2022-2023学年福建省龙岩市永定区、连城县八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省龙岩市永定区、连城县八年级（上）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
下列图形具有稳定性的是( )
A. B.
C. D.
2022年北京冬奥会会徽“冬梦”以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体．以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
在平面直角坐标系中，点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为( )
A. (3,-2)B. (-2,3)C. (2,-3)D. (-3,2)
木工师傅将一个含45度角的三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是( )
A. 垂线段最短
B. 等腰三角形的“三线合一”
C. 角平分线的性质定理
D. 线段垂直平分线的性质定理
如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，将△BDE沿直线DE折叠，使点B落在点B'处，DB'、EB'分别交边AC于点F、G.则阴影部分图形的周长等于( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
如图，已知△ABC≌△BDE，∠ABC=∠ACB=70°，则∠ABE的度数为( )
A. 30°
B. 35°
C. 40°
D. 45°
如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为24，则△BEF的面积是( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
已知过一个多边形的某一个顶点共可作2022条对角线，则这个多边形的边数是( )
A. 2022B. 2023C. 2024D. 2025
如图，已知AB=AD，BC=DE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，
则∠EGF的度数为( )
A. 120°
B. 135°
C. 115°
D. 125°
如图所示，在四边形ABCD中，AD=2，∠A=∠D=90°，∠B=60°，BC=2CD，在AD上找一点P，使PC+PB的值最小；则PC+PB的最小值为( )
A. 4B. 3C. 5D. 6
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
正五边形每个内角的度数为______．
如图，BD是△ABC的中线，AB=5cm，BC=3cm，那么△ABD的周长比△CBD的周长多______．
如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F.若△AFC是等边三角形，则∠B=______°.
如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，EF⊥BC于点F.若S△ABC=24，BD=4，则EF长为______．
已知直线l是线段AB的垂直平分线，点M，N是直线l上的两点，如果∠NBA=15°，∠MBA=45°，则∠MAN=______．
如图，等边△ABC的边长为6，点D是AB上一动点，过点D作DE/​/AC交BC于E，将△BDE沿着DE翻折得到△B'DE，连接AB'，则AB'的最小值为______．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题8.0分)
如图，AC平分∠BAD，AB=AD.求证：BC=DC．
(本小题8.0分)
如图，点C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB=CD.求证：△ABC≌△CDE．
(本小题8.0分)
如图，若△ABC是等边三角形，AB=6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到点E，使CE=CD，求BE的长度．
(本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，求∠CAB'的度数．
(本小题8.0分)
如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE.求证：BD=CE．
(本小题10.0分)
如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=40°，并且∠ADE=∠AED，求∠CDE的度数．
(本小题10.0分)
已知：如图，AC，BD交于点O，AB=CD，AC⊥AB，BD⊥CD，垂足分别为A，D．
求证：△OBC是等腰三角形．
(本小题12.0分)
阅读理解和问题解决
(1)如图1，在△ABC中，若AB=10，AC=6.求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使得AD=DE，再连接BE.此时构造出一对全等的三角形为：______≌______，全等的依据为______，于是可推得AD=______，AC=______，这样就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边关系即可判断中线AD的取值范围是______；
(2)如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，请你参考问题(1)的解答思路求证：BE+CF>EF．
(本小题14.0分)
已知△ABC、△DPC都是等边三角形．
(1)如图1，求证：AP=BD；
