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2023年湖北省黄冈市水县六神中学中考数学适应性试卷（一）（含解析）
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这是一份2023年湖北省黄冈市水县六神中学中考数学适应性试卷（一）（含解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖北省黄冈市水县六神中学中考数学适应性试卷（一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 宁波籍诺贝尔科学奖获得者屠呦呦，发现的青蒿素曾挽救了撒哈拉以南非洲地区约150万疟疾患者的生命，其中150万用科学记数法表示为( )
A. 150×104 B. 1.50×104 C. 0.15×107 D. 1.5×106
2. −513的倒数是( )
A. 513 B. −513 C. 135 D. −135
3. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 2022年浙江省经济运行稳中向好，城乡居民人均可支配收入显著增加，城镇居民与农村居民差距持续缩小，这说明城乡居民人均可支配收入的( )
A. 平均数减小，方差增大 B. 平均数减小，方差减小
C. 平均数增大，方差减小 D. 平均数增大，方差增大
5. 如图，O为△ABC的外心，四边形OCDE为正方形.以下结论：①O是△ABE的外心；②O是△ACD的外心；③直线DE与△ABC的外接圆相切.其中所有正确结论的序号是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
6. 如图，点A，B，C在⊙O上，且∠AOB=2∠BOC=2α，则下列结论错误的是( )
A. ∠ACB=α
B. ∠ABO=α
C. ∠BAC=12α
D. ∠OBC=90°−12α
7. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，若AB=AC=CD=2，∠ADB=108°，则AD的值为( )
A. 5−1 B. 3− 5 C. 52 D. 5
8. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−1,0)，与y轴的交点B在(0,−2)和(0,−1)之间(不包括这两个点)，对称轴为直线x=1.下列结论：①abc>0；②4a+2b+c>0；③4ac−b2<8a；④13
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 代数式 x+1x+(x−1)0在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______ ．
10. 已知a，b是方程x2+6x+4=0的两个根，则b ba+a ab的值______ ．
11. 计算(a−b)2(b−a)3的正确结果是______.(结果用幂的形式表示
)
12. 大自然中存在着许多奇妙的现象，科学家通过观察惊奇地发现，植物的茎叶和果实几乎都是按照137°30′，的模式排列的.这样，植物的茎叶和果实就可以占有最大的空间，以获取最多的阳光，承接最多的雨水.那么137°30′的补角是______ 度
.
13. 在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为(1,0)，每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2025的坐标为______ ．
14. 小明参加了今年社区组织的义务植树活动，活动结束后，他发现对面斜坡的平台上有一棵与地面垂直的树AB，他想运用课上学到的相关知识测量这棵树的高度.测量过程如下：如示意图，在点C处测得树顶端A的仰角为45°，先沿着斜坡CD行走13米至坡顶D处，再沿水平方向行走3米到达树底点B处(点A，B，C，D在同一平面内).已知斜坡CD的坡比为i=1：2.4，则他测得树AB的高度为______ 米
.
15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形A1BB1C1，A2B1B2C2，A3B2B3C3关于原点O位似，其中点B，B1，B2，B3都在x轴上，点C1在A2B1上，C2在A3B2上.依此方式，继续作正方形A4B3B4C4，若点A1坐标为(1,1)，则点C4的坐标为______ ．
16. 如图，在等边△ABC中，D，E分别为边BC，AB的中点，AD=5，且P为AD上的动点，连接EP，BP，则BP+EP的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(x2−2x+1x2−1−1x+1)÷2x−4x2+x，其中x是方程x2+4x−12=0的根．
18. (本小题8.0分)
为迎接春节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的T恤衫共100件.已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍．
(1)甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？
(2)商场决定购进甲、乙两种品牌T恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌T恤衫至少78件，求该商场有哪几种进货方案；
(3)在(2)的条件下，商场决定甲品牌T恤衫以每件50元出售，乙品牌T恤衫以每件100元出售，若该商场推出促销活动：顾客购买一件T恤衫持购物票据可抽奖一次，每人限购一件，一等奖共有1个，所购T恤衫按标价返款100%；二等奖共有3个，所购T恤衫按标价返款50%.该商场将这100件T恤衫全部售出后共获利2220元，直接写出抽到的二等奖中，购买的乙种品牌T恤衫有多少件．
19. (本小题8.0分)
为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动.该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动(每人必选且只选一种)”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)参加问卷调查的学生共有______ 人；
(2)条形统计图中m的值为______ ，扇形统计图中α的度数为______ ；
(3)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
20. (本小题8.0分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，过点A作AD//BC交BO的延长线于点D，连接CD，BD与AC交于点E．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若AE=4，CE=6，求BC的长．
21. (本小题8.0分)
如图反比例函数y1=mx(m>0)的图象经过点A(1,2)、点P是一次函数y2=kx+3−3k(k≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当点P的纵坐标为1时，
①求△APO的面积：
②方程mx=kx+3−3k(x>0)的解为______ ；当x满足______ y1>y2：
(3)对于一次函数y=kx+3−3k(k≠0).当y随x的增大而增大时，则点P横坐标a的取值范围为______ ．
22. (本小题8.0分)
九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90，且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y(单位：元/件)，每天的销售量为p(单位：件)，每天的销售利润为w(单位：元)．
时间x(天)
1
30
60
90
每天销售量p(件)
198
140
80
20
(1)求出w与x的函数关系式；
(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；
(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．
23. (本小题8.0分)
综合与实践
旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图1，△ABC和△DMN均为等腰直角三角形，∠BAC=∠MDN=90°，点D为BC中点，△DMN绕点D旋转，连接AM、CN．
观察猜想
(1)在△DMN旋转过程中，AM与CN的数量关系为______ ；
实践发现
(2)当点M、N在△ABC内且C、M、N三点共线时，如图2，求证：CM−AM= 2DM；
拓展延伸
(3)当点M、N在△ABC外且C、M、N三点共线时，如图3，探究AM、CM、DM之间的数量关系是______ ；
解决问题
(4)若△ABC中，AB= 5，在△DMN旋转过程中，当AM= 3且C、M、N三点共线时，DM= ______ ．
24. (本小题8.0分)
如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(3,0)，B(−1,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA=OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，连接AI、OI，请直接写出∠AIO的度数和CI长度的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：150万=1500000=1.5×106．
故选：D．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：−513的倒数是：−135．
故选：D．
直接利用倒数的定义化简得出答案．
此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：从正面看，共有两列，从左到右小正方形的个数分别为3、2．
故选：D．
根据主视图是从物体的正面看得到的视图解答即可．
本题考查的是几何体简单组合体的三视图，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵城乡居民人均可支配收入显著增加，
∴城乡居民人均可支配收入的平均水平增大，
∵城镇居民与农村居民差距持续缩小，
∴接近于平均数，即波动较小，
∴方差减小．
故选：C．
根据城乡居民人均可支配收入显著增加，说明平均数增大，再根据城镇居民与农村居民差距持续缩小，说明靠近平均数，即方差减小，从而得出答案．
