2022-2023学年福建省龙岩市连城县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省龙岩市连城县八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  二次根式中字母的取值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下面计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，矩形中，，两条对角线，所夹的钝角为，则对角线的长为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图，在平行四边形中，，，，平分，下列结论错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列各组数中，能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

6.  如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，若是的高，则的长为．(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  将四个全等的直角三角形直角边分别为、按图和图两种方式放置，则能验证的等式是(    )

 

A.  B.
C.  D.

8.  九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈一丈尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，平面内条直线、、、是一组平行线，相邻条平行线的距离是个单位长度，正方形的个顶点、、、都在这些平行线上，则这个正方形的面积不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  ______．

12.  已知实数、满足，则______．

13.  已知，如图，一轮船以海里时的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以海里时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口小时后，则两船相距______．

14.  已知菱形的两条对角线长为和，那么这个菱形的周长是______ ．

15.  如图，在四边形纸片中，，，，将纸片先沿对折，再将对折后的纸片沿过顶点的直线裁剪，剪开后的纸片打开铺平，其中有一个图形是周长为的平行四边形，则        ．

16.  如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点为轴上的一个动点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
已知，，求的值．

19.  本小题分
如图，四边形是平行四边形，，是对角线的三等分点，连接，证明：．
 

20.  本小题分
如图，四边形的四边中点分别为、、、，顺次连接、、、判断四边形形状，并说明理由．

21.  本小题分
如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得，，，，又已知求这块土地的面积．

22.  本小题分
如图，在中，，．
求作：以斜边为对角线且其中一个顶点在边上的菱形；
求中所求作菱形的面积．

23.  本小题分
定义：如果一个三角形存在两个内角与满足，那么称这个三角形为“准互余三角形”如图，已知为“准互余三角形”，并且．
若，求的度数；
在的条件下，若，求的长．

24.  本小题分
如图，点是等边中线上一点，连接，为等边三角形，连接．

求证：；
如图，当在线段的延长线上，求证：；
如图，，点是射线的动点，是否其中存在以、、为顶点的菱形，若存在，请直接写出线段的长度不写过程，若不存在，说明理由．

25.  本小题分
如图，正方形的边、在坐标轴上，点坐标为，将正方形绕点逆时针旋转一个锐角，得到正方形，交线段与点，的延长线交线段于点，连、．
求证：≌；
求的度数；
连接、、、得到四边形，在旋转过程中四边形能否为矩形？如果能，请求出点的坐标；如果不能，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，，
二次根式中字母的取值可以是．
故选：．
根据二次根式中的被开方数是非负数，可得：，求出的取值范围，进而判断出二次根式中字母的取值可以是哪个即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不能合并，故选项错误；
B、，故选项正确；
C、，故选项错误；
D、，故选项错误．
故选：．
A、根据合并二次根式的法则即可判定；
B、根据二次根式的除法法则即可判定；
C、根据二次根式的乘法法则即可判定；
D、根据二次根式的性质即可判定．
此题考查了二次根式的计算，要掌握各运算法则．二次根式的加减运算，只有同类二次根式才能合并；乘法法则；除法法则．
 

3.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
．
故选：．
根据矩形的性质推出，，，求出，求出等边三角形，推出，即可求出答案．
本题考查了矩形的性质，掌握等边三角形的性质和判定，矩形的性质的应用是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，
，，，，
，故D正确；
平分，
，
，
，故C错误；
，
，故A正确；
，
，故B正确．
故选：．
由▱中，，，，根据平行四边形的性质，可求得；又由平分，易求得，，继而可求得，．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查勾股定理的逆定理，要求学生熟练掌握这个逆定理．
根据勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【解答】
解：、，不能构成直角三角形，故A错误；
B、，能构成直角三角形，故B正确；
C、，不能构成直角三角形，故C错误；
D、，不能构成直角三角形，故D错误．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
的面积是：，
是的高，，
，
解得，，
故选：．
根据题意和题目中的数据，可以计算出的面积和的长，然后即可计算出的长，本题得以解决．
本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：图阴影部分的面积为；
图阴影部分的面积利用看作边长为的面积减去中间空白正方形的面积，即，
因此有，
故选：．
用代数式分别表示图、图阴影部分的面积即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示图中阴影部分的面积是正确解答的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，设折断处离地面的高度为尺，则，，
在中，，即．
故选：．
根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为尺，再利用勾股定理列出方程即可．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接、，如图，

四边形和四边形都是正方形，，，
，，，，
，
在中，，
是的中点，
．
故选：．
连接、，如图，根据正方形的性质得，，，，则，再利用勾股定理计算出，然后根据直角三角形斜边上的中线求的长．
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质及勾股定理，二次根式的化简．
 

10.【答案】 

【解析】解：若正方形有一组对边与该组平行线平行，
相邻条平行线的距离都是个单位长度，
正方形的边长为或或，
正方形的面积为或或，
若正方形的每条边都与该组平行线不平行，
如图，过点作，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
当为图时，，

正方形的面积为，
当为图时，，

正方形的面积为，
所以，正方形的面积为或或或或，
综上所述，只有不可能．
故选：．
正方形有一组对边与该组平行线平行，根据相邻直线间的距离为，分别求出正方形的面积；正方形的每条边都与该组平行线不平行，有一对对角顶点在同一直线上与不在同一直线上，过点作，根据正方形的性质求出，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出的长，再根据正方形的面积求解即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线间的距离，勾股定理的应用，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据二次根式的性质直接计算即可．
此题考查了二次根似的性质与化简，此题较简单，做题时要细心．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
解得，
．
故答案为：．
根据绝对值和平方的非负性求出和的值，然后代入化简求值即可．
本题考查了绝对值和二次根式的非负性，掌握二次根式的化简和加减运算是关键．
 

