人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程练习题

第二章　2.2　2.2.2

A　组·素养自测

一、选择题

1．经过两点(－1,2)，(－3，－2)的直线的方程是( D )

A．x－2y＋5＝0  B．x－2y－5＝0

C．2x－y－4＝0  D．2x－y＋4＝0

[解析]　根据直线的两点式方程得＝，

整理得2x－y＋4＝0.

2．直线－＋＝－1在x轴，y轴上的截距分别为( D )

A．2,3　  B．－2,3

C．－2，－3　  D．2，－3

[解析]　直线方程可化为＋＝1，因此，直线在x轴，y轴上的截距分别为2，－3，故选D.

3．已知△ABC三顶点A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为( A )

A．2x＋y－8＝0　  B．2x－y＋8＝0

C．2x＋y－12＝0　  D．2x－y－12＝0

[解析]　点M的坐标为(2,4)，点N的坐标为(3,2)，由两点式方程得＝，即2x＋y－8＝0.

4．直线l1：y＝ax－b(ab≠0)和直线l2：－＝1在同一坐标系中可能是( A )

[解析]　直线l2：－＝1，可得y＝x－b，直线l1：y＝ax－b(ab≠0)，两直线相交于同一点(0，－b)此时选项B，D不符合，对于A，C：直线l1的斜率a＞0，直线l2的斜率＜0，则a＞0，b＜0，此时与y轴的正半轴相交，故A符合，C不符合．

5．直线l过点(－1，－1)和(2,5)，点(1 011，b)在直线l上，则b的值为( D )

A．2 020  B．2 021

C．2 022  D．2 023

[解析]　直线l的两点式方程为＝，化简得y＝2x＋1，将x＝1 011代入，得b＝2 023.

二、填空题

6．直线l过点M(－1,2)，分别与x、y轴交于A、B两点，若M为线段AB的中点，则直线l的方程为_2x－y＋4＝0__.

[解析]　设A(x,0)、B(0，y)．

由M(－1,2)为AB的中点，

∴，∴.

由截距式得l的方程为＋＝1，即2x－y＋4＝0.

7．经过点(－1,5)，且与直线＋＝1垂直的直线方程是 x－3y＋16＝0　.

[解析]　直线＋＝1的斜率是－3，所以所求直线的斜率是，所以所求直线方程是y－5＝(x＋1)，即x－3y＋16＝0.

8．斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程为_x－2y＋4＝0或x－2y－4＝0__.

[解析]　设直线方程为y＝x＋b，令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－2b.所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为S＝|b|·|－2b|＝b2.

由b2＝4，得b＝±2.所以直线方程为y＝x±2，

即x－2y＋4＝0或x－2y－4＝0.

三、解答题

9．求分别满足下列条件的直线l的方程：

(1)经过两点A(－2,3)，B(m,5)；

(2)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．

[解析](1)当m≠－2时，直线l的方程为＝，即

y＝x＋

当m＝－2时，直线l的方程为x＝－2，

综上所述，直线l的方程为y＝x＋或x＝－2.

(2)设l在x轴、y轴上的截距分别为a、b.

当a≠0，b≠0时，l的方程为＋＝1；

∵直线过P(4，－3)，∴－＝1.

又∵|a|＝|b|，

∴，解得，或.

当a＝b＝0时，直线过原点且过(4，－3)，

∴l的方程为y＝－x.

综上所述，直线l的方程为x＋y＝1或x－y＝7或y＝－x.

10．已知三角形三个顶点分别是A(－3,0)，B(2，－2)，C(0，1)，求这个三角形三边各自所在直线的方程．

[解析]　由两点式方程得AB：＝，

即AB方程为y＝－×(x＋3)．即2x＋5y＋6＝0.

由两点式方程得BC：＝，

即BC方程为y＝－x＋1.即3x＋2y－2＝0.

由截距式方程，得AC：＋＝1.

即AC方程为y＝x＋1.即x－3y＋3＝0.