本题主要考查了方差，应掌握：衡量一组数据波动大小的量叫做方差，方差越大，波动越大，方差越小，方差越小．
5.【答案】B
【解析】解：连接OB、OD、OA，
∵O为锐角三角形ABC的外心，
∴OA=OC=OB，
∵四边形OCDE为正方形，
∴OA=OC
①OA=OE=OB，O是△ABE的外心，故本选项符合题意；
②OA=OC≠OD，即O不是△ACD的外心，故本选项不符合题意；
③∵OE=OA，OE⊥DE，
∴直线DE与△ABC的外接圆相切．故本选项符合题意；
故选：B．
根据三角形的外心得出OA=OC=OA，根据正方形的性质得出OA=OC
6.【答案】B
【解析】解：如图，连接AC．
根据圆周角定理可知∠AOB=2∠ACB．
∵∠AOB=2∠BOC=2α，
∴∠ACB=∠BOC=12∠AOB=α，故A正确，不符合题意；
∵AO=BO，
∴∠ABO=∠BAO=12(180°−∠AOB)=90°−12α，故B错误，符合题意；
根据圆周角定理可知∠BAC=12∠BOC=12α，故C正确，不符合题意；
∵CO=BO，
∴∠OBC=∠OCB=12(180°−∠BOC)=90°−12α，故D正确，不符合题意．
故选：B．
连接AC，根据圆周角定理即可直接判断选项A和选项C；根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可判选项断B和选项D．
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．掌握一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵∠ADB=108°，
∴∠CDA=180°−108°=72°．
∵AB=AC=CD=2，
∴∠CAD=∠CDA=72°，
∴∠B=∠C=180°−72°−72°=36°，
∴∠BAD=∠CDA−∠B=36°，
∴AD=BD．
设AD=BD=x，则BC=2+x．
如图，作AE⊥BC于点E，
∵AB=AC=CD=2，
∴BE=CE=12BC=1+12x，
∴DE=CD−CE=1−12x．
∵AD2−DE2=AC2−CE2，
∴x2−(1−12x)2=22−(1+12x)2，
解得x1= 5−1，x1=− 5−1(舍去)．
故选：A．
先证明AD=BD，设AD=BD=x，则BC=2+x.作AE⊥BC于点E，根据AD2−DE2=AC2−CE2列方程求解即可．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵对称轴x=1>0，a，b异号，
∴b<0，
∵抛物线与y轴的交点B在(0,−2)和(0,−1)之间，
∴−2
故①正确；
∵抛物线与x轴交于A(−1,0)，对称轴为x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)，
当x=2时，y=4a+2b+c<0，
故②不正确；
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2−4ac>0，即4ac−b2<0，
∵8a>0，
∴4ac−b2<8a，
故③正确；
由题意可知，方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=−1，x2=3，
又∵x1⋅x2=ca，即c=−3a，
∵−2
∴13
综上所述，正确的结论有3个，
故选：C．
根据二次函数的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标、点A坐标等知识点，逐个判断即可．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，正确a，b，c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系是正确解答本题的关键．
9.【答案】x≥−1且x≠0且x≠1
【解析】解：∵代数式 x+1x+(x−1)0在实数范围内有意义，
∴x+1≥0x≠0x−1≠0，解得x≥−1x≠0x≠1，
∴实数x的取值范围是x≥−1且x≠0且x≠1．
故答案为：x≥−1且x≠0且x≠1．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数；再根据分式有意义的条件：分母不等于0，以及零指数幂的底数不等于0即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数；分式有意义的条件：分母不等于0，零指数幂的底数不等于0是解决问题的关键．
10.【答案】−14
【解析】解：∵a，b是方程x2+6x+4=0的两个根，
∴a+b=−6，ab=4，
∴a<0，b<0，
b ba+a ab=b−a ab+a−b ab，
=− ab(ba+ab)，
=− ab(a2+b2ab)，
=− ab((a+b)2−2abab)，
∴原式=− 4×(−6)2− 2×44=−2×7=−14．
故答案为：−14．
根据根与系数的关系求得a+b，ab的值并判断出a、b都是负数，然后根据二次根式的性质化简并将a+b、ab的值代入进行计算即可得解．
本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系表示出然后判断出两个根都是负数是正确进行化简的关键，也是本题的关键与难点．
11.【答案】(b−a)5
【解析】解：(a−b)2(b−a)3
=(b−a)2(b−a)3
=(b−a)5．
先变形，再根据同底数幂的乘法解决此题．
本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则以及偶次方是解决本题的关键．
12.【答案】42.5
【解析】解：137°30′的补角是：180°−137°30′=42°30′=42.5°．
故答案为：42.5．
利用补角的定义进行求解即可．
本题主要考查补角，度分秒的换算，解答的关键是明确互补的两角之和为180°．
13.【答案】(−22025,0)
【解析】解：∵A点坐标为(1,0)，
∴OA=1，
∴第一次旋转后，点A1在第一象限，OA1=2，
第二次旋转后，点A2在第二象限，OA2=22，
第三次旋转后，点A3在x轴负半轴，OA3=23，
第四次旋转后，点A4在第三象限，OA4=24，
第五次旋转后，点A5在第四象限，OA5=25，
第六次旋转后，点A6在x轴正半轴，OA6=26，
如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴上，
∵2025÷6=337…3，
∴循环了337次，点A2025在x轴负半轴上，且OA2025=22025，
∴点A2025的坐标为(−22025,0)．
故答案为：(−22025,0)．
每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴上，故A 2025在x轴负半轴上，且OA2025=22025，由此求解即可．
本题考查点的坐标规律探索，旋转变换，等边三角形的性质．解题的关键在于能够根据题意找到点An规律．
14.【答案】10
【解析】解：如图：过点D作DE⊥CG，垂足为E，延长AB交CG于点F，
由题意得：AF⊥CG，DE=BF，DB=EF=3米，CD=13米，
∵斜坡CD的坡比为i=1：2.4，
∴DECE=12.4=512，
∴设DE=5x米，则CE=12x米，
在Rt△CDE中，CD= CE2+DE2= (5x)2+(12x)2=13x(米)，
∴13x=13，
解得：x=1，
∴DE=BF=5米，CE=12米，
∴CF=CE+EF=15(米)，
在Rt△ACF中，∠ACF=45°，
∴AF=CF⋅tan45°=15(米)，
∴AB=AF−BF=15−5=10(米)，
故答案为：10．
过点D作DE⊥CG，垂足为E，延长AB交CG于点F，根据题意可得：AF⊥CG，DE=BF，DB=EF=3米，CD=13米，再根据已知可设DE=5x米，则CE=12x米，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理求出DE，CE的长，从而求出CF的长，最后在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15.【答案】(16,8)
【解析】解：∵点A1坐标为(1,1)，
∴OB=1，A1B=1，
∵四边形A1BB1C1是正方形，
∴OB1=2，B1C1=1，
∴点C1的坐标为(2,1)，
∵正方形A1BB1C1，A2B1B2C2关于原点O位似，
∴A1B1A2B2=OBOB1=12，
∴正方形A1BB1C1与A2B1B2C2的相似比为1：2，
同理可得：正方形A1BB1C1与正方形A3B2B3C3的相似比为1：4，
∴正方形A1BB1C1与正方形A4B3B4C4的相似比为1：8，
∴点C4的坐标为(2×8,1×8)，即(16,8)，
故答案为：(16,8)．
根据正方形的性质求出点C1的坐标，根据题意求出正方形A1BB1C1与正方形A4B3B4C4的相似比，根据位似变换的性质计算即可．
本题考查的是位似变换、正方形的性质、图形的变化规律，掌握位似变换的概念和性质是解题的关键．
16.【答案】5
【解析】解：如图，作点E关于AD的对称点F，连接BF，交AD于点P，
∵等边三角形为轴对称图形，
∴点F在线段AC上，
∴PF=PE，
∴BP+PE=BP+PF≥BF，即BP+EP的最小值为BF的长，且此时AC⊥BF，
根据等边三角形三边上的高相等，即AD=BF=5，
∴BP+EP的最小值为5．
故答案为：5．
作点E关于AD的对称点F，连接BF，交AD于点P，由BP+PE=BP+PF≥BF，根据AD=BF即可求得BP+EP的最小值．
本题考查等边三角形的性质，轴对称的性质，掌握轴对称求线段和最小值的方法是解题的关键．
17.【答案】解：原式=(x−1x+1−1x+1)÷2(x−2)x(x+1)
=x−2x+1⋅x(x+1)2(x−2)
=x2．
解方程x2+4x−12=0，得x=−6或x=2．
又∵x(x+1)(x−1)(x−2)≠0，
∴x=−6．
∴原式=−62=−3．
【解析】根据分式混合运算的法则化简分式，再把方程的解代入即可得到结论．
本题考查了一元二次方程的解，分式的化简取值，正确地计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)设甲品牌T恤衫每件的进价为x元，则乙品牌T恤衫每件的进价为(x+30)元．
由题意得：6000x=2×6000x+30，
解得：x=30，
经检验x=30是原分式方程的解，且符合题意．
∴x+30=60，
答：甲品牌T恤衫每件的进价为30元．乙品牌T恤衫每件的进价为60元．
(2)设该商场购进甲品牌T恤衫a件，则购进乙品牌T恤衫(100−a)件．
根据题意得：30a+60(100−a)≥3600a≥78，
∴78≤a≤80，
∴a的整数值为78，79，80．
∴商场共有三种进货方案．
方案一：购进甲品牌T恤衫78件，购进乙品牌T恤衫22件；
方案二：购进甲品牌T恤衫79件，购进乙品牌T恤衫21件；
