用，涉及到等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及含角的直角三角形；正确作出辅助线是解题的关键．作于，则，四边形是矩形，得出，，求出，证出，得出，在中，由直角三角形的性质得出，即可得出答案．
【解答】
解：作于，如图所示：


则，四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
答：旗杆的高度为；
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是点，．

旋转中心即为对应点所连线段的垂直平分线的交点，所以连接、，作线段、的垂直平分线交于点，即为所求，故答案为。
本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
 

16.【答案】 

【解析】解：易得四边形是平行四边形，
如图，作于，把绕点逆时针旋转得到，

，，
，
两条纸条宽都是，同理：，
由旋转的性质，，，，，，
是等边三角形，
，
，
根据两点间线段距离最短，可知当时最短，连接，与的交点即为点，
即点到，，三点距离之和的最小值是．
，，
，
，
因此点到，，三点距离之和的最小值是，
故答案为．
作于，利用含角的直角三角形求得，同理：，把绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质，，，，，，所以是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可知当时最短，连接，利用勾股定理求出的长度，即求得点到，，三点距离之和的最小值．
本题主要考查了最短路径问题，旋转知识、含角的直角三角形、等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转知识构建全等三角形是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式


，
和时，原分式无意义，
当时，原式． 

【解析】先把括号内通分后进行同分母的减法运算，再把分子分母因式分解和把除法运算化为乘法运算，然后约分后得到原式，根据分式有意义的条件，把代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
 

18.【答案】解：设篮球的单价为，则羽毛球拍的单价为，乒乓球拍的单价为．
，
解得，
；；，
答：篮球的单价为元，羽毛球拍的单价为元，乒乓球拍的单价为元；

设篮球的数量为，则羽毛球拍的个数为，乒乓球拍的数量为．，
解得，
或，
答：有种购买方案，篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的数量分别为：，，或，，． 

【解析】设单价比中的每一份为，表示出其单价，根据单价和可求得，进而求得相应单价即可；
关系式为：乒乓球拍的数量，总价，把相关数值代入求得合适的整数解的个数即可．
考查一元一次方程及二元一次不等式组的应用；得到所需关系式是解决本题的关键．
 

19.【答案】解：名，
名，
补全条形统计图，如图所示：

名，
参加项活动的学生数为名；
树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有种，
小杰和小慧参加同一项活动的概率为． 

【解析】本题考查了条形统计图和扇形统计图综合，以及用树状图法或列表法求概率．掌握公式：概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
求出总人数，再求出的人数，补全条形统计图即可；
由该校共有学生乘参加项活动的学生所占的比例即可；
通过树状图可知，共有种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有种，再由概率公式求解即可．
 

20.【答案】证明：连接，，交于点，如图，
与相切，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即点是的中点；
解：，
，
，
∽，
：：，
，，
：：，
解得，
即的长为． 

【解析】连接，，交于点，如图，根据切线的性质得到，再证明，则根据垂径定理得到；
根据圆周角定理，由得到，则可证明∽，然后利用相似三角形的性质得到：：，从而根据比例的性质可计算出的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质．
 

21.【答案】解：反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点，
，
，，
点，反比例函数的解析式为，
由题意可得：，解得：，
一次函数解析式为；
直线交轴于点，
点，
，
，
，
． 

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了利用待定系数法求解析式，反比例函数的性质等知识，求出两个解析式是解题的关键．
将点，点坐标代入反比例函数的解析式，可求和的值，利用待定系数法可求一次函数解析式；
先求出点坐标，由面积关系即可求解．
 

22.【答案】解：当时，设与的函数解析式为，
由图象可得，
，
解得：．
；
当时，设与的函数解析式为，
由图象得，
，
解得．
．
综上所述：．
设人数为，
当时，
，
则，
解得．
答：该店员工人数为．
设每件服装的价格为元时，每天获得的利润为元．
当时，


，
当时，．
当时，


，
当时，．

最大值为
答：每天能获得的最大利润是元，此时，每件服装的价格应定为元． 

【解析】根据待定系数法，可得函数解析式；
根据收入等于支出，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案；
分两种情况解答：当时；当时，依据：总利润单件利润销售量工人工资及其他费用列出函数解析式，求解即可．
本题考查了二次函数的应用与一次函数和一元一次方程的应用能力，理解题意找到符合题意得相等关系函数解析式是解题的关键．
 

23.【答案】证明：如图中，

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
垂直平分线段，
，
．
解：如图中，结论成立．

理由：取的中点，连接，，，交于点，
，，，
，
垂直平分线段，
，，
，
，，
，，
，，，
，
，，，
≌，
．
如图中，结论：．

理由：取的中点，连接，．
，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
．
解法二：过点作交的延长线于点．

证明，∽，相似比为：可得结论． 

【解析】证明，，可得结论；
如图中，结论：取的中点，连接，，，交于点证明≌，推出，可得结论．
如图中，结论：取的中点，连接，证明∽，可得，即可解决问题．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】解：由点的坐标知，，
，故点的坐标为，
将点、、代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为；
将点、代入一次函数表达式得：，解得，
故直线的表达式为；
点、关于抛物线的对称轴对称，
如图，设抛物线的对称轴交于点，则点为所求点，此时，的值最小，

理由：由函数的对称性知，，
则为最小，
由知，抛物线的对称轴为直线，故点的横坐标为，
当时，，故点，
由点、的坐标知，，
则，
即点的坐标为、的最小值为；
存在，理由如下：
设点的坐标为、点的坐标为，
当点在点的左侧时，
如图，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，
则，，，，

由题意得：，
，
，
，
又，
∽，

，，
，，
解得，
点是抛物线上对称轴右侧一点，
，
故，
当时，，
故点的坐标为；
当点在点的右侧时，

分别过点、作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为、，
则，，、，
同理可得：∽，

，，
即，
解得，
点是抛物线上对称轴右侧一点，
，
故，
当时，，
故点的坐标为，
点的坐标为或 

【解析】本题考查一次函数与二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，
用待定系数法即可求解；
点、关于抛物线的对称轴对称，设抛物线的对称轴交于点，则点为所求点，此时，的值最小，进而求解；
当点在点的左侧时，证明∽，则，进而求解；当点在点的右侧时，同理可解．
本题主要考查了二次函数的解析式的求法，与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．