北师大版八年级上册数学期中试卷4（含答案）

这是一份北师大版八年级上册数学期中试卷4（含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，解答题；等内容，欢迎下载使用。
北师大八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1．（4分）日常生活中，我们会看到很多标志，在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）下列各组数，可以作为三角形的三边长的是（　　）
A．1，3，4 B．6，9，24 C．9，13，21 D．10，26，40
3．（4分）如图，已知△CAD≌△CBE，若∠A＝30°，∠C＝70°，则∠CEB＝（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
4．（4分）一个正六边形的内角和的度数为（　　）
A．1080° B．720° C．540° D．360°
5．（4分）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，欲证△ABD≌△ACE，不可补充的条件是（　　）

A．BD＝CE B．∠D＝∠E C．∠BAD＝∠CAE D．∠BAC＝∠DAE
6．（4分）在平面直角坐标系中，点P（6，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣6，3） B．（6，﹣3） C．（6，3） D．（﹣6，﹣3）
7．（4分）如图，把黑色小圆圈按照如图所示的规律排列，其中第①个图形中有3个黑色小圆圈，第②个图形中有8个黑色小圆圈，第③个图形中有15个黑色小圆圈，…，按照此规律，第⑩个图形中黑色小圆圈的个数为（　　）

A．63 B．64 C．99 D．120
8．（4分）小华在复习用尺规作一个角等于已知角的过程中，回顾了作图的过程，他发现△OCD与△O′C′D′全等，请你说明小华得到全等的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
9．（4分）如图，△ABC的两条中线CD、BE交于点F，若四边形ADFE的面积为18，则△ABC的面积是（　　）

A．55 B．54 C．42 D．41
10．（4分）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝4，点O在边BC上，OD垂直平分BC，AD平分∠BAC，过点D作DM⊥AB于点M，则BM＝（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
11．（4分）若关于x的一元一次不等式组无解，关于y的一元一次方程2（y﹣3）+m＝0的解为非负整数，则满足所有条件的整数m的和为（　　）
A．10 B．12 C．18 D．20
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线AF交CD于点E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延长线交AB于点N，下列五个结论：①AC＝AN；②EN＝FC；③EN∥BC；④∠ABC＝45°；⑤连接BM，若S△ABC＝16，则S△ABM＝8，其中正确的结论有（　　）

A．①②④ B．①②③ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
13．（4分）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝8，点D是AC边上的中点，连接BD，若△ABD的周长为22，则△BDC的周长是 　 　．

14．（4分）如图，已知线段BE、CF交于点O，∠COE＝150°，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 　 　．

15．（4分）如图，△ABC中沿EF将四边形EBCF翻折，使点B、点C分别落在点B'和点C′处，再将△AEF沿AF翻折，使点E落在点E′处，若∠BAC＝50°，∠1＝65°，则∠3的度数为 　 　．

16．（4分）“无社团，不青春！”为丰富同学们的校园文化，学校在初一年级开展了丰富多彩的社团活动，某老师对参加音乐社、街舞社、动漫社的同学都准备A、B两种礼品，初步预算，三个社团各需两种礼品数量和之比为1：1：2，需A的数量之比为3：5：8，并且音乐社和街舞社需B礼品数量之比为3：2．在实际购买时，A的价格比预算低20%，B的价格比预算高20%，A购买数量减少了3.125%，结果发现总费用与预算相等，则实际购买A的总费用与实际购买B的总费用之比为 　 　．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）（1）解方程组；
（2）解不等式组．
18．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．
（1）利用尺规作图作BC的垂直平分线，垂足为F，交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB；
（2）若AE＝3，求△ABD的周长．

四、解答题；（本大题7个小题，每小题10分，共70分）
19．（10分）如图，点A、M、N、C在同一条直线上，AB＝CD，BN＝DM，AM＝CN，求证：AB∥CD．

20．（10分）如图，CA＝CB，点E、D分别是CA、CB的中点．求证：∠A＝∠B．

21．（10分）如图，△ABC中，点D在边AC延长线上，∠ACB＝100°，∠BAC的平分线交BD于点E，过点E作EM⊥AD，垂足为M，且∠CEM＝50°．
（1）求∠BCE的度数；
（2）求证：BE平分∠CBF．