方案三：购进甲品牌T恤衫80件，购进乙品牌T恤衫20件．
(3)设二等奖中购买乙品牌的有n件，甲品牌的有(3−n)件，
①购进甲品牌T恤衫78件，购进乙品牌T恤衫22件，一等奖为甲品牌，
(50−30)×78+(100−60)×22−50−100×50%n−50×50%(3−n)=2220，
解得：n=195(舍)．
购进甲品牌T恤衫78件，购进乙品牌T恤衫22件，一等奖为乙品牌，
(50−30)×78+(100−60)×22−100−100×50%n−50×50%(3−n)=2220，
解得：n=95(舍)．
②购进甲品牌T恤衫79件，购进乙品牌T恤衫21件，一等奖为甲品牌，
(50−30)×79+(100−60)×21−50−100×50%n−50×50%(3−n)=2220，
解得：n=3．
购进甲品牌T恤衫79件，购进乙品牌T恤衫21件，一等奖为乙品牌，
(50−30)×79+(100−60)×21−100−100×50%n−50×50%(3−n)=2220，
解得：n=1．
③购进甲品牌T恤衫80件，购进乙品牌T恤衫20件，一等奖为甲品牌，
(50−30)×80+(100−60)×20−50−100×50%n−50×50%(3−n)=2220，
解得：n=115(舍)．
购进甲品牌T恤衫80件，购进乙品牌T恤衫20件，一等奖为乙品牌，
(50−30)×80+(100−60)×20−100−100×50%n−50×50%(3−n)=2220，
解得：n=15(舍去)．
因此，抽到的二等奖中，购买乙品牌有1件或3件．
【解析】(1)根据乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍，可以列出相应的分式方程，从而可求得甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元；
(2)购进甲、乙两种品牌T恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌T恤衫至少78件，可以列出相应的不等式组，从而求出a的取值，分别列出进货方案即可；
(3)根据(2)中共有3种方案，分三种情况进行讨论：设二等奖中购买乙品牌的有n件，甲品牌的有(3−n)件，当购进甲品牌T恤衫78件，购进乙品牌T恤衫22件时，一等奖为甲品牌时，根据该商场将这100件T恤衫全部售出后共获利2220元可列出方程解得n不是整数即可舍去；当购进甲品牌T恤衫78件，购进乙品牌T恤衫22件时，一等奖为乙品牌时，根据该商场将这100件T恤衫全部售出后共获利2220元可列出方程解得n不是整数即可舍去；以此例推分别进行讨论即可，若n为小于等于3的整数，则可满足题意．
本题考查了分式方程的应用问题以及不等式组的应用解决方案问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程或不等式解决问题，利用分类讨论思想不遗漏情况进行讨论问题，注意分式方程需要检验．
19.【答案】60 11 90°
【解析】解：(1)24÷40%=60(人)，
∴参加问卷调查的学生共有60人．
故答案为：60．
(2)m=60−10−24−15=11，
α=360°×1560=90°，
故答案为：11；90°．
(3)画树状图如图：
∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为212=16．
(1)利用24÷40%即可求出参加问卷调查的学生人数；
(2)根据m=60−10−24−15，α=360°×1560即可得出答案．
(3)画树状图列出所有等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两名同学的结果，利用概率公式可得出答案．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、列表法与树状图法，熟练掌握条形统计图与扇形统计图、用样本估计总体以及列表法与树状图法求概率是解答本题的关键．
20.【答案】(1)证明：如图，
，
连接AO并延长交BC于点H，连接OC，
在△AOB与△AOC中，
AB=AC，OB=OC，OA=OA，
∴△AOB≌△AOC(SSS)，
∴∠BAH=∠CAH，
∵AB=AC，
∴AH⊥BC，
∴∠AHB=90°，
∵AD//BC，
∴∠HAD=∠AHB=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是半径，
∴AD是⊙O的切线．
(2)解：由(1)知AH⊥BC，BH=HC，
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠EBC，∠DAE=∠BCE，
∴△ADE∽△CBE，
∴AEEC=ADBC=46，
∴ADBH=AD12BC=43．
又∵AD//BC，
∴∠ADO=∠OBC，∠DAO=∠BHO，
∴△AOD∽△HOB，
∴ADBH=AOOH=43，
∴设OA=4k，则OH=3k，OB=4k，
∴BH= OB2−OH2= 7k．
∵∠AHB=90°，
∴BH2+AH2=AB2，
∵AC=AE+CE，
∴AC=4+6=10，
∵AB=AC，
∴AB=10
∵AH=OA+OH=7k，
∴( 7k)2+(7k)2=102，
∴k=5 1414，
∴BC=2BH=2 7k=5 2．
【解析】(1)先证明△AOB≌△AOC，再根据等腰三角形性质得出OA⊥AD，最后根据切线的判定进行证明；
(2)先证△ADE∽△CBE，得出比例，再证△AOD∽△HOB，得出比例，最后根据勾股定理求出k的值，进而求BC．
本题主要考查了圆的知识、切线的判定、相似三角形的判定和性质，有一定的难度，认真分析即可．
21.【答案】x=2 0
∴2=m1，
∴m=2．
∴反比例函数的解析式为y=2x；
(2)当y=1时，1=2x，x=2，
∴P(2,1)，
①过点A作AC平行于x轴，交y轴于点C，过点P作PD平行于y轴，交x轴于点D，AC 和PD交于点B
∴B(2,2)，C(0,2)，D(2,0)
∴OC=OD=BC=BD=2，AC=PD=AB=BP=1，
∴S△AOP=S正方形BCOD−S△AOC−S△DOP−S△ABP=2×2−12×1×2−12×2×1−12×1×1=32．
②∵点P是反比例函数y1=mx(m>0)的图象与一次函数y2=kx+3−3k(k≠0)的图象的一个公共点，
∴方程mx=kx+3−3k(x>0)的解为x=2，
由图可知当0y2，
故答案为：x=2，0
即一次函数y=kx+3−3k一定经过(3,3)，
设点P的横坐标为a，
∵一次函数y=kx+3−3k(k≠0)过(3,3)点，并且y随x的增大而增大时，
∴k>0，P点的纵坐标要小于3，横坐标要小于3，
当纵坐标小于3时，
∵y=2x，
∴2a<3，
解得：a>23，
则a的范围为23
(2)过点A作AC平行于x轴，交y轴于点C，过点P作PD平行于y轴，交x轴于点D，AC 和PD交于点B，利用割补法即可得出面积；再根据图象可得出②；
(3)设点P的横坐标为a，由于一次函数y=kx+3−3k(k≠0)过(3,3)点，并且y随x的增大而增大时，则P点的纵坐标要小于3，横坐标要小于3，当纵坐标小于3时，由y=2x得到a>23，于是得到a的取值范围．
本题考查了反比例函数综合题：点在函数图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式；掌握一次函数的增减性．
22.【答案】解：(1)当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b(k、b为常数且k≠0)，
∵y=kx+b经过点(0,40)、(50,90)，
∴b=4050k+b=90，解得：k=1b=40，
∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40；
当50
设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n(m、n为常数，且m≠0)，
∵p=mx+n过点(60,80)、(30,140)，
∴60m+n=8030m+n=140，解得：m=−2n=200，
∴p=−2x+200(0≤x≤90，且x为整数)，
当1≤x≤50时，w=(y−30)⋅p=(x+40−30)(−2x+200)=−2x2+180x+2000；
当50
∵a=−2<0且1≤x≤50，
∴当x=45时，w取最大值，最大值为6050元．
当50
∴当x=50时，w取最大值，最大值为6000元．
∵6050>6000，
∴当x=45时，w最大，最大值为6050元．
即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．
(3)当1≤x≤50时，令w=−2x2+180x+2000≥5600，即−2x2+180x−3600≥0，
解得：30≤x≤50，
50−30+1=21(天)；
当50
∴50
综上可知：21+3=24(天)，
故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元．
【解析】(1)当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50≤x≤90时，y=90.再结合给定表格，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n，套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式，根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式；
(2)根据w关于x的函数关系式，分段考虑其最值问题．当1≤x≤50时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值；当50≤x≤90时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值，两个最大值作比较即可得出结论；
(3)令w≥5600，可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，由此即可得出结论．
本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式的应用、一元二次不等式的应用以及利用待定系数法求函数解析式，解题的关键：(1)根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式；(2)利用二次函数与一次函数的性质解决最值问题；(3)得出关于x的一元一次和一元二次不等式．本题属于中档题，解决该题型题目时，根据给定数量关系，找出函数关系式是关键．
23.【答案】AM=CN CM+AM= 2DM 6−22或2+ 62
【解析】(1)解：AM=CN，理由如下，