(2)如图2，点P在△ABC内，M为AC的中点，连接PM、PA、PB，若PA⊥PM，且PB=2PM．
①求证：BP⊥BD；
②判断PC与PA的数量关系并证明．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：三角形具有稳定性．
故选：A．
根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．
此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
直接利用轴对称图形的定义进行判断．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】A
【解析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
解：点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为(3,-2)．
故选：A．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4.【答案】B
【解析】解：木工师傅将一把三角尺和一个重锤如图放置，
当重锤经过等腰三角形的底边的中点时，就能检查出这根横梁水平，否则就不水平，
所以解释这一现象的数学知识是等腰三角形的三线合一，
故选：B．
根据等腰三角形的性质确定答案即可．
考查了等腰三角形的性质，了解等腰三角形的三线合一的性质是解答本题的关键，难度不大．
5.【答案】C
【解析】解：利用折叠的性质可得△BDE≌△B'DE，
∴BD=BD'，BE=B'E．
∴阴影部分图形的周长=AD+B'D+AG+B'E+EC+EC+CG
=(AD+B'D)+(AG+GC)+(B'E+EC)
=(AD+BD)+(AG+GC)+(BE+EC)
=AB+AC+BC，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，
∴AB+AC+BC=6，
∴阴影部分图形的周长等于6，
故选：C．
利用折叠的性质可得△BDE≌△B'DE，利用等量代换和等式的性质解答即可．
本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，由折叠的性质得△BDE≌△B'DE是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠A=180°-70°-70°=40°，
∵△ABC≌△BDE，
∴∠A=∠EBD=40°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBD=30°，
故选：A．
根据三角形内角和定理求出∠A=40°，再根据全等三角形的性质、角的和差求解即可．
此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则S△ABD=S△ACD=12，再求出S△EBD=6，S△ECD=6，然后利用F点为CE的中点得到S△BEF=12S△EBC．
解：∵D点为BC的中点，
∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC=12×24=12，
∵E点为AD的中点，
∴S△EBD=12S△ABD=6，S△ECD=12S△ACD=6，
∴S△EBC=S△EBD+S△ECD=6+6=12，
∵F点为CE的中点，
∴S△BEF=12S△EBC=12×12=6．
故选：C．
本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
8.【答案】D
【解析】解：设多边形为n边形，则：
n-3=2022，
解得n=2025．
故选：D．
根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式(n-3)求出边数即可得解．
本题考查了多边形的对角线的公式，牢记公式是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵AB=AD，BC=DE，∠B=∠D=25°，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠DAE=∠CAB，
∵∠EAB=120°，∠CAD=10°，
∴∠EAD=∠CAB=55°，
∴∠DAB=65°，
∵∠GFD=∠AFB，∠B=∠D=25°，
∴∠DGB=∠DAB=65°，
∴∠EGF=115°．
故选：C．
由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可得∠DAE=∠CAB，即可求∠CAB=55°，由三角形内角和定理可求∠DGB=∠DAB=65°，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，证明△ABC≌△ADE是本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，延长CD至C'，使C'D=CD，
∵∠ADC=90°，
∴点C'与点C关于AD对称，
连接C'B交AD于P'，此时P'C'+BP'=BC'最小，
∵∠A=∠ADC=90°，
∴CD/​/AB，
∴∠C'=∠ABC'，∠BCC'=180°-∠ABC=120°，
∵C'D=CD，
∴CC'=2CD，
∵BC=2CD，
∴CC'=BC，
∴∠C'=∠CBC'，
∴∠C'=∠ABC'=∠CBC'=30°，
过点B作BE⊥CD交DC的延长线于E，
则BE=AD=2(平行线间的距离处处相等)，
在Rt△BEC'中，∠C'=30°，BE=2，
∴BC'=2BE=4，
即PB+PC的值最小值为4，
故选：A．
先作出点C关于AD的对称点，判断出CC'=BC，进而判断出∠C'=30°，再构造出直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论．