B　组·素养提升

一、选择题

1．(2023·镇巴中学高一检测)直线l与直线y＝1和x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率是( B )

A.  B．－

C．  D．－

[解析]　因为直线l与直线y＝1和x－y－7＝0分别交于P，Q两点，所以可设P(a,1)，Q(b，b－7)，∵线段PQ的中点坐标为(1，－1)，∴1＝，－1＝，解得a＝－2，b＝4，∴P(－2,1)，Q(4，－3)，直线l的斜率为＝－，故选B.

2．过点P(3,4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( D )

A．x－y＋1＝0

B．x－y＋1＝0或4x－3y＝0

C．x＋y－7＝0

D．x＋y－7＝0或4x－3y＝0

[解析]　当直线过原点时，直线方程为y＝x，即4x－3y＝0；排除A、C；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，因为该直线过点P(3,4)，所以＋＝1，解得a＝7.所以直线方程为x＋y－7＝0.所以过点P(3,4)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为4x－3y＝0或x＋y－7＝0.故选D.

3．(多选)经过点(2,1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是( AC )

A．x＋y－3＝0  B．x＋y＋3＝0

C．x－y－1＝0  D．x－y＋1＝0

[解析]　由题意设直线方程为＋＝1或＋＝1，

把点(2,1)代入直线方程得＋＝1或＋＝1，

解得a＝3或a＝1，∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，即x＋y－3＝0或x－y－1＝0.

4．已知两点A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy( D )

A．无最小值，且无最大值

B．无最小值，但有最大值

C．有最小值，但无最大值

D．有最小值，且有最大值

[解析]　线段AB的方程为＋＝1(0≤x≤3)，于是y＝4(0≤x≤3)，从而xy＝4x＝－2＋3，显然当x＝∈[0,3]时，xy取最大值为3；当x＝0或3时，xy取最小值0.

二、填空题

5．直线＋＝1和坐标轴所围成的三角形的面积是_5__.

[解析]　易知直线＋＝1与两坐标轴的交点分别为(5,0)，(0,2)，所以直线＋＝1和坐标轴所围成的三角形的面积是×2×5＝5.

6．(2023·四川眉山高二期中)光线从点A(－3,4)射出，到x轴上的点B后被x轴反射到y轴的点C上，又被y轴反射，这时反射线恰好经过点D(－1,6)，则BC所在的直线方程为 5x－2y＋7＝0　.

[解析]　由题意可知点A关于x轴的对称点为A′(－3，－4)，

点D关于y轴的对称点为D′(1,6)．

由入射角等于反射角及对顶角相等可知，点A′，D′都在直线BC上，

∴直线BC的方程为＝，即5x－2y＋7＝0.

7．已知直线l过点P(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为_4__.

[解析]　设直线l的截距式方程为＋＝1，依题意，a>0，b>0，又因为点P(2,1)在直线l上，所以＋＝1，即2b＋a＝ab.

又因为△OAB面积S＝|OA|·|OB|＝ab，

所以S＝ab＝(2b＋a)≥＝，

当且仅当2b＝a时等号成立，所以ab≥，解这个不等式，得ab≥8.

从而S＝ab≥4，当且仅当2b＝a时，S取最小值4.

三、解答题

8．已知直线l过点P(4,1)，

(1)若直线l过点Q(－1,6)，求直线l的方程；

(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程．

[解析]　(1)∵直线l过点P(4,1)，Q(－1,6)，所以直线l的方程为＝，即x＋y－5＝0.

(2)由题意知，直线l的斜率存在且不为0，所以设直线l的斜率为k，则其方程为y－1＝k(x－4)．

令x＝0得，y＝1－4k；令y＝0得，x＝4－.

∴1－4k＝2，解得k＝或k＝－2.

∴直线l的方程为y－1＝(x－4)或y－1＝－2(x－4)，即y＝x或2x＋y－9＝0.

9．如图，已知点A(2,5)与点B(4，－7)，试在y轴上找

一点P，使得|PA|＋|PB|的值最小．

[解析]　先求出点A关于y轴的对称点A′(－2,5)，则|PA|＝|PA′|.若使|PA|＋|PB|的值最小，则P点为直线A′B与y轴的交点．由两点式得直线A′B的方程为＝，化简为2x＋y－1＝0，令x＝0，得y＝1，故所求点P坐标为P(0,1)．