如图所示，连接AD，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵点D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ACD=∠DAC=45°，
∴AD=CD，
∵△DMN为等腰直角三角形，∠MDN=90°，
∴DM=DN，∠MDA+∠ADN=∠ADN+∠NDC=90°，
∴∠MDA=∠NDC，
在△AMD，△CND中，
AD=CD∠MDA=∠NDCDM=DN，
∴△AMD≌△CND(SAS)，
∴AM=CN，
故答案为：AM=CN．
(2)证明：如图所示，连接AD，
由(1)可知，△AMD≌△CND(SAS)，
∴∠MAD=∠NCD，AM=CN，
∴CM=CN+MN=AM+MN，
∴CM−AM=CM−CN=MN，
∵△DMN是等腰直角三角形，即DM=DN，
∴MN2=DM2+DN2=2DM2，
∴MN= 2DM= 2DN，
∴CM−AM= 2DM．
(3)解：如图所示，连接AD，
根据(1)中的证明可知，AD=CD，∠ADM+∠MDC=∠MDC+∠CDN=90°，
∴∠ADM=∠CDN，
在△ADM，△CDN中，
AD=CD∠ADM=∠CDNDM=DN，
∴△ADM≌△CDN(SAS)，
∴AM=CN，
∴CN+CM=AM+CM=MN，
∵△DMN是等腰直角三角形，即DM=DN，
∴MN2=DM2+DN2=2DM2，
∴MN= 2DM= 2DN，
∴AM+CM= 2DM，
故答案为：AM+CM= 2DM．
(4)解：AB= 5，AM= 3，C、M、N三点共线，
①由(2)可知，CM−AM= 2DM，
由(1)可知，∠MAD=∠NCD，
∵∠ACD=∠ACM+∠NCD=45°，∠DCN+∠NCA+∠DAC=90°，
∴∠MAD+∠NCA+∠DAC=90°，
∴∠AMC=90°，
在Rt△ACM中，AB=AC= 5，AM=CN= 3，
∴CM= AC2−AM2= ( 5)2−( 3)2= 2，
∴MN=CM−CN= 2− 3(不符合题意)；
②如图所示，由(1)可知，△ADM≌△CDN，AM=CN= 3，∠DAM=∠DCN，
∴∠DAM+∠MAC+∠ACD=∠DCN+∠MAC+∠ACD=90°，
∴△AMC是直角三角形，
∴CM= AC2−AM2= ( 5)2−( 3)2= 2，
∴MN=CN−CM= 3− 2，
在Rt△DMN中，MN= 2DM，
∴DM= 2MN2= 2( 3− 2)2= 6−22；
③由(3)可知，
△DMN是等腰直角三角形，
∴∠N=∠DMN=45°，
由(3)可知，△ADM≌△CDN，
∴∠AMD=∠N=45°，
∴∠AMD+∠DMN=45°+45°=90°，即△ACM是直角三角形，
在Rt△ACM中，AB=AC= 5，AM=CN= 3，
∴CM= AC2−AM2= ( 5)2−( 3)2= 2，
∴MN=CM+CN= 2+ 3，
∵MN= 2DM，
∴DM= 2MN2= 2( 2+ 3)2=2+ 62；
综上所述，DM的长为 6−22或2+ 62，
故答案为： 6−22或2+ 62．
(1)如图所示，连接AD，根据等腰三角形的性质可证△AMD≌△CND(SAS)，由此即可求解；
(2)由(1)中△AMD≌△CND(SAS)，再根据△DMN为等腰直角三角形，由此即可求解；
(3)证明△AMD≌△CND(SAS)，△DMN为等腰直角三角形，即可求证；
(4)点C、M、N三点共线，分类讨论，根据(2)，(3)中的结论即可求解．
本题主要考查等腰直角三角形，旋转，全等三角形的综合，掌握旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+3过点A(3,0)，B(−1,0)，
∴9a+3b+3=0a−b+3=0
解得：a=−1b=2，
∴这条抛物线对应的函数表达式为y=−x2+2x+3．
(2)在y轴上存在点P，使得△PAM为直角三角形．
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴顶点M(1,4)，
∴AM2=(3−1)2+42=20，
设点P坐标为(0,p)，
∴AP2=32+p2=9+p2，MP2=12+(4−p)2=17−8p+p2，
①若∠PAM=90°，则AM2+AP2=MP2，
∴20+9+p2=17−8p+p2，
解得：p=−32，
∴P(0,−32).
②若∠APM=90°，则AP2+MP2=AM2，
∴9+p2+17−8p+p2=20，
解得：p1=1，p2=3，
∴P(0,1)或(0,3)．
③若∠AMP=90°，则AM2+MP2=AP2，
∴20+17−8p+p2=9+p2，
解得：p=72，
∴P(0,72).
综上所述，点P坐标为(0,−32)或(0,1)或(0,3)或(0,72)时，△PAM为直角三角形．
(3)解法一：如图，连接IO，ID，IA，
∵I是△ADG的内心，
∴IA平分∠DAG，ID平分∠ADG，
∴∠IAD=12∠DAG，∠ADI=12∠ADG．
∵∠DAG+∠ADG=90°，
∴∠IAD+∠ADI=45°，
∴∠AID=135°．
在△ADI和△AOI中，
AD=AO∠DAI=∠OAIAI=AI，
∴△ADI≌△AOI(SAS)．
∴∠AID=∠AIO=135°．
∵OA为定线段，∠OIA恒等于135°，
∴点I在以OA为弦，所含的圆周角等于135°的圆弧上，
设该圆的圆心为E，连接EO，EA，
∵∠OIA=135°，
∴∠OEA=90°．
∵EO=EA，
∴△EOA为等腰直角三角形．
过点E作EH⊥OA于点H，
则AH=OH=12OA=32．
∴OE=3 22．
∴圆心E的坐标为(32,−32)，⊙E的半径为3 22．
当点I在线段CE上时，CI的值最小，
CI的最小值=CE−OE= (32)2+(32+3)2−3 22=3 10−3 22．
解法二：如图，过点I作IE⊥x轴于点E，IF⊥AD于点F，IH⊥DG于点H．
∵DG⊥x轴于点G，
∴∠HGE=∠IEG=∠IHG=90°，
∴四边形IEGH是矩形，
∵点I为△ADG的内心，
∴IE=IF=IH，AE=AF，DF=DH，EG=HG，
∴矩形IEGH是正方形，
设点I坐标为(m,n)，
∴OE=m，HG=GE=IE=n，
∴AF=AE=OA−OE=3−m，
∴AG=GE+AE=n+3−m，
∵DA=OA=3，
∴DH=DF=DA−AF=3−(3−m)=m，
∴DG=DH+HG=m+n，
∵DG2+AG2=DA2，
∴(m+n)2+(n+3−m)2=32，
∴化简得：m2−3m+n2+3n=0，
配方得：(m−32)2+(n+32)2=92，
∴点I(m,n)与定点Q(32,−32)的距离为3 22，
∴点I在以点Q(32,−32)为圆心，半径为3 22的圆在第一象限的弧上运动，
∴当点I在线段CQ上时，CI最小，
∵CQ= (32)2+(3+32)2=3 102，
∴CI=CQ−IQ=3 10−3 22，
∴CI最小值为3 10−3 22．
【解析】(1)用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式．
(2)用配方法求抛物线顶点M，求AM2，设点P坐标为(0,p)，用p表示AP2和MP2.△PAM为直角三角形不确定哪个点为直角顶点，故需分三种情况讨论．确定直角即确定斜边后，可用勾股定理列方程，求得p的值即求得点P坐标．
(3)由点I是△ADG内心联想到过点I作△ADG三边的垂线段IE、IF、IH，根据内心到三角形三边距离相等即有IE=IF=IH.此时以点I为圆心、IE为半径长的⊙I即为△ADG内切圆，根据切线长定理可得AE=AF，DF=DH，EG=HG.设点I坐标为(m,n)，可用含m、n的式子表示AG、DG的长，又由DA=OA=3，即可用勾股定理列得关于m、n的方程．化简再配方后得到式子：(m−32)2+(n+32)2=92，从图形上可理解为点I(m,n)与定点Q(32,−32)的距离为3 22，所以点I的运动轨迹为圆弧．所以当点I在CQ连线上时，CI最短．
本题考查二次函数的图象与性质，直角三角形存在性的分类讨论，三角形内心的定义和性质，切线长定理，点和圆的位置关系，解一元一次方程和一元二次方程．第(3)题的解题关键是由点I是内心用内心性质和切线长定理列式求得点I坐标的特征式子，转化到点I到定点Q的距离相等，再转化到点和圆的位置关系．
2023年湖北省黄冈市水县六神中学中考数学适应性试卷（一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 宁波籍诺贝尔科学奖获得者屠呦呦，发现的青蒿素曾挽救了撒哈拉以南非洲地区约150万疟疾患者的生命，其中150万用科学记数法表示为( )
A. 150×104 B. 1.50×104 C. 0.15×107 D. 1.5×106
2. −513的倒数是( )
A. 513 B. −513 C. 135 D. −135
3. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 2022年浙江省经济运行稳中向好，城乡居民人均可支配收入显著增加，城镇居民与农村居民差距持续缩小，这说明城乡居民人均可支配收入的( )
A. 平均数减小，方差增大 B. 平均数减小，方差减小
C. 平均数增大，方差减小 D. 平均数增大，方差增大
5. 如图，O为△ABC的外心，四边形OCDE为正方形.以下结论：①O是△ABE的外心；②O是△ACD的外心；③直线DE与△ABC的外接圆相切.其中所有正确结论的序号是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
6. 如图，点A，B，C在⊙O上，且∠AOB=2∠BOC=2α，则下列结论错误的是( )
A. ∠ACB=α
B. ∠ABO=α
C. ∠BAC=12α
D. ∠OBC=90°−12α
7. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，若AB=AC=CD=2，∠ADB=108°，则AD的值为( )
A. 5−1 B. 3− 5 C. 52 D. 5
8. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−1,0)，与y轴的交点B在(0,−2)和(0,−1)之间(不包括这两个点)，对称轴为直线x=1.下列结论：①abc>0；②4a+2b+c>0；③4ac−b2<8a；④13
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 代数式 x+1x+(x−1)0在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______ ．
10. 已知a，b是方程x2+6x+4=0的两个根，则b ba+a ab的值______ ．
11. 计算(a−b)2(b−a)3的正确结果是______.(结果用幂的形式表示
)
12. 大自然中存在着许多奇妙的现象，科学家通过观察惊奇地发现，植物的茎叶和果实几乎都是按照137°30′，的模式排列的.这样，植物的茎叶和果实就可以占有最大的空间，以获取最多的阳光，承接最多的雨水.那么137°30′的补角是______ 度
.