22．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A，C分别在坐标轴上．
（1）如图1，若点B的横坐标为﹣4，求点A的坐标．
（2）如图2，若x轴恰好平分∠ACB，AB交x轴于点E，过点B作BD垂直x轴于D点，试猜想线段BD与CE的数量关系，并说明理由．


23．（10分）若一个四位自然数满足千位数字比百位数字大2，个位数字等于十位数字的两倍，我们称这个四位自然数为“大
成数”，将“大成数”m的十位、千位上的数字交换位置，个位、百位上的数字也交换位置，得到一个新数m'，记F（m）＝．例如：m＝4212，∴m'＝1242，则F（4212）＝＝30．
（1）判断1312和4236是不是“大成数”？并说明理由．
（2）将m′的千位数字去掉得到一个新数m″，若F（m）与m″的和能被13整除，请求出所有满足条件的“大成
数”m．
24．（10分）[观察发现]
①如图1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．
小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE，易证△ABD≌△ECD（SAS）可得AB＝CE，在△AEC中根据三角形三边关系可得2＜AE＜12，又∵AE＝2AD，∴1＜AD＜6．
②如图2，在△ABC中，若AB＝AC，则∠B＝∠C；若∠B＝∠C，则AB＝AC．
[应用拓展]
如图3，∠BCA＝60°，∠AED＝120°，CB＝CA，EA＝ED，连接CD，F为CD的中点，连接FB、FE．求证：BF⊥EF．


25．（10分）（1）如图1，在四边形ABCD中，DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，E、F分别是边AB、BC上的点，且∠EDF＝∠ADC，请直接写出图中线段AE、EF、FC之间的数量关系 　 　．
（2）如图2，在四边形ABCD中，DA＝DC，∠A+∠C＝180°，E、F分别是边AB、BC上的点，且∠EDF＝∠ADC，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，在四边形ABCD中，DA＝DC，∠A+∠BCD＝180°，E、F分别是边AB、BC延长线上的点，且∠EDF＝∠ADC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，线段AE、EF、FC之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，并说明理由．


北师大八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1．（4分）日常生活中，我们会看到很多标志，在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】结合轴对称图形的概念进行求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，本选项不符合题意．
故选：A．
2．（4分）下列各组数，可以作为三角形的三边长的是（　　）
A．1，3，4 B．6，9，24 C．9，13，21 D．10，26，40
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：A、3+4＝7，不能构成三角形；
B、6+9＜24，不能构成三角形；
C、9+13＞21，能构成三角形．
D、10+26＜40，不能构成三角形．
故选：C．
3．（4分）如图，已知△CAD≌△CBE，若∠A＝30°，∠C＝70°，则∠CEB＝（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】因为△CAD≌△CBE，所以∠A＝∠B，∠C＝∠C，∠CEB＝∠CDA从而求出∠CEB度数．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠C＝70°，
∴∠A＝∠B，∠C＝∠C，
∴∠CEB＝∠CDA＝180°﹣30°﹣70°＝80°，
故选：D．
4．（4分）一个正六边形的内角和的度数为（　　）
A．1080° B．720° C．540° D．360°
【分析】利用多边形的内角和定理解答即可．
【解答】解：一个正六边形的内角和的度数为：（6﹣2）×180°＝720°，
故选：B．
5．（4分）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，欲证△ABD≌△ACE，不可补充的条件是（　　）

A．BD＝CE B．∠D＝∠E C．∠BAD＝∠CAE D．∠BAC＝∠DAE
【分析】根据全等三角形的判定解决此题．
【解答】解：A．由AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，根据SSS可得△ABD≌△ACE，那么A不符合题意．
B．由AB＝AC，AD＝AE，∠D＝∠E，根据全等三角形的判定无法推断出△ABD≌△ACE，那么B符合题意．
C．由AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，根据SAS可推断出△ABD≌△ACE，那么C不符合题意．
D．由∠BAC＝∠DAE，得∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE．由AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，根据SAS可推断出△ABD≌△ACE，那么D不符合题意．
故选：B．
6．（4分）在平面直角坐标系中，点P（6，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣6，3） B．（6，﹣3） C．（6，3） D．（﹣6，﹣3）
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质分析得出答案．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（6，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（6，3）．
故选：C．
7．（4分）如图，把黑色小圆圈按照如图所示的规律排列，其中第①个图形中有3个黑色小圆圈，第②个图形中有8个黑色小圆圈，第③个图形中有15个黑色小圆圈，…，按照此规律，第⑩个图形中黑色小圆圈的个数为（　　）