13.【答案】海里 

【解析】解：两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
，
两小时后，两艘船分别行驶了，海里，
根据勾股定理得：海里．
故答案为：海里．
根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程速度时间，得两条船分别走了，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．
 

14.【答案】 

【解析】解：菱形的两条对角线长为和，
菱形的两条对角线长的一半分别为和，
根据勾股定理，边长，
所以，这个菱形的周长是，
故答案为：．
根据菱形的对角线互相垂直平分求出两对角线长的一半，然后利用勾股定理求出菱形的边长，再根据周长公式计算即可得解．
本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解；如图，当沿从出发的直线裁剪，四边形是平行四边形，

根据裁剪可知：，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
四边形周长为，
，
，，
，
在平行四边形中，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据题意，画出图形，可知，所得的平行四边形是菱形，由菱形的性质和平行四边形的周长，求得相关边长，进而可求得的长．
本题考查剪纸，平行四边形的性质和菱形的判定方法与性质以及平行四边形的面积公式，根据题意，画出图形，是解题的关键，主要要分类讨论．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，以为边在右侧作等边三角形，
，
连接并延长交轴于点，过点作于点，

在矩形中，
，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
点在过定点且与垂直的直线上运动，即点在直线上运动，
是等边三角形，
，
，
，
，
当点与不重合时，，
当点与重合时，，
综上所述：，
的最小值为，
故答案为：．
以为边在右侧作等边三角形，连接并延长交轴于点，过点作于点，利用全等三角形的性质证明，所以，推出点在过定点且与垂直的直线上运动，即点在直线上运动，求出的长即可解决问题．
本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
 

17.【答案】解：

；


． 

【解析】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
利用二次根式的乘除法法则，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：，，
，
，
． 

【解析】先求解，，再整体代入代数式求值即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟练地利用平方差公式进行简便运算是解本题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，，
，
，是对角线的三等分点，
，
在与中，
，
≌，
． 

【解析】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是根据证明≌解答．
根据平行四边形的性质得出，，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可．
 

20.【答案】解：四边形为平行四边形，理由如下：
连接，如图，

在和中，
、分别为其中位线，
，且；且，
，，
四边形为平行四边形． 

【解析】首先根据三角形中位线的性质得，，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出答案．
本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线的性质等，灵活选择判定定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：连接，
，
，
则，
因此，
平方米，
答：这块土地的面积为平方米． 

【解析】先把解四边形的问题转化成解三角形的问题，再用勾股定理解答．
本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解答此题的关键．
 

22.【答案】解：如图所示，四边形为所求作的菱形；

，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；

由得菱形，且，
，则，，
在中，，，
，
，
设，则，
，
解得：，
：，
，
，
又，
为等边三角形，
菱形面积为：． 

【解析】根据题意，作的垂直平分线，交于点，交于点，在的垂直平分线上截取，连接，，，四边形为所求作的菱形；
在中，，，设，则，根据勾股定理，求得，可得，进而得出为等边三角形，根据菱形的性质即可求解．
本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，勾股定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：当为时，
则，
故不成立；
当为时，
，
，
故不成立；
当为，
，
，
，
故不成立；
故，
解得，
．
过点作，垂足分别是，，交于点，

，，
，，，，
，，，，
，
，，
． 

【解析】分为，为，为，求解．
过点作，垂足分别是，，交于点，利用勾股定理，三角形外角性质计算即可．
本题考查了新定义问题，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，

等边，等边，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
；

证明：连接、，

等边，等边，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
；

解：分情况讨论，
特殊情况，如图，当为菱形的边时，
设，

等边，
，
，
则，
，
，
，
，即的值为；
如图，当为菱形的对角线时，

同理，的值为；
如图，当为菱形的对角线时，

同理，的值为；
一般情况：以、、顶点的菱形存在无限可能，则的长则无法确定． 

【解析】连接，利用等边三角形的性质以及证明≌，推出，再证明，即可得到结论；
连接，同的方法即可证明；
以、、顶点的菱形存在无限可能，则的长无法确定．
本题考查了等边三角形的性质，菱形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
 

25.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
旋转正方形到正方形，
，，
，
在和中，
，
≌；

解：，理由如下：
四边形是正方形，
．
又，
．
在和中，
，
≌．
，．
≌，
，．
；

解：在旋转过程中四边形能为矩形，此时．
当为中点时，四边形能为矩形，理由如下：
如图所示，连结、、、．

旋转正方形到正方形，
，
为中点，
，
又，
，
，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为矩形．
旋转正方形到正方形，，
，，
四边形是矩形，
，
设，则，
，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
的坐标是． 

【解析】求证全等，观查两个三角形，发现都有直角，而为公共边，进而再锁定一条直角边相等即可，因为其为正方形旋转得到，所以边都相等，即结论可证．
上问的结论，本题一般都要使用才能求出结果．所以由三角形全等可以得到对应边、角相等，即，同第一问的思路你也容易发现≌，也有对应边、角相等，即，于是为．
四边形若为矩形，则需先为平行四边形，即要对角线互相平分，合适的点只有为中点的时候．由上几问知，所以此时同时满足，即四边形为矩形．求点的坐标，可以设其为，则，而为的一半，所以又由，，所以中，三边都可以用含的表达式表达，那么根据勾股定理可列方程，进而求出，推得坐标．
本题考查的知识点是三角形全等的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，矩形的判定，解题关键是注意作出辅助线将所问图形表示出来．