13. 在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为(1,0)，每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2025的坐标为______ ．
14. 小明参加了今年社区组织的义务植树活动，活动结束后，他发现对面斜坡的平台上有一棵与地面垂直的树AB，他想运用课上学到的相关知识测量这棵树的高度.测量过程如下：如示意图，在点C处测得树顶端A的仰角为45°，先沿着斜坡CD行走13米至坡顶D处，再沿水平方向行走3米到达树底点B处(点A，B，C，D在同一平面内).已知斜坡CD的坡比为i=1：2.4，则他测得树AB的高度为______ 米
.
15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形A1BB1C1，A2B1B2C2，A3B2B3C3关于原点O位似，其中点B，B1，B2，B3都在x轴上，点C1在A2B1上，C2在A3B2上.依此方式，继续作正方形A4B3B4C4，若点A1坐标为(1,1)，则点C4的坐标为______ ．
16. 如图，在等边△ABC中，D，E分别为边BC，AB的中点，AD=5，且P为AD上的动点，连接EP，BP，则BP+EP的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(x2−2x+1x2−1−1x+1)÷2x−4x2+x，其中x是方程x2+4x−12=0的根．
18. (本小题8.0分)
为迎接春节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的T恤衫共100件.已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍．
(1)甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？
(2)商场决定购进甲、乙两种品牌T恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌T恤衫至少78件，求该商场有哪几种进货方案；
(3)在(2)的条件下，商场决定甲品牌T恤衫以每件50元出售，乙品牌T恤衫以每件100元出售，若该商场推出促销活动：顾客购买一件T恤衫持购物票据可抽奖一次，每人限购一件，一等奖共有1个，所购T恤衫按标价返款100%；二等奖共有3个，所购T恤衫按标价返款50%.该商场将这100件T恤衫全部售出后共获利2220元，直接写出抽到的二等奖中，购买的乙种品牌T恤衫有多少件．
19. (本小题8.0分)
为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动.该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动(每人必选且只选一种)”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)参加问卷调查的学生共有______ 人；
(2)条形统计图中m的值为______ ，扇形统计图中α的度数为______ ；
(3)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
20. (本小题8.0分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，过点A作AD//BC交BO的延长线于点D，连接CD，BD与AC交于点E．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若AE=4，CE=6，求BC的长．
21. (本小题8.0分)
如图反比例函数y1=mx(m>0)的图象经过点A(1,2)、点P是一次函数y2=kx+3−3k(k≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当点P的纵坐标为1时，
①求△APO的面积：
②方程mx=kx+3−3k(x>0)的解为______ ；当x满足______ y1>y2：
(3)对于一次函数y=kx+3−3k(k≠0).当y随x的增大而增大时，则点P横坐标a的取值范围为______ ．
22. (本小题8.0分)
九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90，且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y(单位：元/件)，每天的销售量为p(单位：件)，每天的销售利润为w(单位：元)．
时间x(天)
1
30
60
90
每天销售量p(件)
198
140
80
20
(1)求出w与x的函数关系式；
(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；
(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．
23. (本小题8.0分)
综合与实践
旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图1，△ABC和△DMN均为等腰直角三角形，∠BAC=∠MDN=90°，点D为BC中点，△DMN绕点D旋转，连接AM、CN．
观察猜想
(1)在△DMN旋转过程中，AM与CN的数量关系为______ ；
实践发现
(2)当点M、N在△ABC内且C、M、N三点共线时，如图2，求证：CM−AM= 2DM；
拓展延伸
(3)当点M、N在△ABC外且C、M、N三点共线时，如图3，探究AM、CM、DM之间的数量关系是______ ；
解决问题
(4)若△ABC中，AB= 5，在△DMN旋转过程中，当AM= 3且C、M、N三点共线时，DM= ______ ．
24. (本小题8.0分)
如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(3,0)，B(−1,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA=OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，连接AI、OI，请直接写出∠AIO的度数和CI长度的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：150万=1500000=1.5×106．
故选：D．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：−513的倒数是：−135．
故选：D．
直接利用倒数的定义化简得出答案．
此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：从正面看，共有两列，从左到右小正方形的个数分别为3、2．
故选：D．
根据主视图是从物体的正面看得到的视图解答即可．
本题考查的是几何体简单组合体的三视图，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵城乡居民人均可支配收入显著增加，
∴城乡居民人均可支配收入的平均水平增大，
∵城镇居民与农村居民差距持续缩小，
∴接近于平均数，即波动较小，
∴方差减小．
故选：C．
根据城乡居民人均可支配收入显著增加，说明平均数增大，再根据城镇居民与农村居民差距持续缩小，说明靠近平均数，即方差减小，从而得出答案．
本题主要考查了方差，应掌握：衡量一组数据波动大小的量叫做方差，方差越大，波动越大，方差越小，方差越小．
5.【答案】B
【解析】解：连接OB、OD、OA，
∵O为锐角三角形ABC的外心，
∴OA=OC=OB，
∵四边形OCDE为正方形，
∴OA=OC
①OA=OE=OB，O是△ABE的外心，故本选项符合题意；
②OA=OC≠OD，即O不是△ACD的外心，故本选项不符合题意；
③∵OE=OA，OE⊥DE，
∴直线DE与△ABC的外接圆相切．故本选项符合题意；
故选：B．
根据三角形的外心得出OA=OC=OA，根据正方形的性质得出OA=OC
6.【答案】B
【解析】解：如图，连接AC．
根据圆周角定理可知∠AOB=2∠ACB．
∵∠AOB=2∠BOC=2α，
∴∠ACB=∠BOC=12∠AOB=α，故A正确，不符合题意；
∵AO=BO，
∴∠ABO=∠BAO=12(180°−∠AOB)=90°−12α，故B错误，符合题意；
根据圆周角定理可知∠BAC=12∠BOC=12α，故C正确，不符合题意；
∵CO=BO，
∴∠OBC=∠OCB=12(180°−∠BOC)=90°−12α，故D正确，不符合题意．
故选：B．
连接AC，根据圆周角定理即可直接判断选项A和选项C；根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可判选项断B和选项D．
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．掌握一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵∠ADB=108°，
∴∠CDA=180°−108°=72°．
∵AB=AC=CD=2，
∴∠CAD=∠CDA=72°，
∴∠B=∠C=180°−72°−72°=36°，
∴∠BAD=∠CDA−∠B=36°，
∴AD=BD．