A．63 B．64 C．99 D．120
【分析】仔细观察图形变化，找到图形变化规律，利用规律求解．
【解答】解：第①个图形中一共有1+2＝3个小圆圈，
第②个图形中一共有2+3×2＝8个小圆圈，
第③个图形中一共有3+4×3＝15个小圆圈，
…，
按此规律排列下去，第⑩个图形中小圆圈的个数是10+11×10＝120，
故选：D．
8．（4分）小华在复习用尺规作一个角等于已知角的过程中，回顾了作图的过程，他发现△OCD与△O′C′D′全等，请你说明小华得到全等的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，由SSS的判定定理可以得到三角形全等，从而求解．
【解答】解：在△OCD与△O′C′D′中，
，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS）．
故选：A．
9．（4分）如图，△ABC的两条中线CD、BE交于点F，若四边形ADFE的面积为18，则△ABC的面积是（　　）

A．55 B．54 C．42 D．41
【分析】连接CF，依据中线的性质，推理可得S△BCF＝S△BAF＝S△ACF，进而得出S△ABC＝3S△BAF，据此可得结论．
【解答】解：如图所示，连接CF，

∵△ABC的两条中线AD、BE交于点F，
∴S△BCE＝S△ABD，
∴S四边形CDFE＝S△ABF＝18，
∵BE是△ABC的中线，FE是△ACF的中线，
∴S△BCE＝S△ABE，S△FCE＝S△FAE，
∴S△BCF＝S△BAF＝18，
同理可得，S△ACF＝S△BAF＝18，
∴S△BCF＝S△BAF＝S△ACF＝18，
∴S△ABC＝3S△BAF＝3×18＝54，
故选：B．
10．（4分）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝4，点O在边BC上，OD垂直平分BC，AD平分∠BAC，过点D作DM⊥AB于点M，则BM＝（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】作DN⊥AC，交AC的延长线于点N，连接CD、BD，根据角平分线的性质得DN＝DM，∠N＝∠BMD＝∠AMD＝90°，根据线段的垂直平分线的性质得CD＝BD，即可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△DCN≌Rt△DBM、Rt△ADN≌Rt△ADM，则CN＝BM，AN＝AM，所以4+BM＝10﹣BM，则BM＝3，于是得到问题的答案．
【解答】解：作DN⊥AC，交AC的延长线于点N，连接CD、BD，
∵AD平分∠BAC，DN⊥AC，DM⊥AB，
∴DN＝DM，∠N＝∠BMD＝∠AMD＝90°，
∵OD垂直平分BC，
∴CD＝BD，
在Rt△DCN和Rt△DBM中，
，
∴Rt△DCN≌Rt△DBM（HL），
∵CN＝BM，
在Rt△ADN和Rt△ADM中，
，
∴Rt△ADN≌Rt△ADM（HL），
∴AN＝AM，
∴AC+CN＝AB﹣BM，
∵AB＝10，AC＝4，
∴4+BM＝10﹣BM，
∴BM＝3，
故选：A．

11．（4分）若关于x的一元一次不等式组无解，关于y的一元一次方程2（y﹣3）+m＝0的解为非负整数，则满足所有条件的整数m的和为（　　）
A．10 B．12 C．18 D．20
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由x﹣m≥0，得：x≥m，
由2x+1＜5，得：x＜2，
∵不等式组无解，
∴m≥2，
解方程2（y﹣3）+m＝0，得：y＝3﹣，
∵该方程的解为非负整数，
∴3﹣≥0，
解得m≤6，
∴2≤m≤6，
m＝2，3，4，5，6，
当m＝3，5时，3﹣不是整数，
∴满足所有条件的整数m的和为：2+4+6＝12．
故选：B．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线AF交CD于点E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延长线交AB于点N，下列五个结论：①AC＝AN；②EN＝FC；③EN∥BC；④∠ABC＝45°；⑤连接BM，若S△ABC＝16，则S△ABM＝8，其中正确的结论有（　　）