此题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，判断出CC'=BC是解本题的关键．
11.【答案】108°
【解析】解：方法一：(5-2)⋅180°=540°，
540°÷5=108°；
方法二：360°÷5=72°，
180°-72°=108°，
所以，正五边形每个内角的度数为108°．
故答案为：108°．
方法一：先根据多边形的内角和公式(n-2)⋅180°求出内角和，然后除以5即可；
方法二：先根据正多边形的每一个外角等于外角和除以边数，再根据每一个内角与相邻的外角是邻补角列式计算即可得解．
本题考查了正多边形的内角与外角的关系，注意两种方法的使用，通常利用外角和与每一个外角的关系先求外角的度数更简单一些．
12.【答案】2cm
【解析】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD=DC，
∴△ABD的周长-△CBD的周长
=(AB+AD+BD)-(BC+DC+BD)
=AB-BC
=5-3
=2(cm)，
∴△ABD的周长比△CBD的周长多2cm，
故答案为：2cm．
根据三角形的中线的概念得到AD=DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
13.【答案】30
【解析】根据垂直平分线的性质得到BF=CF，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B．
解：∵EF垂直平分BC，
∴BF=CF，
∴∠B=∠BCF，
∵△ACF为等边三角形，
∴∠AFC=∠B+∠BCF=60°，
∴∠B=∠BCF=30°．
故答案为：30．
本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF．
14.【答案】3
【解析】解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD=12S△ABC，
∵BE是△ABD的中线，
∴S△BDE=12S△ABD，
∴S△BDE=14S△ABC=14×24=6，
∵S△BDE=12BD⋅EF，
∴12BD⋅EF=6，
即12×4×EF=6，
解得：EF=3，
故答案为：3．
由S△ABD=12S△ABC，S△BDE=12S△ABD，推出S△BDE=14S△ABC，再根据三角形的面积公式即可得出答案．
本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，理解三角形高的定义，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．
15.【答案】60°或30°
【解析】解：如图1所示，∵M、N是线段AB的垂直平分线上的两点，
∴NA=NB，MA=MB，
∴∠NBA=∠NAB=15°，∠MBA=MAB=45°，
∴∠MAN=∠NAB+∠MAB=15°+45°=60°．
如图2所示，同理可得∠MAN=∠MAB-∠NAB=45°-15°=30°．
故答案为：60°或30°．
根据题意画出图形，分点M、N在线段AB的异侧与点M、N在线段AB的同侧两种情况进行讨论．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16.【答案】3
【解析】解：如图，

∵DE/​/AC，△ABC是等边三角形，
∴△BDE是等边三角形，折叠后的△B'DE也是等边三角形，
过B作DE的垂直平分线，
∵BD=BE，B'D=B'E，
∴BB'都在DE的垂直平分线上，
∵AB'最小，即A到DE的垂直平分线的距离最小，此时AB'⊥BB'，
∴AB'=12AC=12×6=3，
即AB'的最小值是3．
故答案为：3．
过B作DE的垂直平分线，可得△BDE和△B'DE都是等边三角形，进而可得当B'在AC上时，AB'最小．
本题考查了翻折对称的性质，熟练掌握等边三角形的选性质是解题关键．
17.【答案】证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABC和△ADC中，
AB=AD∠BAC=∠DACAC=AC,
∴△ABC≌△ADC(SAS)，
∴BC=DC．
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABC≌△ADC是本题的关键．
由“SAS”可证△ABC≌△ADC，可得BC=DC．
18.【答案】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠B=∠D=∠ACE=90°，
∴∠DCE+∠DEC=90°，∠BCA+∠DCE=90°，
∴∠BCA=∠DEC，
在△ABC和△CDE中，
∠BCA=∠DEC∠B=∠DAB=CD，
∴△ABC≌△CDE(AAS)．
【解析】根据一线三垂直模型利用AAS证明△ABC≌△CDE即可．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键．
19.【答案】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴AD=CD=12AC，∠DBC=12∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴CE=12AC=3，
∴BE=BC+CE=6+3=9．
【解析】由等边三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=60°，BD是∠ABC的平分线，则∠DBC=30°，AD=CD=12AC，再由题中条件CE=CD，即可求得BE．
本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD=CD=12AC是正确解答本题的关键．
20.【答案】解：∵∠B=50°，∠BAC=90°，
∴∠C=90°-50°=40°，
∵AD⊥BC，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，