设AD=BD=x，则BC=2+x．
如图，作AE⊥BC于点E，
∵AB=AC=CD=2，
∴BE=CE=12BC=1+12x，
∴DE=CD−CE=1−12x．
∵AD2−DE2=AC2−CE2，
∴x2−(1−12x)2=22−(1+12x)2，
解得x1= 5−1，x1=− 5−1(舍去)．
故选：A．
先证明AD=BD，设AD=BD=x，则BC=2+x.作AE⊥BC于点E，根据AD2−DE2=AC2−CE2列方程求解即可．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵对称轴x=1>0，a，b异号，
∴b<0，
∵抛物线与y轴的交点B在(0,−2)和(0,−1)之间，
∴−2
故①正确；
∵抛物线与x轴交于A(−1,0)，对称轴为x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)，
当x=2时，y=4a+2b+c<0，
故②不正确；
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2−4ac>0，即4ac−b2<0，
∵8a>0，
∴4ac−b2<8a，
故③正确；
由题意可知，方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=−1，x2=3，
又∵x1⋅x2=ca，即c=−3a，
∵−2
∴13
综上所述，正确的结论有3个，
故选：C．
根据二次函数的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标、点A坐标等知识点，逐个判断即可．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，正确a，b，c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系是正确解答本题的关键．
9.【答案】x≥−1且x≠0且x≠1
【解析】解：∵代数式 x+1x+(x−1)0在实数范围内有意义，
∴x+1≥0x≠0x−1≠0，解得x≥−1x≠0x≠1，
∴实数x的取值范围是x≥−1且x≠0且x≠1．
故答案为：x≥−1且x≠0且x≠1．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数；再根据分式有意义的条件：分母不等于0，以及零指数幂的底数不等于0即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数；分式有意义的条件：分母不等于0，零指数幂的底数不等于0是解决问题的关键．
10.【答案】−14
【解析】解：∵a，b是方程x2+6x+4=0的两个根，
∴a+b=−6，ab=4，
∴a<0，b<0，
b ba+a ab=b−a ab+a−b ab，
=− ab(ba+ab)，
=− ab(a2+b2ab)，
=− ab((a+b)2−2abab)，
∴原式=− 4×(−6)2− 2×44=−2×7=−14．
故答案为：−14．
根据根与系数的关系求得a+b，ab的值并判断出a、b都是负数，然后根据二次根式的性质化简并将a+b、ab的值代入进行计算即可得解．
本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系表示出然后判断出两个根都是负数是正确进行化简的关键，也是本题的关键与难点．
11.【答案】(b−a)5
【解析】解：(a−b)2(b−a)3
=(b−a)2(b−a)3
=(b−a)5．
先变形，再根据同底数幂的乘法解决此题．
本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则以及偶次方是解决本题的关键．
12.【答案】42.5
【解析】解：137°30′的补角是：180°−137°30′=42°30′=42.5°．
故答案为：42.5．
利用补角的定义进行求解即可．
本题主要考查补角，度分秒的换算，解答的关键是明确互补的两角之和为180°．
13.【答案】(−22025,0)
【解析】解：∵A点坐标为(1,0)，
∴OA=1，
∴第一次旋转后，点A1在第一象限，OA1=2，
第二次旋转后，点A2在第二象限，OA2=22，
第三次旋转后，点A3在x轴负半轴，OA3=23，
第四次旋转后，点A4在第三象限，OA4=24，
第五次旋转后，点A5在第四象限，OA5=25，
第六次旋转后，点A6在x轴正半轴，OA6=26，
如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴上，
∵2025÷6=337…3，
∴循环了337次，点A2025在x轴负半轴上，且OA2025=22025，
∴点A2025的坐标为(−22025,0)．
故答案为：(−22025,0)．
每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴上，故A 2025在x轴负半轴上，且OA2025=22025，由此求解即可．
本题考查点的坐标规律探索，旋转变换，等边三角形的性质．解题的关键在于能够根据题意找到点An规律．
14.【答案】10
【解析】解：如图：过点D作DE⊥CG，垂足为E，延长AB交CG于点F，
由题意得：AF⊥CG，DE=BF，DB=EF=3米，CD=13米，
∵斜坡CD的坡比为i=1：2.4，
∴DECE=12.4=512，
∴设DE=5x米，则CE=12x米，
在Rt△CDE中，CD= CE2+DE2= (5x)2+(12x)2=13x(米)，
∴13x=13，
解得：x=1，
∴DE=BF=5米，CE=12米，
∴CF=CE+EF=15(米)，
在Rt△ACF中，∠ACF=45°，
∴AF=CF⋅tan45°=15(米)，
∴AB=AF−BF=15−5=10(米)，
故答案为：10．
过点D作DE⊥CG，垂足为E，延长AB交CG于点F，根据题意可得：AF⊥CG，DE=BF，DB=EF=3米，CD=13米，再根据已知可设DE=5x米，则CE=12x米，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理求出DE，CE的长，从而求出CF的长，最后在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15.【答案】(16,8)
【解析】解：∵点A1坐标为(1,1)，
∴OB=1，A1B=1，
∵四边形A1BB1C1是正方形，
∴OB1=2，B1C1=1，
∴点C1的坐标为(2,1)，
∵正方形A1BB1C1，A2B1B2C2关于原点O位似，
∴A1B1A2B2=OBOB1=12，
∴正方形A1BB1C1与A2B1B2C2的相似比为1：2，
同理可得：正方形A1BB1C1与正方形A3B2B3C3的相似比为1：4，
∴正方形A1BB1C1与正方形A4B3B4C4的相似比为1：8，
∴点C4的坐标为(2×8,1×8)，即(16,8)，
故答案为：(16,8)．
根据正方形的性质求出点C1的坐标，根据题意求出正方形A1BB1C1与正方形A4B3B4C4的相似比，根据位似变换的性质计算即可．
本题考查的是位似变换、正方形的性质、图形的变化规律，掌握位似变换的概念和性质是解题的关键．
16.【答案】5
【解析】解：如图，作点E关于AD的对称点F，连接BF，交AD于点P，
∵等边三角形为轴对称图形，
∴点F在线段AC上，
∴PF=PE，
∴BP+PE=BP+PF≥BF，即BP+EP的最小值为BF的长，且此时AC⊥BF，
根据等边三角形三边上的高相等，即AD=BF=5，
∴BP+EP的最小值为5．
故答案为：5．
作点E关于AD的对称点F，连接BF，交AD于点P，由BP+PE=BP+PF≥BF，根据AD=BF即可求得BP+EP的最小值．
本题考查等边三角形的性质，轴对称的性质，掌握轴对称求线段和最小值的方法是解题的关键．
17.【答案】解：原式=(x−1x+1−1x+1)÷2(x−2)x(x+1)
=x−2x+1⋅x(x+1)2(x−2)
=x2．
解方程x2+4x−12=0，得x=−6或x=2．
又∵x(x+1)(x−1)(x−2)≠0，
∴x=−6．
∴原式=−62=−3．
【解析】根据分式混合运算的法则化简分式，再把方程的解代入即可得到结论．
本题考查了一元二次方程的解，分式的化简取值，正确地计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)设甲品牌T恤衫每件的进价为x元，则乙品牌T恤衫每件的进价为(x+30)元．
由题意得：6000x=2×6000x+30，
解得：x=30，
经检验x=30是原分式方程的解，且符合题意．
∴x+30=60，
答：甲品牌T恤衫每件的进价为30元．乙品牌T恤衫每件的进价为60元．
(2)设该商场购进甲品牌T恤衫a件，则购进乙品牌T恤衫(100−a)件．
根据题意得：30a+60(100−a)≥3600a≥78，
∴78≤a≤80，
∴a的整数值为78，79，80．
∴商场共有三种进货方案．
方案一：购进甲品牌T恤衫78件，购进乙品牌T恤衫22件；
方案二：购进甲品牌T恤衫79件，购进乙品牌T恤衫21件；
方案三：购进甲品牌T恤衫80件，购进乙品牌T恤衫20件．
(3)设二等奖中购买乙品牌的有n件，甲品牌的有(3−n)件，
①购进甲品牌T恤衫78件，购进乙品牌T恤衫22件，一等奖为甲品牌，
(50−30)×78+(100−60)×22−50−100×50%n−50×50%(3−n)=2220，