A．①②④ B．①②③ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【分析】连接EN，FN，BM，根据SAS证得△AMN≌△AMC，即可证得AC＝AN，可以判断②正确；由已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，CM⊥AF，从而证得三个直角三角形，即：∠AED+∠DAE＝90°，∠EFC+∠CAE＝90°，再通过已知，∠BAC的平分线AF和对顶角得∠CEF＝∠CFE，即得△ECF为等腰三角形，EM＝FM，证明四边形ENFC是菱形，可以判断①③正确；根据等腰直角三角形的性质可以判断④错误；根据等底等高的两个三角形面积相等可以判断⑤正确．
【解答】解：如图，连接FN，

∵CN⊥AF，
∴∠AMC＝∠AMN＝90°，
∵∠BAC的平分线AF交CD于E，
∴∠DAE＝∠CAE，
在△AMN和△AMC中，
，
∴△AMN≌△AMC（ASA），
∴AC＝AN，故②正确；
∵△AMN≌△AMC，
∴CM＝NM，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，∠CFE+∠CAE＝90°，
∵∠BAC的平分线AF交CD于E，
∴∠DAE＝∠CAE，
∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠AED＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∵CM⊥AF，
∴EM＝FM，
∴四边形ENFC是菱形，
∴EN＝FC，EN∥BC，故①③正确；
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵AC≠BC，
∴∠B≠45°，故④错误；
∵四边形ENFC是菱形，
∴CM＝MN，
∴S△ACM＝S△ANM，S△BCM＝S△BMN，
∴S△ANM+S△BMN＝S△ACM+S△BCM＝S△ABC，
∴S△ABM＝S△ABC，
∴S△ABC＝16，则S△ABM＝8．故⑤正确．
综上所述：①②③⑤．
故选：C．
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
13．（4分）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝8，点D是AC边上的中点，连接BD，若△ABD的周长为22，则△BDC的周长是 　20　．

【分析】根据线段中点的概念得到AD＝CD，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵点D是AC边上的中点，
∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为22，
∴AB+AD+BD＝22，
∵AB＝10，
∴AD+BD＝CD+BD＝12，
∵BC＝8，
∴△ABD的周长＝BD+CD+BC＝20，
故答案为：20．
14．（4分）如图，已知线段BE、CF交于点O，∠COE＝150°，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 　300°　．

【分析】连接OA，OD，由三角形外角的性质可知，∠2+∠E＝∠DOE，∠1+∠C＝∠COD，故可得出∠1+∠2+∠E+∠C＝∠COE，同理可得∠B+∠D+∠F＝∠COE，据此可得出结论．
【解答】解：连接OA，OD，
∵∠DOE是△AOE的外角，
∴∠2+∠E＝∠DOE①．
∵∠COD是△AOC的外角，
∴∠1+∠C＝∠COD②，
①+②得，∠1+∠2+∠E+∠C＝∠COE＝150°③，
同理，∠COD是△ODF的外角，∠DOE是△OBD的外角，
∴∠4+∠F＝∠COD④，∠3+∠B＝∠DOE⑤，
④+⑤得，∠3+∠4+∠F+∠B＝∠COE＝150°⑥，
∴③+⑥得，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2∠COE＝300°．
故答案为：300°．

15．（4分）如图，△ABC中沿EF将四边形EBCF翻折，使点B、点C分别落在点B'和点C′处，再将△AEF沿AF翻折，使点E落在点E′处，若∠BAC＝50°，∠1＝65°，则∠3的度数为 　85.5°　．

【分析】由轴对称的性质，即可求解．
【解答】解：由题意可得：∠BEF＝∠1+∠AEF，∠EFC＝∠2+∠AFE，∠FAE′＝∠FAE＝50°，
∴180°﹣∠AEF＝65°+∠AEF，180°﹣∠AFE＝∠2+∠AFE，
∴∠AEF＝57.5°，
∴∠AFE＝180°﹣∠EAF﹣∠AEF＝72.5°，
∴∠2＝35.5°，
∵∠3＝∠2+∠FAE′，
∴∠3＝35.5°+50°＝85.5°，
故答案为：85.5°．
16．（4分）“无社团，不青春！”为丰富同学们的校园文化，学校在初一年级开展了丰富多彩的社团活动，某老师对参加音乐社、街舞社、动漫社的同学都准备A、B两种礼品，初步预算，三个社团各需两种礼品数量和之比为1：1：2，需A的数量之比为3：5：8，并且音乐社和街舞社需B礼品数量之比为3：2．在实际购买时，A的价格比预算低20%，B的价格比预算高20%，A购买数量减少了3.125%，结果发现总费用与预算相等，则实际购买A的总费用与实际购买B的总费用之比为 　62：63　．
【分析】设音乐社、街舞社、动漫社的A礼物的数量依次为：3x，5x，8x；音乐社B礼物的数量为：3y，街舞社B礼物的数量为：2x，设动漫社B礼物的数量为：z，由三个社团各需两种礼品数量和之比为1：1：2可得出方程组，求得，从而表示出A礼物和B礼物的总量，设A礼物的单价为：a，B礼物的单价为：b，可根据总费用与预算相等列出方程[16x•（1﹣3.125%）]•[a•（1﹣20%）]+20x•[b（1+20%）]＝16xa+20xb，进一步得出结果．
【解答】解：如下表，