∴∠AB'D=∠B=50°，
∵∠AB'D=∠C+∠CAB'，
∴∠CAB'=50°-40°=10°．
【解析】求出∠C，∠AB'D，利用三角形的外角的性质求解即可．
本题考查轴对称，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．
∵AB=AC，
∴BP=PC；
∵AD=AE，
∴DP=PE，
∴BP-DP=PC-PE，
∴BD=CE．
【解析】本题考查等腰三角形的性质；做题时，两次用到三线合一的性质，由等量减去等量得到差相等是解答本题的关键；
要证明线段相等，只要过点A作BC的垂线，利用三线合一得到P为DE及BC的中点，线段相减即可得证．
22.【答案】解：设∠DAE=x°，则∠BAC=40°+x°．
∵∠B=∠C，∴2∠C=180°-∠BAC
∴∠C=90°-12∠BAC=90°-12(40°+x°)
同理∠AED=90°-12∠DAE=90°-12x°
∴∠CDE=∠AED-∠C=(90°-12x°)-[90°-12(40°+x°)]=20°．
【解析】在这里首先可以设∠DAE=x°，然后根据三角形的内角和是180°以及等腰三角形的性质用x分别表示∠C和∠AED，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和进行求解．
这里注意利用未知数抵消的方法解出了正确答案．
23.【答案】证明：∵AC⊥AB，BD⊥CD，
∴∠A=∠D=90°，
在△BAO和△CDO中，
∠A=∠D∠AOB=∠DOCAB=DC，
∴△BAO≌△CDO(AAS)，
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形．
【解析】根据AAS可以证明△BAO≌△CDO，从而可以得到OB=OC，然后即可说明结论成立．
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，解答本题的关键是证出△BAO≌△CDO．
24.【答案】△ADC △EDB SAS ED EB 2【解析】(1)解：如图1，延长AD到点E，使AD=DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD，
在△ADC和△EDB中，
AD=ED∠ADC=∠EDBCD=BD，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴AD=ED，AC=EB=6，
∵AB-EB∴10-6<2AD<10+6，
∴2故答案为：△ADC，△EDB，SAS，ED，EB，2(2)证明：如图2，延长ED到点G，使GD=ED，连接CG、GF、EF，
∵D是BC边上的中点，
∴CD=BD，
在△CDG和△BDE中，
GD=ED∠CDG=∠BDECD=BD，
∴△CDG≌△BDE(SAS)，
∴CG=BE，
∵CG+CF>GF，
∴BE+CF>GF，
∵DE⊥DF，GD=ED，
∴DF垂直平分EG，
∴GF=EF，
∴BE+CF>EF．
(1)由辅助线作法得AD=DE，由AD是△ABC的中线得CD=BD，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ADC≌△EDB，得AD=ED，AC=EB=6，而AB=10，根据三角形三边的关系得10-6<2AD<10+6，所以2(2)延长ED到点G，使GD=ED，连接CG、GF、EF，先证明△CDG≌△BDE，得CG=BE，根据三角形的三边关系得CG+CF>GF，则BE+CF>GF，由DF垂直平分EG得GF=EF，所以BE+CF>EF．
此题重点考查三角形的中线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段的垂直平分线的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)证明：∵△ABC，△CDP都是等边三角形，
∴CB=CA，CD=CP，∠ACB=∠DCP=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCP+∠ACD，
即∠BCD=∠ACP．
在△BCD和△ACP中，
CB=CA,∠BCD=∠ACP,CD=CP,
∴△BCD≌△ACP(SAS)，
∴BD=AP；
(2)①证明：如图2，延长PM到点K，使得MK=PM，连接CK．
∵AP⊥PM，M为AC的中点
∴∠APM=90°，AM=MC．
在△AMP和△CMK中，
MA=MC,∠AMP=∠CMK,MP=MK,
∴△AMP≌△CMK(SAS)，
∴AP=CK，∠APM=∠K=90°．
∵△ABC，△CDP都是等边三角形，
∴CB=CA，CD=CP，∠ACB=∠DCP=60°，
∴∠ACB-∠BCP=∠DCP-∠BCP，即∠ACP=∠BCD．
在△BCD和△ACP中，
CB=AC,∠BCD=∠ACP,CD=CP,
∴△BCD≌△ACP(SAS)，
∴BD=PA=CK．
∵PB=2PM，
∴PB=PK．
在△PDB和△PCK中，
PB=PK,PD=PC,DB=CK,
∴△PDB≌△PCK(SSS)，
∴∠PBD=∠K=90°，
∴PB⊥BD；
②PC=2PA．
证明：∵△PDB≌△PCK，
∴∠DPB=∠CPK．
设∠DPB=∠CPK=x，则∠BDP=90°-x．
∵∠APC=∠CDB，
∴90°+x=60°+90°-x，
∴x=30°，
∴∠DPB=30°．
∵∠PBD=90°，
∴PD=2BD．
∵PC=PD，BD=PA，
∴PC=2PA．
【解析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，关注全等三角形解决问题．
(1)证明△BCD≌△ACP(SAS)，可得结论；
(2)①延长PM到点K，使得MK=PM，连接CK.证明△AMP≌△CMK(SAS)，推出AP=CK，∠APM=∠K=90°，再证明△PDB≌△PCK(SSS)，可得结论；
②PC=2PA.想办法证明∠DPB=30°，可得结论．