解得：n=195(舍)．
购进甲品牌T恤衫78件，购进乙品牌T恤衫22件，一等奖为乙品牌，
(50−30)×78+(100−60)×22−100−100×50%n−50×50%(3−n)=2220，
解得：n=95(舍)．
②购进甲品牌T恤衫79件，购进乙品牌T恤衫21件，一等奖为甲品牌，
(50−30)×79+(100−60)×21−50−100×50%n−50×50%(3−n)=2220，
解得：n=3．
购进甲品牌T恤衫79件，购进乙品牌T恤衫21件，一等奖为乙品牌，
(50−30)×79+(100−60)×21−100−100×50%n−50×50%(3−n)=2220，
解得：n=1．
③购进甲品牌T恤衫80件，购进乙品牌T恤衫20件，一等奖为甲品牌，
(50−30)×80+(100−60)×20−50−100×50%n−50×50%(3−n)=2220，
解得：n=115(舍)．
购进甲品牌T恤衫80件，购进乙品牌T恤衫20件，一等奖为乙品牌，
(50−30)×80+(100−60)×20−100−100×50%n−50×50%(3−n)=2220，
解得：n=15(舍去)．
因此，抽到的二等奖中，购买乙品牌有1件或3件．
【解析】(1)根据乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍，可以列出相应的分式方程，从而可求得甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元；
(2)购进甲、乙两种品牌T恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌T恤衫至少78件，可以列出相应的不等式组，从而求出a的取值，分别列出进货方案即可；
(3)根据(2)中共有3种方案，分三种情况进行讨论：设二等奖中购买乙品牌的有n件，甲品牌的有(3−n)件，当购进甲品牌T恤衫78件，购进乙品牌T恤衫22件时，一等奖为甲品牌时，根据该商场将这100件T恤衫全部售出后共获利2220元可列出方程解得n不是整数即可舍去；当购进甲品牌T恤衫78件，购进乙品牌T恤衫22件时，一等奖为乙品牌时，根据该商场将这100件T恤衫全部售出后共获利2220元可列出方程解得n不是整数即可舍去；以此例推分别进行讨论即可，若n为小于等于3的整数，则可满足题意．
本题考查了分式方程的应用问题以及不等式组的应用解决方案问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程或不等式解决问题，利用分类讨论思想不遗漏情况进行讨论问题，注意分式方程需要检验．
19.【答案】60 11 90°
【解析】解：(1)24÷40%=60(人)，
∴参加问卷调查的学生共有60人．
故答案为：60．
(2)m=60−10−24−15=11，
α=360°×1560=90°，
故答案为：11；90°．
(3)画树状图如图：
∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为212=16．
(1)利用24÷40%即可求出参加问卷调查的学生人数；
(2)根据m=60−10−24−15，α=360°×1560即可得出答案．
(3)画树状图列出所有等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两名同学的结果，利用概率公式可得出答案．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、列表法与树状图法，熟练掌握条形统计图与扇形统计图、用样本估计总体以及列表法与树状图法求概率是解答本题的关键．
20.【答案】(1)证明：如图，
，
连接AO并延长交BC于点H，连接OC，
在△AOB与△AOC中，
AB=AC，OB=OC，OA=OA，
∴△AOB≌△AOC(SSS)，
∴∠BAH=∠CAH，
∵AB=AC，
∴AH⊥BC，
∴∠AHB=90°，
∵AD//BC，
∴∠HAD=∠AHB=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是半径，
∴AD是⊙O的切线．
(2)解：由(1)知AH⊥BC，BH=HC，
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠EBC，∠DAE=∠BCE，
∴△ADE∽△CBE，
∴AEEC=ADBC=46，
∴ADBH=AD12BC=43．
又∵AD//BC，
∴∠ADO=∠OBC，∠DAO=∠BHO，
∴△AOD∽△HOB，
∴ADBH=AOOH=43，
∴设OA=4k，则OH=3k，OB=4k，
∴BH= OB2−OH2= 7k．
∵∠AHB=90°，
∴BH2+AH2=AB2，
∵AC=AE+CE，
∴AC=4+6=10，
∵AB=AC，
∴AB=10
∵AH=OA+OH=7k，
∴( 7k)2+(7k)2=102，
∴k=5 1414，
∴BC=2BH=2 7k=5 2．
【解析】(1)先证明△AOB≌△AOC，再根据等腰三角形性质得出OA⊥AD，最后根据切线的判定进行证明；
(2)先证△ADE∽△CBE，得出比例，再证△AOD∽△HOB，得出比例，最后根据勾股定理求出k的值，进而求BC．
本题主要考查了圆的知识、切线的判定、相似三角形的判定和性质，有一定的难度，认真分析即可．
21.【答案】x=2 0
∴2=m1，
∴m=2．
∴反比例函数的解析式为y=2x；
(2)当y=1时，1=2x，x=2，
∴P(2,1)，
①过点A作AC平行于x轴，交y轴于点C，过点P作PD平行于y轴，交x轴于点D，AC 和PD交于点B
∴B(2,2)，C(0,2)，D(2,0)
∴OC=OD=BC=BD=2，AC=PD=AB=BP=1，
∴S△AOP=S正方形BCOD−S△AOC−S△DOP−S△ABP=2×2−12×1×2−12×2×1−12×1×1=32．
②∵点P是反比例函数y1=mx(m>0)的图象与一次函数y2=kx+3−3k(k≠0)的图象的一个公共点，
∴方程mx=kx+3−3k(x>0)的解为x=2，
由图可知当0
故答案为：x=2，0
即一次函数y=kx+3−3k一定经过(3,3)，
设点P的横坐标为a，
∵一次函数y=kx+3−3k(k≠0)过(3,3)点，并且y随x的增大而增大时，
∴k>0，P点的纵坐标要小于3，横坐标要小于3，
当纵坐标小于3时，
∵y=2x，
∴2a<3，
解得：a>23，
则a的范围为23
(2)过点A作AC平行于x轴，交y轴于点C，过点P作PD平行于y轴，交x轴于点D，AC 和PD交于点B，利用割补法即可得出面积；再根据图象可得出②；
(3)设点P的横坐标为a，由于一次函数y=kx+3−3k(k≠0)过(3,3)点，并且y随x的增大而增大时，则P点的纵坐标要小于3，横坐标要小于3，当纵坐标小于3时，由y=2x得到a>23，于是得到a的取值范围．
本题考查了反比例函数综合题：点在函数图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式；掌握一次函数的增减性．
22.【答案】解：(1)当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b(k、b为常数且k≠0)，
∵y=kx+b经过点(0,40)、(50,90)，
∴b=4050k+b=90，解得：k=1b=40，
∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40；
当50
设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n(m、n为常数，且m≠0)，
∵p=mx+n过点(60,80)、(30,140)，
∴60m+n=8030m+n=140，解得：m=−2n=200，
∴p=−2x+200(0≤x≤90，且x为整数)，
当1≤x≤50时，w=(y−30)⋅p=(x+40−30)(−2x+200)=−2x2+180x+2000；
当50
∵a=−2<0且1≤x≤50，
∴当x=45时，w取最大值，最大值为6050元．
当50
∴当x=50时，w取最大值，最大值为6000元．
∵6050>6000，
∴当x=45时，w最大，最大值为6050元．
即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．
(3)当1≤x≤50时，令w=−2x2+180x+2000≥5600，即−2x2+180x−3600≥0，
解得：30≤x≤50，
50−30+1=21(天)；
当50
∴50
综上可知：21+3=24(天)，
故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元．
【解析】(1)当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50≤x≤90时，y=90.再结合给定表格，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n，套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式，根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式；