设音乐社、街舞社、动漫社的A礼物的数量依次为：3x，5x，8x；音乐社B礼物的数量为：3y，街舞社B礼物的数量为：2x，设动漫社B礼物的数量为：z，
∵三个社团各需两种礼品数量和之比为1：1：2，
∴，
∴，
∴3y＝6x，2y＝4x，
∴A礼物的总量为：16x，B礼物的总量为：6x+4x+10x＝20x，
设A礼物的单价为：a，B礼物的单价为：b，
由题意得，
[16x•（1﹣3.125%）]•[a•（1﹣20%）]+20x•[b（1+20%）]＝16xa+20xb，
化简得，
12.4ax+24bx＝16ax+20bx，
∴10b＝9a，
∴设b＝9k，a＝10k，
∴＝＝，
故答案为：62：63．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）（1）解方程组；
（2）解不等式组．
【分析】（1）先用加减消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：（1），
①+②×3得，10x＝50，解得x＝5，
把x＝5代入②得，15﹣y＝9，解得y＝6，
故方程组的解为；
（2），
由①得，x＜；
由②得，x≥﹣，
故不等式组的解集为：﹣≤x＜．
18．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．
（1）利用尺规作图作BC的垂直平分线，垂足为F，交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB；
（2）若AE＝3，求△ABD的周长．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法即可解决问题；
（2）连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，再根据线段垂直平分线的性质求解即可．
【解答】解：（1）如图，DF即为所求；

（2）连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，
∴BD＝CD，
∵C△ABD＝AB+AD+BD
＝AB+AD+DC
＝AB+AC，
∵AB＝CE，
∴C△ABD＝AC+CE＝AE＝3，
故△ABD的周长为3．
四、解答题；（本大题7个小题，每小题10分，共70分）
19．（10分）如图，点A、M、N、C在同一条直线上，AB＝CD，BN＝DM，AM＝CN，求证：AB∥CD．

【分析】由SSS证得△ABN≌△CDM，得出∠A＝∠C，即可得出结论．
【解答】证明：∵AM＝CN，
∴AM+MN＝CN+MN，即AN＝CM，
在△ABN和△CDM中，
，
∴△ABN≌△CDM（SSS），
∴∠A＝∠C，
∴AB∥CD．
20．（10分）如图，CA＝CB，点E、D分别是CA、CB的中点．求证：∠A＝∠B．

【分析】由CE＝CA，CD＝CB，且CA＝CB，得CE＝CD，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ACD≌△BCE，得∠A＝∠B．
【解答】证明：∵点E、D分别是CA、CB的中点，
∴CE＝CA，CD＝CB，
∵CA＝CB，
∴CE＝CD，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠A＝∠B．
21．（10分）如图，△ABC中，点D在边AC延长线上，∠ACB＝100°，∠BAC的平分线交BD于点E，过点E作EM⊥AD，垂足为M，且∠CEM＝50°．
（1）求∠BCE的度数；
（2）求证：BE平分∠CBF．

【分析】（1）由平角的定义可求解∠BCD的度数，再利用三角形的内角和定理可求解∠ECM＝40°，进而可求解；
（2）过E点分别作EH⊥AF于M，EN⊥BC于N，根据角平分线的性质可证得EH＝EN，进而可证明结论．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝100°，
∴∠BCD＝180°﹣100°＝80°，
∵EM⊥AD，
∴∠CME＝90°，
∵∠CEM＝50°，
∴∠ECM＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BCE＝80°﹣40°＝40°；
（2）证明：过E点分别作EH⊥AF于H，EN⊥BC与N，
∵AE平分∠BAC，
∴EH＝EM，
∵∠BCE＝∠ECM＝40°，
∴CE平分∠BCD，
∴EN＝EM，
∴EH＝EN，
∴BE平分∠CBF．

22．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A，C分别在坐标轴上．
（1）如图1，若点B的横坐标为﹣4，求点A的坐标．
（2）如图2，若x轴恰好平分∠ACB，AB交x轴于点E，过点B作BD垂直x轴于D点，试猜想线段BD与CE的数量关系，并说明理由．


【分析】（1）过点B作BF⊥y轴于点F，证明△ABF≌△CAO，根据全等三角形的性质得到OA＝BF＝4，求出点A的坐标；
（2）延长CA、BD交于点H，证明△BDC≌△HDC，得到BD＝DH，再证明△ABH≌△ACE，得到CE＝BH，进而证明结论．
【解答】解：（1）过点B作BF⊥y轴于点F，
则∠BAF+∠ABF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAF+∠CAO＝90°，
∴∠ABF＝∠CAO，
在△ABF和△CAO中，
，
∴△ABF≌△CAO（AAS），
∴OA＝BF＝4，
∴点A的坐标为（0，4）；
（2）BD＝CE，
理由如下：延长CA、BD交于点H，
∵x轴恰好平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠HCD，
在△BDC和△HDC中，
，
∴△BDC≌△HDC（ASA），
∴BD＝DH，
∵∠BDE＝∠CAE＝90°，∠BED＝∠CEA，
∴∠ABH＝∠ACE，
在△ABH和△ACE中，
，
∴△ABH≌△ACE（AAS），
∴CE＝BH，
∴BD＝CE．


23．（10分）若一个四位自然数满足千位数字比百位数字大2，个位数字等于十位数字的两倍，我们称这个四位自然数为“大
成数”，将“大成数”m的十位、千位上的数字交换位置，个位、百位上的数字也交换位置，得到一个新数m'，记F（m）＝．例如：m＝4212，∴m'＝1242，则F（4212）＝＝30．
（1）判断1312和4236是不是“大成数”？并说明理由．
（2）将m′的千位数字去掉得到一个新数m″，若F（m）与m″的和能被13整除，请求出所有满足条件的“大成
数”m．
【分析】（1）根据题干中的新定义进行判断求解；
（2）设m的千位数字是a，十位数字是b，用a，b分别表示F（m）与m″及m′的值，再用验证的方法求出a，b，从而求出m的值．
【解答】解：（1）∵1﹣3＝﹣2≠2，故1312不是“大成数”，
∵4﹣2＝2，6＝3×2，故4236是“大成数”；
（2）设m的千位数字是a，十位数字是b，则m的百位数字为（a﹣2），个位数字为2b，
则m＝1000a+100（a﹣2）+10b+2b＝1100a+12b﹣200，
m'＝1000b+200b+10a+a﹣2，
m″＝200b+10a+a﹣2，
∴F（m）＝＝11a﹣12b﹣2，
∴F（m）+m″＝22a+188b﹣4，
由题意得：22a﹣+188b﹣4是13的倍数，
∵2≤a≤9，0≤b≤4，
∴当a＝7时，b＝1，或当a＝5时，b＝4，
∴当a＝7时，b＝1时，m＝7512，
当a＝5时，b＝4时，m＝5348．
24．（10分）[观察发现]
①如图1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．
小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE，易证△ABD≌△ECD（SAS）可得AB＝CE，在△AEC中根据三角形三边关系可得2＜AE＜12，又∵AE＝2AD，∴1＜AD＜6．
②如图2，在△ABC中，若AB＝AC，则∠B＝∠C；若∠B＝∠C，则AB＝AC．
[应用拓展]
如图3，∠BCA＝60°，∠AED＝120°，CB＝CA，EA＝ED，连接CD，F为CD的中点，连接FB、FE．求证：BF⊥EF．


【分析】由“SAS”可证△BCF≌△HDF，可得BC＝DH，∠BCF＝∠FDH，由∴△ABE≌△DHE（SAS），可得BE＝HE，由等腰三角形的性质可得结论．
【解答】证明：如图，延长BF至H，使FH＝BF，连接BE，EH，DH，