(2)根据w关于x的函数关系式，分段考虑其最值问题．当1≤x≤50时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值；当50≤x≤90时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值，两个最大值作比较即可得出结论；
(3)令w≥5600，可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，由此即可得出结论．
本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式的应用、一元二次不等式的应用以及利用待定系数法求函数解析式，解题的关键：(1)根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式；(2)利用二次函数与一次函数的性质解决最值问题；(3)得出关于x的一元一次和一元二次不等式．本题属于中档题，解决该题型题目时，根据给定数量关系，找出函数关系式是关键．
23.【答案】AM=CN CM+AM= 2DM 6−22或2+ 62
【解析】(1)解：AM=CN，理由如下，
如图所示，连接AD，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵点D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ACD=∠DAC=45°，
∴AD=CD，
∵△DMN为等腰直角三角形，∠MDN=90°，
∴DM=DN，∠MDA+∠ADN=∠ADN+∠NDC=90°，
∴∠MDA=∠NDC，
在△AMD，△CND中，
AD=CD∠MDA=∠NDCDM=DN，
∴△AMD≌△CND(SAS)，
∴AM=CN，
故答案为：AM=CN．
(2)证明：如图所示，连接AD，
由(1)可知，△AMD≌△CND(SAS)，
∴∠MAD=∠NCD，AM=CN，
∴CM=CN+MN=AM+MN，
∴CM−AM=CM−CN=MN，
∵△DMN是等腰直角三角形，即DM=DN，
∴MN2=DM2+DN2=2DM2，
∴MN= 2DM= 2DN，
∴CM−AM= 2DM．
(3)解：如图所示，连接AD，
根据(1)中的证明可知，AD=CD，∠ADM+∠MDC=∠MDC+∠CDN=90°，
∴∠ADM=∠CDN，
在△ADM，△CDN中，
AD=CD∠ADM=∠CDNDM=DN，
∴△ADM≌△CDN(SAS)，
∴AM=CN，
∴CN+CM=AM+CM=MN，
∵△DMN是等腰直角三角形，即DM=DN，
∴MN2=DM2+DN2=2DM2，
∴MN= 2DM= 2DN，
∴AM+CM= 2DM，
故答案为：AM+CM= 2DM．
(4)解：AB= 5，AM= 3，C、M、N三点共线，
①由(2)可知，CM−AM= 2DM，
由(1)可知，∠MAD=∠NCD，
∵∠ACD=∠ACM+∠NCD=45°，∠DCN+∠NCA+∠DAC=90°，
∴∠MAD+∠NCA+∠DAC=90°，
∴∠AMC=90°，
在Rt△ACM中，AB=AC= 5，AM=CN= 3，
∴CM= AC2−AM2= ( 5)2−( 3)2= 2，
∴MN=CM−CN= 2− 3(不符合题意)；
②如图所示，由(1)可知，△ADM≌△CDN，AM=CN= 3，∠DAM=∠DCN，
∴∠DAM+∠MAC+∠ACD=∠DCN+∠MAC+∠ACD=90°，
∴△AMC是直角三角形，
∴CM= AC2−AM2= ( 5)2−( 3)2= 2，
∴MN=CN−CM= 3− 2，
在Rt△DMN中，MN= 2DM，
∴DM= 2MN2= 2( 3− 2)2= 6−22；
③由(3)可知，
△DMN是等腰直角三角形，
∴∠N=∠DMN=45°，
由(3)可知，△ADM≌△CDN，
∴∠AMD=∠N=45°，
∴∠AMD+∠DMN=45°+45°=90°，即△ACM是直角三角形，
在Rt△ACM中，AB=AC= 5，AM=CN= 3，
∴CM= AC2−AM2= ( 5)2−( 3)2= 2，
∴MN=CM+CN= 2+ 3，
∵MN= 2DM，
∴DM= 2MN2= 2( 2+ 3)2=2+ 62；
综上所述，DM的长为 6−22或2+ 62，
故答案为： 6−22或2+ 62．
(1)如图所示，连接AD，根据等腰三角形的性质可证△AMD≌△CND(SAS)，由此即可求解；
(2)由(1)中△AMD≌△CND(SAS)，再根据△DMN为等腰直角三角形，由此即可求解；
(3)证明△AMD≌△CND(SAS)，△DMN为等腰直角三角形，即可求证；
(4)点C、M、N三点共线，分类讨论，根据(2)，(3)中的结论即可求解．
本题主要考查等腰直角三角形，旋转，全等三角形的综合，掌握旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+3过点A(3,0)，B(−1,0)，
∴9a+3b+3=0a−b+3=0
解得：a=−1b=2，
∴这条抛物线对应的函数表达式为y=−x2+2x+3．
(2)在y轴上存在点P，使得△PAM为直角三角形．
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴顶点M(1,4)，
∴AM2=(3−1)2+42=20，
设点P坐标为(0,p)，
∴AP2=32+p2=9+p2，MP2=12+(4−p)2=17−8p+p2，
①若∠PAM=90°，则AM2+AP2=MP2，
∴20+9+p2=17−8p+p2，
解得：p=−32，
∴P(0,−32).
②若∠APM=90°，则AP2+MP2=AM2，
∴9+p2+17−8p+p2=20，
解得：p1=1，p2=3，
∴P(0,1)或(0,3)．
③若∠AMP=90°，则AM2+MP2=AP2，
∴20+17−8p+p2=9+p2，
解得：p=72，
∴P(0,72).
综上所述，点P坐标为(0,−32)或(0,1)或(0,3)或(0,72)时，△PAM为直角三角形．
(3)解法一：如图，连接IO，ID，IA，
∵I是△ADG的内心，
∴IA平分∠DAG，ID平分∠ADG，
∴∠IAD=12∠DAG，∠ADI=12∠ADG．
∵∠DAG+∠ADG=90°，
∴∠IAD+∠ADI=45°，
∴∠AID=135°．
在△ADI和△AOI中，
AD=AO∠DAI=∠OAIAI=AI，
∴△ADI≌△AOI(SAS)．
∴∠AID=∠AIO=135°．
∵OA为定线段，∠OIA恒等于135°，
∴点I在以OA为弦，所含的圆周角等于135°的圆弧上，
设该圆的圆心为E，连接EO，EA，
∵∠OIA=135°，
∴∠OEA=90°．
∵EO=EA，
∴△EOA为等腰直角三角形．
过点E作EH⊥OA于点H，
则AH=OH=12OA=32．
∴OE=3 22．
∴圆心E的坐标为(32,−32)，⊙E的半径为3 22．
当点I在线段CE上时，CI的值最小，
CI的最小值=CE−OE= (32)2+(32+3)2−3 22=3 10−3 22．
解法二：如图，过点I作IE⊥x轴于点E，IF⊥AD于点F，IH⊥DG于点H．
∵DG⊥x轴于点G，
∴∠HGE=∠IEG=∠IHG=90°，
∴四边形IEGH是矩形，
∵点I为△ADG的内心，
∴IE=IF=IH，AE=AF，DF=DH，EG=HG，
∴矩形IEGH是正方形，
设点I坐标为(m,n)，
∴OE=m，HG=GE=IE=n，
∴AF=AE=OA−OE=3−m，
∴AG=GE+AE=n+3−m，
∵DA=OA=3，
∴DH=DF=DA−AF=3−(3−m)=m，
∴DG=DH+HG=m+n，
∵DG2+AG2=DA2，
∴(m+n)2+(n+3−m)2=32，
∴化简得：m2−3m+n2+3n=0，
配方得：(m−32)2+(n+32)2=92，
∴点I(m,n)与定点Q(32,−32)的距离为3 22，
∴点I在以点Q(32,−32)为圆心，半径为3 22的圆在第一象限的弧上运动，
∴当点I在线段CQ上时，CI最小，
∵CQ= (32)2+(3+32)2=3 102，
∴CI=CQ−IQ=3 10−3 22，
∴CI最小值为3 10−3 22．
【解析】(1)用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式．
(2)用配方法求抛物线顶点M，求AM2，设点P坐标为(0,p)，用p表示AP2和MP2.△PAM为直角三角形不确定哪个点为直角顶点，故需分三种情况讨论．确定直角即确定斜边后，可用勾股定理列方程，求得p的值即求得点P坐标．
(3)由点I是△ADG内心联想到过点I作△ADG三边的垂线段IE、IF、IH，根据内心到三角形三边距离相等即有IE=IF=IH.此时以点I为圆心、IE为半径长的⊙I即为△ADG内切圆，根据切线长定理可得AE=AF，DF=DH，EG=HG.设点I坐标为(m,n)，可用含m、n的式子表示AG、DG的长，又由DA=OA=3，即可用勾股定理列得关于m、n的方程．化简再配方后得到式子：(m−32)2+(n+32)2=92，从图形上可理解为点I(m,n)与定点Q(32,−32)的距离为3 22，所以点I的运动轨迹为圆弧．所以当点I在CQ连线上时，CI最短．
本题考查二次函数的图象与性质，直角三角形存在性的分类讨论，三角形内心的定义和性质，切线长定理，点和圆的位置关系，解一元一次方程和一元二次方程．第(3)题的解题关键是由点I是内心用内心性质和切线长定理列式求得点I坐标的特征式子，转化到点I到定点Q的距离相等，再转化到点和圆的位置关系．
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