∵∠BCA＝60°，∠AED＝120°，CB＝CA，EA＝ED，
∴△ABC是等边三角形，∠ADE＝∠DAE＝30°，
∴BC＝AC＝AB，∠ABC＝∠ACB＝∠BCA＝60°，
∵点F是CD的中点，
∴CF＝DF，
又∵BF＝FH，∠CFB＝∠DFH，
∴△BCF≌△HDF（SAS），
∴BC＝DH，∠BCF＝∠FDH，
∴AB＝DH，
设∠ACD＝x，∠ADC＝y，
∴∠BCD＝60°+x＝∠FDH，
∴∠HDE＝360°﹣∠FDH﹣∠ADC﹣∠ADE＝270°﹣x﹣y，
∵∠BAE＝∠BAC+∠CAD+∠DAE，
∴∠BAE＝90°+180°﹣x﹣y＝270°﹣x﹣y，
∴∠BAE＝∠HDE，
又∵DE＝AE，DH＝AB，
∴△ABE≌△DHE（SAS），
∴BE＝HE，
又∵BF＝FH，
∴EF⊥BF．
25．（10分）（1）如图1，在四边形ABCD中，DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，E、F分别是边AB、BC上的点，且∠EDF＝∠ADC，请直接写出图中线段AE、EF、FC之间的数量关系 　EF＝AE+CF　．
（2）如图2，在四边形ABCD中，DA＝DC，∠A+∠C＝180°，E、F分别是边AB、BC上的点，且∠EDF＝∠ADC，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，在四边形ABCD中，DA＝DC，∠A+∠BCD＝180°，E、F分别是边AB、BC延长线上的点，且∠EDF＝∠ADC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，线段AE、EF、FC之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，并说明理由．

【分析】（1）结论：EF＝AE+CF．如图1中，在BA的延长线上取一点T，使得AT＝CF．证明△DCF≌△DAT（SAS），推出DF＝DT，∠CDF＝∠ADT，再证明△EDF≌△EDT（SAS），推出EF＝ET，可得结论；
（2）结论不变．证明方法类似（1）；
（3）结论：EF＝AE﹣CF．如图3中，在AB上取一点T，使得AT＝CF．证明方法类似（1）．
【解答】解：（1）结论：EF＝AE+CF．
理由：如图1中，在BA的延长线上取一点T，使得AT＝CF．

在△DCF和△DAT中，
，
∴△DCF≌△DAT（SAS），
∴DF＝DT，∠CDF＝∠ADT，
∴∠TDF＝∠ADC，
∵∠EDF＝∠ADC，
∴∠EDF＝∠EDT，
在△EDF和△EDT中，
，
∴△EDF≌△EDT（SAS），
∴EF＝ET，
∵ET＝AE+AT，
∴EF＝AE+CF．
故答案为：EF＝AE+CF；

（2）如图2中，结论不变．
理由：在BA的延长线上取一点T，使得AT＝CF．

∵∠DCF+∠DAE＝180°，∠DAE+∠DAT＝180°，
∴∠DCF＝∠DAT，
在△DCF和△DAT中，
，
∴△DCF≌△DAT（SAS），
∴DF＝DT，∠CDF＝∠ADT，
∴∠TDF＝∠ADC，
∵∠EDF＝∠ADC，
∴∠EDF＝∠EDT，
在△EDF和△EDT中，
，
∴△EDF≌△EDT（SAS），
∴EF＝ET，
∵ET＝AE+AT，
∴EF＝AE+CF；

（3）结论：EF＝AE﹣CF．
理由：如图3中，在AB上取一点T，使得AT＝CF．

∵∠DCB+∠DAE＝180°，∠DCB+∠DCF＝180°，
∴∠DCF＝∠DAT，
在△DCF和△DAT中，
，
∴△DCF≌△DAT（SAS），
∴DF＝DT，∠CDF＝∠ADT，
∴∠TDF＝∠ADC，
∵∠EDF＝∠ADC，
∴∠EDF＝∠EDT，
在△EDF和△EDT中，
，
∴△EDF≌△EDT（SAS），
∴EF＝ET，
∵ET＝AE﹣AT，
∴EF＝AE﹣CF．